Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Funkcje - pojęcia podstawowe

Zad.1 Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f , której wartości są określone wzorem:

1.1 f (x) =

√

cos 2x

1.2 f (x) =

2

1−sin x

1.3 f (x) = 2

2

|x+1|−|x−1|

1.4 f (x) =

√

log (9−x

2

)

2

x

−4

1.5 f (x) =

√

3 − x + arccos

x−2

3

1.6 f (x) = ln (

π

3

− arccos

x

2

)

1.7 f (x) =

r

3 −





3x−12

2x+4





1.8 f (x) = log

x

2

−3

(x

2

+ 2x + 3)

1.9 f (x) = arcsin

x

2

−3x+2

x

2

+3x+2

Zad.2 Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji f , której wartości są określone wzorem:

2.1 f (x) =

√

4 − x

2

2.2 f (x) = e

3−x

2.3 f (x) = | ctg(2x) |

2.4 f (x) = −

√

x

2

−

x

|x|

+ 1

2.5 f (x) =

1 + sgn(sin x)

2

2.6 f (x) = arctg(tgx)

Naszkicuj wykres funkcji f .

Zad.3 Wyznacz dziedzinę, zbadaj pzrzystość i nieparzystość funkcji:

3.1 f (x) = 4x − 7

3.2 f (x) = |x| (3

x

+ 3

−x

)

3.3 f (x) =

|x| cos x

x

2

+9

3.4 f (x) = sin

2

(2x)

3.5 f (x) = x log

2−x
2+x

Zad.4 Wyznacz dziedzinę, zbadaj ograniczoność funkcji:

4.1 f (x) = 1 − e

−x

4.2 f (x) = 3π + arcctgx

4.3 f (x) =

π

2

+ 2arcsin(4x − 1)

Zad.5 Wyznacz funkcję odwrotną do danej funkcji f określonej w zbiorze D

f

. Napisz dziedzinę i przeciwdziedzinę

funkcji prostej i odwrotnej.

5.1 f (x) = 1 − x

2

D

f

= [0, ∞)

5.2 f (x) = log

3

(

1
2

x + 1)

D

f

= (−2, ∞)

5.3 f (x) = 1 − 2

2−x

D

f

= R

5.4 f (x) =

e

x

−e

−x

e

x

+e

−x

D

f

= R

5.5 f (x) = 3 sin(2x)

D

f

= [−

π

4

,

π

4

]

5.6 f (x) = arcsin(x + 1) −

π

2

D

f

= [−2, 0]

Zad.6 Oblicz wartość wyrażeń:

6.1 arctg(−

√

3) − 3 arcsin

√

2

2

+

1
2

arccos

√

3

2

6.2 arccos(cos

π

4

) + 4 arcsin(−

√

3

2

) − arcctg(−

√

3)

6.3 cos



3 arcsin

√

3

2

+ arccos(−

1
2

)



6.4 2 arccos(−

1
2

) − arctg1 + arctg(tg

15π

8

)

Zad.7 Wykaż przawdziwość następujących tożsamości:

7.1 arctg(3 + 2

√

2) − arctg

√

2

2

=

π

4

7.2 arcsin

4
5

+ arcsin

5

13

+ arcsin

16
55

=

π

2

1