P

K

M I

wytrzymałość zmęczeniowa

Wytrzymałość - obciążenie

• Wytrzymałość doraźna – obciążenia

statyczne (było)

• Wytrzymałość zmęczeniowa – obciążenia

zmienne w czasie (np. wielokrotne zginanie
metalowego pręta)

Współczynniki bezpieczeństwa ?

naprężenia zmienne w czasie – przyczyna zmęczenia !

t

σ

t

σ

Naprężenia zmienne w czasie

Naprężenia stałe w czasie

Samolot

–

obciążenia losowe

Zginanie zmęczeniowe szyny

Przykłady

• Obracający się zginany wał
• T
• f
• inne

naprężenia zmienne okresowe – np. sinusoidalnie zmienne

t

σ

σ

min

σ

m

σ

max

2

min

max











m

2

min

max











a

naprężenia średnie

amplituda naprężeń

Okres T [s] lub
częstotliwość f [Hz]

Przykład

1,2,3

naprężenia zmienne

t

σ

σ

min

σ

m

σ

max

max

min







R

a

m









współczynnik asymetrii cyklu

współczynnik stałości obciążenia

t

σ

σ

min

σ

m

σ

max

naprężenia zmienne

naprężenia stałe

jednostronny

dodatni

odzerowo

tętniący dodatni

wahadłowy

odzerowo

tętniący ujemny

max

min







R

a

m









R = +1



= +



0 < R < 1

1 <



< +



R = 0



= 1

R = -1



= 0

R = ?





= -1

Asymetria cyklu:

Współczynnik
stałości obciążenia

Związki R -



?

wykres W

öhlera – najczęściej cykle wahadłowe

N

σ

a

wykres W

öhlera

N

1/4

10

3

10

4

10

7

I

II

III

IV

I -

wytrzymałość.

quasi-statyczna

II - w. niskocyklowa

III - w. wysokocyklowa

IV - w. nieograniczona

1

·10

7

- stal

1

·10

8

-

metale nieżelazne

σ

a

wykres W

öhlera

Log N

σ

a

10

3

Z

g

Z

g0

-

zginanie wahadłowe

Z

gj

- zginanie odzerowe

Z

s0

-

skręcanie wahadłowe

Z

sj

-

skręcanie odzerowe

Z

rc

-

rozciąganie-ściskanie
wahadłowe

Z

rj

-

rozciąganie odzerowo
tętniące

Z

cj

-

ściskanie odzerowo
tętniące

Z

g

– granica zmęczenia

N

0

Nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa

wykres W

öhlera

Log N

10

3

N

0

Z

g

Z

g

– granica zmęczenia

N

σ

a

0

log

log

N

k

Z

N

k

g

a









N

N

Z

k

g

a

log

log

0









stal 45 (C45)

– wahadłowe zginanie:

σ

a

= 350 MPa

N = 10

5

Z

g

= 280 MPa

N

0

= 1,2

·10

6

k=65

Równanie nachylonej prostej:

Współczynnik:

σ

a

granica zmęczenia – stale konstrukcyjne

przybliżone wartości granic zmęczenia:

stale węglowe i stopowe obrabiane cieplnie:

Z

g0

=0,45

·R

m

Z

gj

=0,7

·R

m

Z

rc

=0,33

·R

m

Z

rj

=(0,55

÷0,63)·R

m

Z

s0

=0,25

·R

m

Z

sj

=(0,45

÷0,5)· R

m

zginanie

granica zmęczenia – ujęcie probabilistyczne (duże rozrzuty !) – zginane próbki stal C45

wykres zmęczeniowy Smitha – uwzględnia naprężenia średnie

– opisuje właściwości materiałowe - zmęczeniowe

σ

m

σ

m

σ

max

σ

min

σ

max

σ

min

σ

m

σ

m

R

m

σ

max

σ

min

Zg

const

m





Granice zmęczenia z
wykresów

Wöhlera

wykres zmęczeniowy Smitha - uproszczony

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

max

σ

min

Zg

Jakie dane ?

Jakie N ?

Jakie R ?

wykres zmęczeniowy Haigha

σ

m

σ

a

R

e

Z

rc

Z

rj

/2

Z

rj

/2

R

e

R

m

const

R





max

min





Obciążenie
wahadłowe

Obciążenie
statyczne

Obciążenie odzerowo-tętniące

Zadanie 1

– wykres Smitha

1.

Narysować wykres Smitha wg stałych materiałowych
podanych w tabeli.

2.

Obliczyć dopuszczalne amplitudy naprężenia σ

a1

oraz

σ

a2

tak, aby element

miał nieograniczoną wytrzymałość

zmęczeniową.

własności mechaniczne [MPa]

R

m

R

e

Z

g0

Z

gj

650

430

280

470

Element ze stali 45 poddany jest czystemu zginaniu, przy czym
naprężenie średnie wynosi σ

m1

=100 MPa lub

σ

m2

=350 MPa.

Zadanie 1

– wykres Smitha

własności mechaniczne [MPa]

R

m

R

e

Z

g0

Z

gj

650

430

280

470

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

max

σ

min

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

R

e

Z

gj

Z

gj

/2

Z

g0

-Z

g0

σ

m2

σ

a2

σ

a1

σ

m1

σ

m

Z

g

log N

σ

Z

g

brak
pęknięć

pęknięcie
krytyczne

wzrost
pęknięcia

proces zniszczenia zmęczeniowego

proces zniszczenia zmęczeniowego – przełom zmęczeniowy

1 - ognisko

2 - strefa przyogniskowa

3 - uskoki pierwotne

4 -

prążki zmęczeniowe

5 -

uskoki wtórne

6 -

strefa przejściowa

7 - strefa resztkowa

gładkie

Właściwości zmęczeniowe

• Współczynnik kształtu

α

k

(wałek z karbem)

• Współczynnik działania karbu

β

k

(wrażliwość materiału na działanie karbu

η

k

- materiał kruchy i plastyczny)

• Współczynnik wielkości przedmiotu

ε

• Współczynnik obróbki powierzchni

β

p

•

współczynnik kształtu – karb – zmiana rozkładu naprężeń (spiętrzenie) ! Zmęczenie

Rowki, otwory, wycięcia, gwinty …

rozciąganie

zginanie

skręcanie

n

k







max



n

k







max



n

k







max



współczynnik kształtu – zależny wyłącznie od geometrii karbu





















,

,

r

R

r

f

k

r

R





współczynnik kształtu

skręcanie pręta okrągłego

z odsadzeniem

R = D/2 = 24 mm

r = d/2 = 20 mm

R/r = 24/20 = 1,2

ρ = 4 mm

ρ/r = 4/20 = 0,2

α

k

= 1,35

ρ = 2 mm

ρ/r = 2/20 = 0,1

α

k

= 1,76

ρ = 1 mm

ρ/r = 1/20 = 0,05 α

k

= 2,4

Zmniejszenie wpływu karbu (współczynnika kształtu) – odciążenie – przykłady

wgłębienie

wgłębienie

rowek odciążający

rowek odciążający

zaokrąglenie

zaokrąglenie eliptyczne

rowek i zaokrąglenie

pierścień dystansowy

współczynnik działania karbu

-

model

k

gł

k

Z

Z





Z

gł

-

granica zmęczenia próbki gładkiej

Z

k

-

granica zmęczenia próbki z karbem





1

1







k

k

k







η

k

-

współczynnik wrażliwości
materiału na działanie karbu

η

k

= 1 dla materiałów doskonale sprężystych

i doskonale kruchych

η

k

= 0 dla materiałów doskonale

plastycznych

z wyjątkiem żeliwa szarego -

η

k

bliskie zeru

Z wykresów lub ze wzoru lub będzie podany:

n

k







max



współczynnik kształtu

współczynnik działania karbu

ρ

R

m

η

k

α

k

β

k

4

810

0,875

1,65

1,58

Stal C45 o Rm = 810 MPa

65

1.



k



element z karbem o ρ=4 mm

współczynnik działania karbu – obciążenie wahadłowym zginaniem wałka

ρ

Z

α

k

β

k

4

380

1,65

1,54

Wpływ wielkości przekroju

10

Z

Z

d





d

Z

10

Z

-

wytrzymałość zmęczeniowa próbki o dowolnej średnicy

-

wytrzymałość zmęczeniowa próbki z tego samego

materiału o średnicy 7- 10 mm

Wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz

ze wzrostem wymiarów elementów

współczynnik wielkości przedmiotu (stal konstrukcyjna) w odniesieniu do wałka Φ10 mm

d

Z

α

k

1/

ε

50

380

1,65

1,39

10

Z

Z

d





współczynnik obróbki powierzchni

• Obróbka skrawaniem
• do obliczeń wytrzymałościowych elementów

z karbami stosuje się zależność;

obr

pol

p

Z

Z





pol

Z

obr

Z

-

wytrzymałość zmęczeniowa próbki polerowanej

-

wytrzymałość zmęczeniowa próbki po (różnej)

obróbce skrawaniem

1







p

k







-

współczynnik działania karbu

k



współczynnik obróbki powierzchni (odniesienie – próbka polerowana)

R

a

β

p

obr

pol

p

Z

Z





810

10

1,2

1,1

β

p

’

rozciąganie i zginanie

skręcanie

1







p

k







szlifowane

toczone

Zgrubnie toczone

Karb obrączkowy

R

a

–

średnie arytmetyczne odchylenie profilu od linii średniej

βp

βp=βp’=1,

dla próbek

polerowanych

Obróbki polepszające warstwę wierzchnią

• Kulowanie
• Wałeczkowanie i krążkowanie
• Młotkowanie
• Rozwalcowanie otworów i wciskanie stempli
• Przeprężanie

Obróbka cieplna / chemiczna
– Hartowanie
– Umacnianie laserowe
– Nawęglanie
– Azotowanie
– Cyjanowanie
– Wegloazotowanie
– itp,…

– Powlekanie galwaniczne zwiększa odporność na ścieranie ale

obniża granicę zmęczenia

współczynnik wpływu obróbki powierzchni

obr

k











obróbka

rodzaj próbki średnica [mm]

β

obr

kulowanie

gładka

7-20

0,77-0,91

30-40

0,91-0,93

z karbem

7-20

0,40-0,70

30-40

0,57-0,90

azotowanie

gładka

8-15

0,80-0,87

30-40

0,87-0,90

z karbem

8-15

0,33-0,52

30-40

0,50-0,77

obr

obr

Z

Z





Naprężenia nominalne i maksymalne













n

max

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

a

a

Z

Z



















max

δ - współczynnik bezpieczeństwa
Z -

granica zmęczenia

ε - współczynnik wielkości przedmiotu
β - współczynnik działania karbu i powierzchni
σ

a

-

nominalna amplituda obciążenia

przyjmowana wartość współczynnika bezpieczeństwa δ

δ

przypadek

1,3

÷1,5

wykorzystanie wyników badań eksperymentalnych

1,5

÷1,7

zwykła dokładność obliczeń, elementy niewielkie, dobra
technologia wykonania

1,7

÷2,0

zwykła dokładność obliczeń, elementy duże lub o średniej
technologii wykonania

2,0

÷3,0

obliczenia orientacyjne, ciężkie warunki pracy, elementy
odlewane

ZADANIE 1 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

Wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa δ

1

dla

pręta ze stali C35

(normalizowanej) o

średnicy D

=

20 mm

obciążonego wahadłowo zmiennym

momentem

zginającym o amplitudzie M

=50 Nm.

Własności stali: Z

g0

=255 MPa,

R

m

=

550 MPa.

Określić współczynnik bezpieczeństwa δ

2

jeśli na pręcie

wykonany zostanie karb

obrączkowy o promieniu ρ

=

2 mm, przy czym

średnica

pręta ulega w tym miejscu zmniejszeniu do d

=

15 mm.

Wał został dokładnie

wytoczony,

wartość R

a

=

10

μm.

a

Z















1







p

k







32

3

d

M

W

M

x

a











σ

m

R

e

Z

go

Z

gj

Z

rj

/2

-Z

rc

a

Z















1







p

k







32

3

d

M

W

M

x

a











σ

a

Z = Z

go

A

ZADANIE 1 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

ZADANIE 1 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

ZADANIE 1 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

ZADANIE 1 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

max

σ

min

-Z

rc

A

A’’

A

0

A’

L

L

0

L’’

L’

'

'

max

max

AA

LL

A

L











Założenie: dla R = const

max

min







R

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. plastyczny

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

max

σ

min

-Z

rc

B

B’’

B

0

B’

P

P

0

P’’

P’

'

'

max

max

BB

PP

B

P

e











Dla R = const

max

min







R

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

ma

x

σ

min

-Z

rc

A

A’

L

L’

'

'

max

max

AA

LL

A

L















































m

a

rc

rj

rj

rc

m

a

rc

Z

Z

Z

Z

Z

2

Dla R = const

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy

σ

m

R

e

Z

rc

Z

rj

Z

rj

/2

σ

ma

x

σ

min

-Z

rc

C

C’=S’

S

'

'

max

max

CC

SS

C

S











a

m

rc

a

rj

rj

rc

m

rc

Z

Z

Z

Z

Z





































2

Dla

σ

m

= const

ZADANIE 2 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne

Wał obciążony jest momentem skręcającym M = M

m

± M

a

= 5000

±2000 Nm.

W pewnym miejscu jego

średnica zmienia się z D = 80 mm na d = 60 mm, przy

czym wykonane jest tam odsadzenie o promieniu

ρ = 5 mm.

1.

Narysować wykres Smitha jeżeli dane stali C55 z której wykonano wał są
następujące: Z

s0

= 225 MPa; Z

sj

= 405 MPa; R

es

= 320 MPa; R

m

= 700 MPa.

2.

Określić

dopuszczalną

chropowatość

wału

jeżeli

współczynnik

bezpieczeństwa ma być nie mniejszy niż δ = 1,45. W przypadku
przeciążenia współczynnik asymetrii cyklu pozostaje stały.

16

3

d

M

a









ZADANIE 2 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne

ZADANIE 2 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne

ZADANIE 2 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne

ZADANIE 2 -

współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne

hipoteza kumulacji uszkodzeń

N

σ

σ

1

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

n

1

n

2

n

3

n

4

n

5

N

1

N

2

N

3

N

4

N

5

=



hipoteza Palmgrena-Minera:









k

i

i

i

N

n

D

1

1

ZADANIE 3

– kumulacja uszkodzeń

Okrągłe cięgno pokazane na rysunku obciążone jest naprężeniami blokami wg.
tabeli.

Obliczyć maksymalną liczbę bloków do zniszczenia, jeżeli granica

zmęczenia wynosi Z

g

=280 MPa przy N

0

= 1,2

·10

6

cykli,

zaś dla σ

x

= 350 MPa

zmniejsza

się do N

x

= 10

5

.

Pozostałe stałe materiałowe: R

e

= 290 MPa,

R

m

= 480 MPa.

lp.

amplituda

obciążenia [kN]

liczba

cykli

1

10,5

10

2

7,5

300

3

8,5

80

4

9

50

D = 10

m

m

d = 7

m

m



= 1 mm









ZADANIE 3

– kumulacja uszkodzeń

ZADANIE 3

– kumulacja uszkodzeń

ZADANIE 3

– kumulacja uszkodzeń

wytrzymałość niskocyklowa

ε

ac

-

amplituda odkształcenia całkowitego

ε

apl

-

amplituda odkształcenia plastycznego

ε

as

-

amplituda odkształcenia sprężystego

wytrzymałość niskocyklowa

N

ε

apl

N

σ

a

σ

a

= const

ε

apl

= const

materiał wykazujący:

umocnienie

,

osłabienie

,

stabilność