1
Ćwiczenie 2
Stosunek prędkości średniej do maksymalnej
I.
Celem ćwiczenia jest eksperymentalne określenie stosunku prędkości średniej do
maksymalnej przy przepływie powietrza przez przewód o przekroju kołowym.
II.
Wprowadzenie
Rozważmy ustalony przepływ nieściśliwego lepkiego płynu przez przewód
kołowy o stałej średnicy D 2R
=
. Pomijamy siły masowe (G 0)
=
. Do rozważań
wybieramy cylindryczny układ współrzędnych (r, φ, z) związany z przewodem w taki
sposób, że oś
z pokrywa się z geometryczną osią rury, a jej zwrot jest zgodny ze
zwrotem wektora prędkości. Zakładamy, że pole prędkości przepływu
v jest
symetryczne względem tej osi i jest funkcją promienia
r.
Przyjmując, że ruch jest laminarny, możemy taki przepływ opisać równaniem
Naviera-Stokesa w postaci:
2
2
1 dp
d v
1 dv
dz
dr
r dr
= ν
+
ρ
(2.1)
gdzie: ρ – gęstość płynu (ρ = const),
p – ciśnienie,
ν
– kinematyczny współczynnik lepkości (ν = const).
Gradient ciśnienia równoległy do osi rury (gdyż
G 0
=
) jest stały i równy:
dp
p
const
dz
L
∆
= −
=
(2.2)
gdzie: ∆p – różnica ciśnień między przekrojami rury odległymi o L.
2
Rys.2.1.
Kinematyczny współczynnik lepkości powietrza w funkcji temperatury i ciśnienia
Zatem
2
2
1 p
d v
1 dv
L
dr
r dr
∆
−
= ν
+
ρ
Powyższą postać równania możemy przekształcić następująco:
1 p
1 d
dv
r
L
r dr
dr
∆
−
= ν
ρ
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy:
[
]
2
1
2
1 p r
v(r) C ln r C
L 4
∆
−
= ν
+
+
ρ
(2.3)
Rozwiązanie (2.3) musi być ze względów fizycznych ograniczone do każdego r, w
szczególności dla r
0
=
. Zatem
1
C
0
=
, gdyż
r
0
limln r
→
= −∞
. Natomiast prędkość płynu
lepkiego na powierzchni kontaktu z ciałem stałym równa się zeru:
__
r
R,
0
_
v
=
=
Wobec tego zachodzi:
2
2
pR
C
4L
∆
= −
µ
3
Poszukiwaną funkcję v(r) może napisać w postaci
2
2
2
pR
r
v(r)
1
4 L
R
∆
=
−
µ
(2.4)
gdzie: µ – dynamiczny współczynnik lepkości.
Profil prędkości przedstawiony zależnością (2.4) ma kształt paraboloidy obrotowej.
Funkcja (2.4) w osi przewodu (r 0)
=
ma maksimum równe:
2
max
pR
v
v(r 0)
4 L
∆
=
= =
µ
(2.5)
Całkując prędkość (2.4) po powierzchni przekroju przewodu, oblicza się strumień
objętości:
R
R
2
2
4
2
F
0
0
2
pR
r
pR
Q
vdF 2
rv(r)dr
r 1
dr
4 L
R
8 L
π∆
π∆
=
= π
=
−
=
µ
µ
∫
∫
∫
(2.6)
Prędkość średnią możemy wyliczyć z definicyjnej zależności:
4
2
sr
2
Q
pR
pR
v
F
8 L R
8 L
π∆
∆
= =
=
µ π
µ
(2.7)
Porównując (2.5) i (2.7) widzimy, że w ruchu laminarnym prędkość średnia równa jest
połowie prędkości maksymalnej.
sr
max
1
v
v
2
=
(2.8)
W przepływie turbulentnym profil prędkości różni się znacznie od rozkładu
prędkości odpowiadającemu ruchowi laminarnemu. Prędkość nieznacznie zmienia się w
podstawowym rdzeniu strumienia płynu i szybko maleje w pobliżu ścianek.
Bezpośrednio przy ściance przewodu znajduje się laminarna warstwa przyścienna o
grubości δ, w której prędkość jest liniową funkcja zmiennej r.
(
)
0
v
R r
τ
=
−
µ
(2.9)
gdzie: τ
0
– naprężenie styczne na ściance.
Natomiast w pozostałej części przekroju profil prędkości w ruchu turbulentnym wyraża
zależność:
4
n
max
r
v
v
1
R
=
−
(2.10)
Wzór (2.10) nazywany jest wzorem potęgowym Prandtla.
Rys.2.2.
Rozkład prędkości w warstwie przyściennej i w rdzeniu turbulentnym
Wartości współczynnika n ustalane są na podstawie pomiarów. Jak wynika z tych
eksperymentów, wartość wykładnika potęgowego zależy od liczby Reynoldsa i maleje
wraz z jej wzrostem.
Z zależności (2.10) przy założeniu, że
R
δ <<
określamy średnią prędkość przepływu
(
)(
)
n
R
max
sr
max
2
0
2v
Q
1
r
v
v
1
2 rdr
F
R
R
n 1 n 2
= =
−
π
=
π
+
+
∫
(2.11)
Stosunek prędkości średniej do maksymalnej przy przepływie turbulentnym jet więc
równy
(
)(
)
sr
max
v
2
k
v
n 1 n 2
=
=
+
+
(2.12)
Dla liczb Reynoldsa z przedziału (10
4
÷10
7
) współczynnik k liczony ze wzoru (2.12)
przyjmuje wartości z zakresu (0,8÷0,9).
III.
Pomiar prędkości miejscowych
Pomiaru prędkości miejscowych dokonuje się zwykle przy pomocy rurek
piętrzących: Pitota i Prandtla. Jeżeli w poruszającym się płynie zostanie zanurzone ciało,
5
to nastąpi spiętrzenie przepływu oraz rozdział strug dookoła tego ciała. W punkcie
stagnacji S (rys.2.3) znajdującym się w środku obszaru spiętrzania, prędkość przepływu
jest równa zeru (v = 0).
Rys.2.3.
Punkt stagnacji
Równanie Bernoulliego dla „zatrzymanej” linii prądu ma postać:
v
p
p
2g
g
g
∞
∞
+
=
ρ
ρ
(2.13)
gdzie: v
∞
, p
∞
- prędkość i ciśnienie w przepływie niezakłóconym,
p – ciśnienie statyczne w punkcie stagnacji.
Przekształcając równanie (2.13) otrzymujemy:
2
v
p p
2
∞
∞
ρ
=
+
(2.14)
Ciśnienie p będące sumą ciśnienia statycznego p
∞
i ciśnienia dynamicznego
2
v
2
∞
ρ
nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie w punkcie stagnacji jest
ciśnieniem całkowitym i jeśli tam zostanie wykonany otwór, to wewnątrz niego będzie
panowało ciśnienie całkowite. Wyznaczenie prędkości przepływu można, zatem
sprowadzić do pomiaru ciśnienia spiętrzania oraz pomiaru ciśnienia statycznego.
Taka metoda pomiaru prędkości realizowana jest przy pomocy rurki Pitota.
Ciśnienie całkowite mierzone jest w punkcie spiętrzania, a statyczne na ściance
rurociągu. Wymaga to jednak założenia, że ciśnienie statyczne w całym przekroju jest
stałe.
6
Z tego względu wygodniej jest posługiwać się rurką Prandtla, umożliwiającą
pomiar zarówno ciśnienia statycznego, dynamicznego i całkowitego. Schemat tego
przyrządu przedstawia rys.2.4.
Rys.2.4.
Rurka Prandtla.
Sonda tego typu pozwala na pomiar ciśnienia różnicowego całkowitego i
statycznego. Ciśnienie całkowite odbierane jest w punkcie stagnacji 2. Ciśnienie
statyczne działa na pobocznicę rurki umieszczonej równolegle do kierunku przepływu.
Różnica ta jest ciśnieniem dynamicznym.
Jak wynika z równania Bernoulliego, w rozważanym przypadku:
2
2
1
1
2
2
p
v
p
v
2
2
+
=
+
ρ
ρ
(2.15)
gdzie: p
1
, p
2
, v
1
, v
2
– ciśnienia i prędkości w punktach 1 i 2 (rys.2.4).
Prędkość v
2
= 0 (punkt stagnacji), a zatem mierzona prędkość przepływu wynosi:
1
d
2
v
v
p
=
=
ρ
(2.16)
gdzie: p
d
= p
2
– p
1
– ciśnienie dynamiczne,
ρ – gęstość płynu.
Ciśnienie dynamiczne, określone jako różnice ciśnienia całkowitego i statycznego,
mierzymy za pomocą mikromanometru z rurką pochyłą.
IV.
Zasada pomiaru ciśnienia przy pomocy mikromanometru z rurką pochyłą
Mikromanometr z rurką pochyłą stosuje się przy pomiarze małych ciśnień
(rys.2.5). Składa się on ze zbiornika pomiarowego (1) zamocowanego na podstawie (2),
7
szklanej rurki (3) umieszczonej na ramieniu. Ramię to składa się z kątownika (4),
uchwytów (5) i prowadnicy wskaźnika (6). Rurka pomiarowa połączona jest ze
zbiornikiem przewodem metalowym. Kurek rozdzielczy zamocowany na pokrywie
zbiornika posiada dwie końcówki oznaczone (+) i (-), które służą do podłączenia
mikromanometru z przestrzenią pomiarową. Przy ustawieniu kurka rozdzielczego w
pozycji „Z” podłącza się węże doprowadzające ciśnienie, w pozycji „O” sprawdza się
punkt zerowy, w pozycji „P” wykonuje się pomiar.
Rys.2.5.
Schemat mikromanometru z rurką pochyłą
1 – zbiornik pomiarowy, 2 – podstawa, 3 – rurka pomiarowa, 4 – kątownik, 5 – uchwyty, 6 –
prowadnica wskaźnika, 7 – kurek rozdzielczy, 8 – ramię, 9 – śruby, 10 – otwór do napełniania
zbiornika, 11 – poziomica.
Możliwość zmiany nachylenia ramienia mikromanometru pozwala na
zwiększenie dokładności pomiaru różnicy wysokości cieczy manometrycznej w
zbiorniku i rurce. Przed pomiarem, jeżeli na ciecz w zbiorniczku i rurce działa ciśnienie
atmosferyczne, zwierciadło cieczy znajduje się na poziomie 0 – 0 (rys.2.6). Jeżeli do
zbiorniczka doprowadzi się ciśnienie p > p
g
(przez końcówkę „+”), wówczas poziom
wody w zbiorniczku obniży się o wartość h
1
, a w rurce przesunie się na długości l.
Rzeczywista różnica wysokości cieczy manometrycznej, równoważąca mierzone
ciśnienie wynosi:
8
=
+
1
2
h
h
h
(2.17)
Objętość cieczy, która wypłynęła ze zbiorniczka jest równa objętości cieczy, która
wpłynęła do rurki, a więc:
⋅ = ⋅
1
r
F h
F l
(2.18)
A po przekształceniu
= ⋅
r
1
F
h
l
F
(2.19)
Gdzie F oznacza pole powierzchni przekroju zbiorniczka, a F
r
pole powierzchni
przekroju rurki. Wartość h
2
wynosi
= ⋅
α
2
h
l sin
(2.20)
Rys.2.6.
Zasada działania mikromanometru z rurką pochyłą
Wstawiając wyrażenia (2.19) i (2.20) do (2.17) uzyskuje się
= ⋅ + ⋅
α =
+
α = ⋅
r
r
F
F
h
l
l sin
l
sin
l n
F
F
(2.21)
Gdzie
= +
α
r
F
n
sin
F
jest przełożeniem manometru, podanym na ramieniu zmiany
przełożenia (8), w zależności od nachylenia rurki.
Bezwzględna wartość mierzonego ciśnienia, obliczona w identyczny sposób, jak
w przypadku U-rurki, wynosi
=
+ γ ⋅ =
+ ρ ⋅ ⋅ ⋅
a
cm
a
cm
p p
h
p
g l n
Zaś nadciśnienia
= ρ ⋅ ⋅ ⋅
n
cm
p
g l n
W przypadku pomiaru podciśnienia, przewód doprowadza się do końcówki (-), a
kurek rozdzielczy ustawia się w położenie „O” umożliwiając kontakt cieczy w
9
zbiorniczku z ciśnieniem atmosferycznym. Przy pomiarze różnicy ciśnień wyższe
ciśnienie doprowadza się do końcówki (+), niższe do końcówki (-).
Przed przystąpieniem do właściwych pomiarów przyrząd należy wypoziomować
i wyzerować.
V.
Przebieg ćwiczenia
Schemat stanowiska przedstawiono na rys.2.3. Zestaw pomiarowy składa się
wentylatora wywołującego przepływ powietrza przez odcinek rurowy, gazomierza
turbinowego (2) z korektorem objętości (1) oraz z rurki Prandtla (3) połączonej z
mikromanometrem z rurką pochyłą typu MPR-4. Pomiar temperatury powietrza
dokonuje się termometrem.
Rys.2.7.
Schemat stanowiska pomiarowego
Sposób wykonania ćwiczenia
1.
Przygotować mikromanometr do pomiaru.
2.
Zmierzyć wielkość średnicy rurociągu.
3.
Podłączyć rurkę Pitota-Prandtla do mikromanometru.
4.
Ustalić maksymalny przepływ powietrza.
5.
Dokonać za pomocą rurki Pitota-Prandtla pomiaru ciśnienia dynamicznego
d
p
.
6.
Zmniejszając stopniowo natężenie przepływu powietrza wykonać 10 pomiarów
d
p
.
7.
Obliczyć prędkość
m
v
i wyniki wpisać do tabeli - przyjąć ρ = 1,292923 [kg/m
3
]
10
8.
Obliczyć prędkość średnią
sr
v
oraz jej stosunek do prędkości maksymalnej
m
v
.
9.
Obliczyć liczbę Reynoldsa Re ,
sr
v D
Re
=
ν
- kinematyczny współczynnik lepkości
odczytujemy z wykresu (rys.2.1).
10.
Wykonać wykres
( )
Re
=
sr
m
v
v
f
.
VI. Bibliografia
1.
Bohdan T., Charun H., Ewertowska Z., Majka K., Sławecki J. „Ćwiczenia
laboratoryjne z mechaniki płynów”, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki
Koszalińskiej, Koszalin 2001.
2.
Filek K., Roszczynialski W., Wacławik J. „Laboratorium mechaniki płynów z
elementami pomiaroznawstwa”, Wydawnictwo AGH, Kraków 1990.
11
Karta pomiaru stosunku prędkości średniej do maksymalnej
Imię i nazwisko studenta: 1 ………………………………………………………………………….…………….
2 ………………………………………………………………………….…………….
3 ………………………………………………………………….…………………….
4 ……………………………….……………………………………………………….
Rok studiów: ………………………………………
Grupa: ……………..…………………………………
Data: …………………………………………………..
Godzina: …………………………………………….
Temperatura otoczenia: ……………………...
Ciśnienie otoczenia: ……………………………
Rodzaj gazu przepływającej przez przewód rurowy: …..…………………………………………………
Temperatura gazu: ……………………………..
Średnica wewnętrzna przewodu rurowego: …………………………………………………………
Rodzaj cieczy manometrycznej w mikromanometrze: …………………………………………………...
Gęstość cieczy manometrycznej: …………………………………………………………………………………..
Tab.1.1. Zestawienie wyników pomiaru
Pomiar, nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Objętościowe natężenie
przepływu – Q [m
3
/s]
Prędkość średnia
– v
sr
[m/s]
Wysokość ciśnienia
dynamicznego – l [mm]
Ciśnienie dynamiczne
– p
d
[Pa]
Prędkość maksymalna
przepływu – v
m
[m/s]
Stosunek v
sr
/v
m
Liczba Reynoldsa –
Re