Grupa przestrzenna

1

Grupa przestrzenna

Grupa przestrzenna – w matematyce, geometrii i krystalografii jest to grupa symetrii. W przestrzeni

trójwymiarowej zazwyczaj dzieli przestrzeń na powtarzalną grupę dyskretną.

W przestrzeni trójwymiarowej istnieje 219 różnych typów grup przestrzennych (230 uwzględniając chiralne). Grupy

przestrzenne są badane i występują także w przestrzeniach o różnej ilości wymiarów. Za przykład mogą posłużyć

grupy Bieberbacha

[]

.

W krystalografii spotyka się grupy określane mianem krystalograficznych grup przestrzennych lub grup Fiodorowa.

Przedstawiają i opisują symetrie kryształów

[]

.

Rys historyczny

Grupy przestrzenne w przestrzeni dwuwymiarowej były znane od bardzo dawna. Pierwsze grupy przestrzenne dla

przestrzeni trójwymiarowej wyliczono pod koniec XIX wieku. W 1891 roku dokonali tego niezależnie Fiodorow

(1853-1919) i Schonflies (1853-1928). W 1894 roku wyliczeń dokonał również Barlow (1845-1934). Pierwsza prace

zawierały błędy. Fiodorow i Schonflies korespondencyjnie wymienili się wyliczeniami. Rezultatem tego był w pełni

poprawna lista 230 grup przestrzennych

[][][]

.

Elementy grup przestrzennych

Grupy przestrzenne w trójwymiarowej przestrzeni powstały w wyniku połączenia 32 krystalograficznych grup

punktowych z 14 sieciami Bravais’go należących do jednego z 7 układów krystalograficznych. Z tego powodu grupy

przestrzenne uwzględniają kombinacje translacji komórki elementarnej i operacji wykonywanych na grupach

punktowych.

Notacje grup przestrzennych

Istnieje co najmniej dziewięć sposobów określania grup przestrzennych:

• numeryczna – Międzynarodowa Unia Krystalografii (IUCr) publikuje tabele wszystkich typów grup

przestrzennych i przypisuje każdej unikatowy numer od 1 do 230. Grupy przestrzenne tych samych układów

krystalograficznych i grup punktowych przydzielone mają kolejne numery.

• międzynarodowa (M, notacja Hermanna–Mauguina) – składa się z dużej litery oznaczającej typ sieci Bravais’go,

z liczb oznaczających osie symetrii zwykłe, inwersyjne lub śrubowe oraz z małych liter jako symboli płaszczyzn

symetrii i poślizgu. Znając reguły składania elementów symetrii możliwe jest przedstawienie rozmieszczenia

elementów symetrii w komórce elementarnej

[]

.

• notacja Halla

[]

• notacja Kreutza-Zaremby – za twórcze elementy symetrii przyjmuje się osie i środek symetrii. W symbolach klas

opuszcza się płaszczyzny symetrii, jeżeli wynikają one z iloczynu osi parzystokrotnych i środka symetrii.

• notacja Schonfliesa – składa się z dużej litery C, D, S, T, O określającej rodzaj grupy obrotowej oraz z dolnych

indeksów informujących o krotności głównej osi symetrii (n), rodzaju płaszczyzny symetrii (v, h, d) i o istnieniu

środka symetrii (i). Z takich symboli nie można określić typu sieci Bravais’go i wszystkich elementów symetrii

grupy

[]

.

•• symbol Shubnikova

• notacja orbifold dla dwuwymiarowej przestrzeni i notacja fibrifold dla trójwymiarowej przestrzeni – twory

matematyczne wprowadzone przez Conwaya i Thurstona. Niektórym grupom przestrzennym można

przyporządkować symbole orbifoldów i fibrifoldów

[]

.

Grupa przestrzenna

2

• notacja Coxetera – przestrzenna i punktowa grupa symetrii przedstawiona w postaci grup Coxetera.

Klasyfikacja grup przestrzennych

Istnieje co najmniej 10 różnych możliwości klasyfikowania grup przestrzennych w przestrzeni trójwymiarowej.

Skatalogowane są w tabeli od postaci najbardziej szerokiej, aż do wąskich klas na samym dole:

Krystalograficzne grupy przestrzenne (230 klas)

Afiniczne grupy przestrzenne (219 klas)

Arytmetyczne grupy przestrzenne (73 klasy)

Klasy krystalograficzne (32 klasy) Grupa punktowa sieci Bravais’go (14 klas)

Układ krystalograficzny (7 klas)

Sieć Bravais’go (7 klas)

Rodzina krystalograficzna (6 klas)

Grupa przestrzenna w 3 wymiarach

Układ

krystalograficzny

Grupy punktowe

Grupy przestrzenne

M

Schonflies

1

trójskośny (2)

2

3–5

jednoskośny

(13)

6–9

10–15

16–24

rombowy (59)

25–46

47–74

75–80

tetragonalny

(68)

81–82

83–88

89–98

99–110

111–122

123–142

143–146 trygonalny (25)

147–148

149–155

156–161

162–167

Grupa przestrzenna

3

168–173 heksagonalny

(27)

174

175–176

177–182

183–186

187–190

191–194

195–199 regularny (36)

200–206

207–214

215–220

221–230

Wprowadzenie przez IUCr pojęcia płaszczyzny poślizgu e spowodowało w 1996 roku zmianę symboli i rysunków

niektórych grup przestrzennych. Zmiana dotyczyła 7 grup w układzie rombowym oraz pięciu dla układów

tetragonalnego i regularnego. Rysunki wszystkich wymienionych grup zostały zmienione. Symbole grup zostały

zmienione tylko dla 5 przypadków w układzie rombowym (np. Abm2 na Aem2)

[]

.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Międzynarodowa Unia Krystalograficzna (UICr) (http:/

/

www.

iucr.

org)

(

ang.

)

• Grupy punktowe i sieci Bravais’go (http:/

/

neon.

mems.

cmu.

edu/

degraef/

pointgroups/

)

(

ang.

)

• Wyszukiwarka grup przestrzennych (http:/

/

cci.

lbl.

gov/

cctbx/

explore_symmetry.

html)

(

ang.

)

• Spis grup przestrzennych (http:/

/

cst-www.

nrl.

navy.

mil/

lattice/

spcgrp/

)

(

ang.

)

• Lista wszystkich grup przestrzennych (http:/

/

img.

chem.

ucl.

ac.

uk/

sgp/

mainmenu.

htm)

(

ang.

)

• Spis grup przestrzennych w 3D (http:/

/

www.

spacegroup.

info/

html/

space_groups.

html)

(

ang.

)

• Równania symetrii w przestrzeni dwuwymiarowej (http:/

/

www.

geom.

uiuc.

edu/

docs/

reference/

CRC-formulas/

node9.

html)

(

ang.

)

• Równania symetrii w przestrzeni trójwymiarowej (http:/

/

www.

geom.

uiuc.

edu/

docs/

reference/

CRC-formulas/

node45.

html)

(

ang.

)

Źródła i autorzy artykułu

4

Źródła i autorzy artykułu

Grupa przestrzenna  Źródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35803077  Autorzy: Beno, Doomgiver

Licencja

Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/