2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM PODSTAWOWY

5

KWIETNIA

2014

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Która z liczb jest najwi˛eksza?

A)



1

25



1

2

B) 25

1

2

C)

(

0, 2

)

2

D)

(

0, 2

)

4

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

 1

25



1

2

=

25

1

2

=

25

=

5

25

1

2

=

25

=

5

(

0, 2

)

2

=

 1

5



2

=

5

2

=

25

(

0, 2

)

4

=

 1

5



4

=

1

625

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

Gdy do 50% liczby 73 dodamy 73% liczby 50, to otrzymamy
A) 1

B) 73

C)

73

100

D) 100

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

50%

·

73

+

73%

·

50

=

50

100

·

73

+

73

100

·

50

=

100
100

·

73

=

73.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Wska ˙z nierówno´s´c, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej:

x

6

0

-3

A)

|

x

1, 5

| <

4, 5

B)

|

x

+

1, 5

| <

4, 5

C)

|

x

+

6

| <

9

D)

|

x

+

3

| <

3, 5

R

OZWI ˛

AZANIE

Skorzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci:

|

x

a

| <

b.

Zbiór ten składa si˛e z liczb, które s ˛

a odległe (na osi liczbowej) od liczby a o mniej ni ˙z b.

´Srodkiem danego przedziału jest x

=

3

+

6

2

=

1, 5 i ma on długo´s´c 6

− (−

3

) =

9. Zatem

jest to zbiór liczb, które s ˛

a odległe od 1,5 o mniej ni ˙z 4,5.

x

6

0

-3

1,5

Zbiór ten jest wi˛ec rozwi ˛

azaniem nierówno´sci

|

x

1, 5

| <

4, 5.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Wykres funkcji kwadratowej f

(

x

) =

x

2

6x

+

10 powstaje z wykresu funkcji g

(

x

) =

x

2

+

1

przez przesuni˛ecie o 3 jednostki
A) w prawo

B) w lewo

C) w gór˛e

D) w dół

R

OZWI ˛

AZANIE

Zapiszmy podan ˛

a funkcj˛e w postaci kanonicznej

x

2

6x

+

10

= (

x

3

)

2

+

1.

Wida´c, ˙ze wykres ten powstaje z wykresu y

=

x

2

+

1 przez przesuni˛ecie o 3 jednostki w

prawo (bo wierzchołek jest w punkcie

(

3, 1

)

).

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

-5

-1

+3

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

y=x +1

2

y=(x-3) +1

2

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Prosta o równaniu y

=

3x

3 jest nachylona do osi Ox pod k ˛

atem

A) 30

B) 45

C) 60

D) 0

R

OZWI ˛

AZANIE

Tangens k ˛

ata nachylenia prostej o równaniu y

=

ax

+

b do osi Ox jest równy a. Liczymy

tg α

=

3

α

=

60

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

6

(1

PKT

)

Liczby rzeczywiste a, b, c spełniaj ˛

a warunki: a

+

b

= −

4, b

+

c

=

7 i c

+

a

=

1. Wtedy suma

a

+

b

+

c jest równa

A)

10

B) 8

C) 4

D) 2

R

OZWI ˛

AZANIE

Mamy tak naprawd˛e dany układ równa ´n

a

+

b

= −

4

b

+

c

=

7

c

+

a

=

1.

Dodaj ˛

ac te równania stronami mamy

2a

+

2b

+

2c

=

4.

Zatem a

+

b

+

c

=

2.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(1

PKT

)

Dla ka ˙zdego k ˛

ata ostrego α wyra ˙zenie cos

2

α

+

sin

2

α

·

cos

2

α

+

cos

4

α

jest równe

A) 2 sin

2

α

B) 2 cos

2

α

C) 1

D) 2

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystaj ˛

ac z jedynki trygonometrycznej mamy

cos

2

α

+

sin

2

α

·

cos

2

α

+

cos

4

α

=

=

cos

2

α

+

cos

2

α

(

sin

2

α

+

cos

2

α

) =

cos

2

α

+

cos

2

α

=

2 cos

2

α

.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

8

(1

PKT

)

Zbiorem warto´sci funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest przedział:

x

y

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-3

-2

-1

0

-5

-4

A)

h−

4, 2

i

B)

h−

4, 5

i

C)

h−

2, 3

i

D)

h−

4, 3

i

R

OZWI ˛

AZANIE

Zbiór warto´sci odczytujemy z wykresu:

h−

4, 3

i

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

9

(1

PKT

)

Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x, wyra ˙zenie 9x

4

+

12x

2

+

4 jest równe

A)

(

3x

2

+

2

)(

3x

2

2

)

B)

(

3x

2

+

2

)(

3x

2

+

2

)

C)

(

3x

2

2

)(

3x

2

2

)

D)

(

3x

2

4

)(

3x

2

+

2

)

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Zauwa ˙zmy, ˙ze podane wyra ˙zenie to pełen kwadrat.

9x

4

+

12x

2

+

4

= (

3x

2

+

2

)

2

= (

3x

2

+

2

)(

3x

2

+

2

)

.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

10

(1

PKT

)

Liczba log

0,5

50

log

0,5

25 jest równa

A) log

0,5

25

B) 1

C)

1

D) log

0,5

1250

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

log

0,5

50

log

0,5

25

=

log

0,5

50
25

=

log

1

2

2

=

log

1

2

 1

2



1

= −

1.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

11

(1

PKT

)

Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dziel ˛

a okr ˛

ag o ´srodku S na dziesi˛e´c równych łuków. Oblicz

miar˛e k ˛

ata SHE zaznaczonego na rysunku.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

S

A) 54

B) 72

C) 36

D) 45

R

OZWI ˛

AZANIE

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Dorysujmy odcinek SE.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

S

Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛

at HSE jest równoramienny i k ˛

at HSE jest k ˛

atem ´srodkowym opar-

tym na łuku HE o długo´sci równej

3

10

długo´sci okr˛egu. Zatem

]HSE

=

3

10

·

360

=

108

oraz

]SHE

=

180

]HSE

2

=

180

108

2

=

36

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

12

(1

PKT

)

Na rysunku poni ˙zej przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej y

=

ax

+

b.

+1

x

-1

+1

y

-1

Jakie nierówno´sci spełniaj ˛

a współczynniki a i b?

A) a

> −

1 i b

> −

1

B) a

< −

1 i b

< −

1

C) a

> −

1 i b

< −

1

D) a

< −

1 i b

> −

1

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Dana prosta przecina o´s Oy powy ˙zej prostej y

= −

1, wi˛ec b

> −

1. Ponadto z wykresu

wida´c, ˙ze

a

= (

a

+

b

) −

b

=

f

(

1

) −

f

(

0

) < −

1.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

13

(1

PKT

)

Nierówno´s´c 2x

5mx

+

4

<

8 jest spełniona przez ka ˙zd ˛

a liczb˛e rzeczywist ˛

a je ˙zeli

A) m

=

0

B) m

=

1

2

C) m

=

5

2

D) m

=

2

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Zapiszmy nierówno´s´c w postaci

(

2

5m

)

x

<

4.

Wykresem lewej strony jest prosta i je ˙zeli ma ona w cało´sci znajdowa´c si˛e poni ˙zej prostej
y

=

4, to musi to by´c pozioma prosta, czyli musimy mie´c m

=

2

5

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

14

(1

PKT

)

Punkt M

= (

a, b

)

jest ´srodkiem odcinka o ko ´ncach A

= (

5, a

)

i B

= (−

3,

5

)

. Wówczas

A) a

=

b

B) a

=

b

+

3

C) a

=

b

+

5

D) b

=

a

+

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Ze wzoru na współrz˛edne ´srodka odcinka mamy układ równa ´n

(

a

=

5

3

2

b

=

a

5

2

.

Z pierwszego równania a

=

1, a wtedy z drugiego b

= −

2.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

15

(1

PKT

)

Stosunek długo´sci trzech kraw˛edzi prostopadło´scianu o obj˛eto´sci 240 jest równy 2:3:5. Pole
powierzchni tego prostopadło´scianu jest równe:
A) 124

B) 248

C) 496

D) 62

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Powiedzmy, ˙ze kraw˛edzie prostopadło´scianu maj ˛

a długo´sci: 2a, 3a, 5a.

2a

3a

5a

Z podanej obj˛eto´sci mamy

240

=

2a

·

3a

·

5a

=

30a

3

/ : 30

8

=

a

3

a

=

2.

Pole powierzchni prostopadło´scianu jest wi˛ec równe

2

(

3a

·

2a

+

3a

·

5a

+

2a

·

5a

) =

62a

2

=

248.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

16

(1

PKT

)

Ci ˛

ag

(

a

n

)

okre´slony dla n > 1 jest arytmetyczny oraz a

3

=

15 i a

4

=

11. Pierwszy wyraz tego

ci ˛

agu jest równy

A) a

1

=

23

B) a

1

=

3

C) a

1

=

19

D) a

1

=

7

R

OZWI ˛

AZANIE

Ró ˙znica ci ˛

agu

(

a

n

)

jest równa

r

=

a

4

a

3

=

11

15

= −

4.

St ˛

ad

a

2

=

a

3

r

=

15

+

4

=

19

a

1

=

a

2

r

=

19

+

4

=

23.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

17

(1

PKT

)

Kwot˛e 1000 zł wpłacamy do banku na 3 lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym
banku co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Po trzech latach otrzymamy kwot˛e
A) 1000

· (

1, 08

)

12

B) 1000

· (

1, 2

)

3

C) 1000

· (

1, 02

)

12

D) 1000

· (

1, 02

)

3

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Oprocentowanie roczne wynosi 8%, czyli kwartalne wynosi

8%

4

=

2%.

Korzystamy ze wzoru na procent składany.

K

12

=

1000

· (

1

+

0, 02

)

12

=

1000

· (

1, 02

)

12

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

18

(1

PKT

)

Pole równoległoboku o bokach długo´sci 6 i 10 oraz k ˛

acie ostrym 30

jest równe

A) 60

B) 30

3

C) 30

D) 60

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy równoległobok.

10

6

h

30

o

Sposób I

Ze wzoru z sinusem na pole równoległoboku mamy

P

=

6

·

10 sin 30

=

60

·

1
2

=

30.

Sposób II

Obliczamy wysoko´s´c równoległoboku.

h
6

=

sin 30

=

1
2

h

=

3.

Zatem

P

=

10

·

3

=

30.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

19

(1

PKT

)

K ˛

at α w trójk ˛

acie prostok ˛

atnym przedstawionym na rysunku spełnia warunek sin α

=

5

13

.

Bok CA tego trójk ˛

ata ma długo´s´c:

26

α

A

B

C

A) 10

B) 24

C) 12

D) 5

R

OZWI ˛

AZANIE

Z podanego sinusa obliczamy długo´s´c boku BC.

5

13

=

sin α

=

BC
AB

=

BC

26

BC

=

10.

St ˛

ad

AC

=

p

AB

2

BC

2

=

676

100

=

576

=

24.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

20

(1

PKT

)

Odległo´s´c mi˛edzy ´srodkami okr˛egów o równaniach

(

x

4

)

2

+ (

y

+

3

)

2

=

16 oraz

(

x

+

3

)

2

+

(

y

2

)

2

=

9 jest równa

A)

74

B)

26

C) 5

2

D)

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwszy okr ˛

ag ma ´srodek A

= (

4,

3

)

, a drugi B

= (−

3, 2

)

. Odległo´s´c ´srodków jest wi˛ec

równa

AB

=

q

(−

3

4

)

2

+ (

2

+

3

)

2

=

49

+

25

=

74.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

21

(1

PKT

)

Pole powierzchni bocznej sto ˙zka wynosi 8π. Je ˙zeli przekrój osiowy sto ˙zka jest trójk ˛

atem

równobocznym, to pole tego przekroju jest równe:
A) 4π

B) 8

3

C) 4

3

D) 8π

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy sto ˙zek.

a

a/2

a/2

Z obrazka wida´c, ˙ze promie ´n podstawy sto ˙zka jest równy połowie boku trójk ˛

ata równo-

bocznego b˛ed ˛

acego przekrojem. Zapiszmy informacj˛e o polu powierzchni bocznej.

8π

=

πrl

=

π

·

a

2

·

a

a

2

=

16

a

=

4.

W takim razie pole przekroju jest równe (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛

ata równobocz-

nego).

P

=

a

2

3

4

=

16

3

4

=

4

3.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

22

(1

PKT

)

Dany jest ci ˛

ag

(

a

n

)

o wyrazie ogólnym a

n

=

n

2

+

1, gdzie n > 1. Wówczas

A) a

n

+

1

=

n

2

+

2n

B) a

n

+

1

=

n

2

C) a

n

+

1

=

n

2

+

2n

+

2

D) a

n

+

1

=

n

2

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (podstawiamy we wzorze n

+

1 zamiast n)

a

n

+

1

= (

n

+

1

)

2

+

1

=

n

2

+

2n

+

1

+

1

=

n

2

+

2n

+

2.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

23

(1

PKT

)

Rzucamy czterokrotnie symetryczn ˛

a monet ˛

a. Prawdopodobie ´nstwo, ˙ze otrzymamy co naj-

mniej dwa orły jest równe
A)

11

16

B)

5

8

C)

5

16

D)

7

8

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Obliczmy, ile jest zdarze ´n elementarnych

|

| =

2

·

2

·

2

·

2

=

16.

Sposób I

Wypisujemy zdarzenia sprzyjaj ˛

ace

(

o, o, o, o

)

(

r, o, o, o

)

,

(

o, r, o, o

)

,

(

o, o, r, o

)

,

(

o, o, o, r

)

(

r, r, o, o

)

,

(

r, o, r, o

)

,

(

r, o, o, r

)

,

(

o, r, r, o

)

,

(

o, r, o, r

)

,

(

o, o, r, r

)

.

Jest wi˛ec 11 zdarze ´n sprzyjaj ˛

acych i prawdopodobie ´nstwo jest równe

11
16

.

Sposób II

Zdarze ´n sprzyjaj ˛

acych jest sporo, wi˛ec łatwiej jest wypisa´c zdarzenia, które nie s ˛

a sprzyjaj ˛

a-

ce, czyli takie, w których otrzymali´smy mniej ni ˙z dwa orły:

(

r, r, r, r

)

,

(

o, r, r, r

)

,

(

r, o, r, r

)

,

(

r, r, o, r

)

,

(

r, r, r, o

)

.

W takim razie zdarze ´n sprzyjaj ˛

acych jest 16

5

=

11 i prawdopodobie ´nstwo jest równe

11
16

.

Odpowied´z: A

Zadania otwarte

Z

ADANIE

24

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z nierówno´s´c 3x

2x

2

6 0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozwi ˛

azujemy nierówno´s´c

3x

2x

2

6 0 /

· (−

1

)

2x

2

3x > 0

2x



x

3
2



> 0

x

∈ (−

∞, 0

i ∪

 3

2

,

+



.

Odpowied´z:

(−

∞, 0

i ∪

3

2

,

+

∞

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

25

(2

PKT

)

K ˛

at α jest ostry oraz tg α

=

2. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia

cos

3

α

cos α

sin

3

α

sin α

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (korzystamy z jedynki trygonometrycznej).

cos

3

α

cos α

sin

3

α

sin α

=

cos α

(

cos

2

α

1

)

sin α

(

sin

2

α

1

)

=

cos α sin

2

α

sin α cos

2

α

=

sin α

cos α

=

tg α

=

2.

Odpowied´z: 2

Z

ADANIE

26

(2

PKT

)

Niesko ´nczony ci ˛

ag geometryczny

(

a

n

)

jest okre´slony wzorem a

n

= (−

6

) ·

3

n−2

2

n+3

, dla n > 1.

Oblicz iloraz q tego ci ˛

agu.

R

OZWI ˛

AZANIE

Iloraz ci ˛

agu geometrycznego jest równy ilorazowi jego dwóch s ˛

asiednich wyrazów, wi˛ec np.

q

=

a

2

a

1

=

(−

6

) ·

3

0

2

5

(−

6

) ·

3

−1

2

4

=

2

4

2

5

·

3

1

=

3
2

.

Odpowied´z: q

=

3

2

Z

ADANIE

27

(2

PKT

)

Liczby a i b s ˛

a nieparzyste i daj ˛

a przy dzieleniu przez 4 ró ˙zne reszty. Wyka ˙z, ˙ze suma kwa-

dratów tych liczb nie jest podzielna przez 4.

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli liczby a i b s ˛

a nieparzyste i daj ˛

a ró ˙zne reszty z dzielenia przez 4, to musz ˛

a przy

dzieleniu przez 4 dawa´c reszty 1 i 3. Bez zmniejszania ogólno´sci mo ˙zemy przyj ˛

a´c, ˙ze a

=

4m

+

1, b

=

4n

+

3. W takim razie

a

2

+

b

2

= (

4m

+

1

)

2

+ (

4n

+

3

)

2

=

16m

2

+

8m

+

1

+

16n

2

+

24n

+

9

=

=

4

(

4m

2

+

2m

+

4n

2

+

6n

+

2

) +

2.

Wida´c teraz, ˙ze liczba ta nie dzieli si˛e przez 4 (daj˛e reszt˛e 2 przy dzieleniu przez 4).

Z

ADANIE

28

(2

PKT

)

Wiadomo, ˙ze a

>

0 i a

2

+

1

a

2

=

a

+

1

a

. Wyka ˙z, ˙ze a

+

1

a

=

2.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech x

=

a

+

1

a

. Wtedy x

>

0 oraz

x

2

=



a

+

1

a



2

=

a

2

+

2

·

a

·

1

a

+

1

a

2

=

2

+

a

2

+

1

a

2

.

W takim razie dan ˛

a równo´s´c mo ˙zemy zapisa´c w postaci

x

2

=

2

+

x

x

2

x

2

=

0

=

1

+

8

=

9

x

=

1

3

2

= −

1

lub

x

=

1

+

3

2

=

2.

Poniewa ˙z x

>

0, mamy st ˛

ad x

=

2.

Z

ADANIE

29

(2

PKT

)

Oblicz sum˛e wszystkich liczb trzycyfrowych, których cyfra jedno´sci jest równa 3 lub 8.

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczby, o których mowa s ˛

a kolejnymi wyrazami ci ˛

agu arytmetycznego o ró ˙znicy 5:

a

1

=

103, a

2

=

108, a

3

=

113, . . . , a

n

=

998.

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ci ˛

ag.

998

=

a

n

=

a

1

+ (

n

1

)

r

998

=

103

+

5

(

n

1

)

895

=

5

(

n

1

)

/ : 5

179

=

n

1

n

=

180.

W takim razie suma tych liczb jest równa

S

180

=

a

1

+

a

n

2

·

n

=

103

+

998

2

·

180

=

1101

·

90

=

99090.

Odpowied´z: 99090

Z

ADANIE

30

(2

PKT

)

Punkt E jest ´srodkiem boku BC równoległoboku ABCD, a odcinek AE przecina przek ˛

atn ˛

a

BD w punkcie F. Wyka ˙z, ˙ze

|

FD

| =

2

|

BF

|

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

A

B

C

D

F

E

Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛

aty AFD i EFB maj ˛

a równe k ˛

aty, wi˛ec s ˛

a podobne. W takim razie

FD

FB

=

DA

BE

=

CB

BE

=

2.

Z

ADANIE

31

(4

PKT

)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójk ˛

atnego jest równe 9

3 cm

2

, a jego pole po-

wierzchni bocznej jest równe 18

3 cm

2

. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

A

B

C

S

D

a

H

E

h

Wiemy, ˙ze trójk ˛

at równoboczny w podstawie ma pole 9

3, wi˛ec mamy

9

3

=

a

2

3

4

a

2

=

36

a

=

6.

W takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie

3

·

1
2

ah

=

18

3

3

·

1
2

·

6h

=

18

3

/ : 9

h

=

2

3.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Obliczmy jeszcze długo´s´c odcinka DE – jest ona równa długo´sci promienia okr˛egu wpisa-
nego w postaw˛e.

DE

=

1
3

·

AD

=

1
3

·

a

3

2

=

3.

Z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego DES mamy

H

=

p

h

2

DE

2

=

12

3

=

3.

Obj˛eto´s´c ostrosłupa jest wi˛ec równa

V

=

1
3

·

P

p

·

H

=

1
3

·

9

3

·

3

=

9

3.

Odpowied´z: V

=

9

3 cm

3

Z

ADANIE

32

(4

PKT

)

W rombie ABCD dane s ˛

a A

= (−

1,

5

)

i punkt przeci˛ecia przek ˛

atnych S

= (

2,

2

)

. Wierz-

chołek B le ˙zy na prostej y

=

1

3

x

4. Oblicz współrz˛edne pozostałych wierzchołków rombu.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

+1

+2

+5

x

-5

-2

-1

+1

y

A

B

C

D

S

Poniewa ˙z przek ˛

atne rombu dziel ˛

a si˛e na połowy, punkt S jest ´srodkiem odcinków AC i

BD. To pozwala łatwo wyznaczy´c współrz˛edne punktu C

= (

x

C

, y

C

)

.

(

2,

2

) =

S

=

A

+

C

2

=



1

+

x

C

2

,

5

+

y

C

2



(

4

= −

1

+

x

C

x

C

=

5

4

= −

5

+

y

C

y

C

=

1.

Zatem C

= (

5, 1

)

.

Mo ˙zemy teraz napisa´c równanie przek ˛

atnej BD rombu – jest to prosta prostopadła do

AC i przechodz ˛

aca przez S. Równanie prostej BD napiszemy na kilka sposobów.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób I

Je ˙zeli punkt P

= (

x, y

)

le ˙zy na prostej BD to

AP

=

CP

AP

2

=

CP

2

(

x

+

1

)

2

+ (

y

+

5

)

2

= (

x

5

)

2

+ (

y

1

)

2

x

2

+

2x

+

1

+

y

2

+

10y

+

25

=

x

2

10x

+

25

+

y

2

2y

+

1

12y

= −

12x

y

= −

x.

Szukamy teraz punktu wspólnego B prostych BD i danej prostej y

=

1

3

x

4.

(

y

= −

x

y

=

1

3

x

4

Mamy zatem

x

=

1
3

x

4

4

=

4
3

x

x

=

3.

St ˛

ad y

= −

x

= −

3 i B

= (

3,

3

)

. Pozostało wyznaczy´c współrz˛edne punktu D.

(

2,

2

) =

S

=

B

+

D

2

=

 3

+

x

D

2

,

3

+

y

D

2



(

4

=

3

+

x

D

x

D

=

1

4

= −

3

+

y

D

y

D

= −

1.

Zatem D

= (

1,

1

)

.

Sposób II

Równanie prostej BD mo ˙zemy napisa´c jako równanie prostej prostopadłej do AC i prze-
chodz ˛

acej przez S. Najpierw wyznaczmy równanie prostej AC. Szukamy prostej w postaci

y

=

ax

+

b. Podstawiaj ˛

ac współrz˛edne punktów A i C mamy

(

5

= −

a

+

b

1

=

5a

+

b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6

=

6a, czyli a

=

1. Współczynnika b

mo ˙zemy nie oblicza´c, bo nie jest nam potrzebny. Prosta BD jako prostopadła do AC ma rów-
nanie postaci y

= −

x

+

b. Współczynnik b wyznaczmy podstawiaj ˛

ac współrz˛edne punktu

S.

2

= −

2

+

b

b

=

0.

Zatem prosta BD ma równanie y

= −

x. Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo

jak w poprzednim sposobie.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób III

Równanie prostej BD mo ˙zna łatwo napisa´c korzystaj ˛

ac ze wzoru na równanie prostej pro-

stopadłej do wektora

v

= [

p, q

]

i przechodz ˛

acej przez punkt P

= (

x

0

, y

0

)

p

(

x

x

0

) +

q

(

y

y

0

) =

0.

W naszej sytuacji

v

=

−→

AC

= [

5

+

1, 1

+

5

] = [

6, 6

]

i P

=

S

= (

2,

2

)

. Prosta BD ma wi˛ec równanie

6

(

x

2

) +

6

(

y

+

2

) =

0

/ : 6

x

2

+

y

+

2

=

0

y

= −

x.

Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo jak w I sposobie.

Odpowied´z: B

= (

3,

3

)

, C

= (

5, 1

)

, D

= (

1,

1

)

Z

ADANIE

33

(5

PKT

)

Grupa znajomych postanowiła raz w tygodniu wynajmowa´c sal˛e gimnastyczn ˛

a. Jednorazo-

wa opłata za wynaj˛ecie sali wynosiła 240 zł i podzielono j ˛

a na równe cz˛e´sci tak, aby ka ˙zdy

ze znajomych płacił tyle samo. W drugim tygodniu do grupy doł ˛

aczyły jeszcze dwie osoby

i wówczas opłata przypadaj ˛

aca na ka ˙zdego ze znajomych zmniejszyła si˛e o 4 złote. Ile osób

liczyła ta grupa w pierwszym tygodniu u ˙zytkowania sali?

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli oznaczymy liczb˛e znajomych przez n, to pocz ˛

atkowo ka ˙zda z osób miała płaci´c

240

n

złotych. Po doł ˛

aczeniu dwóch osób opłata zmniejszyła si˛e o 4 złote i jednocze´snie wynosiła

240

n

+

2

. Mamy wi˛ec równanie

240

n

4

=

240

n

+

2

/

·

n

(

n

+

2

)

240

(

n

+

2

) −

4n

(

n

+

2

) =

240n

/ : 4

60

(

n

+

2

) −

n

(

n

+

2

) =

60n

60n

+

120

n

2

2n

=

60n

n

2

+

2n

120

=

0

=

4

+

4

·

120

=

484

=

22

2

n

=

2

22

2

<

0

n

=

2

+

22

2

=

10.

Ujemne rozwi ˛

azanie odrzucamy i mamy n

=

10.

Odpowied´z: 10 osób

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

18


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 05 04 2014
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014
2013 biologia czerwiec odpid 28 Nieznany (2)
2014 05 04 THE ESSENTIALS OF A HEALTHY FAMILY part 3
matura probna 2014 3 id 288983 Nieznany
1 04 2014 Pietrzykid 8830 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
14 04 2014 Lechowskiid 15338 Nieznany (2)
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 05.04.2014, IV rok, Ćwiczenia, Ekonometria i prog
12 05 2014 Lechowskiid 13360 Nieznany (2)
15 04 2014 Korycinskaid 16080 Nieznany (2)
15 04 2014 Pietrzykid 16081 Nieznany (2)
2014 10 28 Ekonomia

więcej podobnych podstron