www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
5
KWIETNIA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Która z liczb jest najwi˛eksza?
A)
1
25
−
1
2
B) 25
1
2
C)
(
0, 2
)
−
2
D)
(
0, 2
)
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
1
25
−
1
2
=
25
1
2
=
√
25
=
5
25
1
2
=
√
25
=
5
(
0, 2
)
−
2
=
1
5
−
2
=
5
2
=
25
(
0, 2
)
4
=
1
5
4
=
1
625
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Gdy do 50% liczby 73 dodamy 73% liczby 50, to otrzymamy
A) 1
B) 73
C)
73
100
D) 100
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
50%
·
73
+
73%
·
50
=
50
100
·
73
+
73
100
·
50
=
100
100
·
73
=
73.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Wska ˙z nierówno´s´c, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej:
x
6
0
-3
A)
|
x
−
1, 5
| <
4, 5
B)
|
x
+
1, 5
| <
4, 5
C)
|
x
+
6
| <
9
D)
|
x
+
3
| <
3, 5
R
OZWI ˛
AZANIE
Skorzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci:
|
x
−
a
| <
b.
Zbiór ten składa si˛e z liczb, które s ˛
a odległe (na osi liczbowej) od liczby a o mniej ni ˙z b.
´Srodkiem danego przedziału jest x
=
−
3
+
6
2
=
1, 5 i ma on długo´s´c 6
− (−
3
) =
9. Zatem
jest to zbiór liczb, które s ˛
a odległe od 1,5 o mniej ni ˙z 4,5.
x
6
0
-3
1,5
Zbiór ten jest wi˛ec rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
|
x
−
1, 5
| <
4, 5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Wykres funkcji kwadratowej f
(
x
) =
x
2
−
6x
+
10 powstaje z wykresu funkcji g
(
x
) =
x
2
+
1
przez przesuni˛ecie o 3 jednostki
A) w prawo
B) w lewo
C) w gór˛e
D) w dół
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapiszmy podan ˛
a funkcj˛e w postaci kanonicznej
x
2
−
6x
+
10
= (
x
−
3
)
2
+
1.
Wida´c, ˙ze wykres ten powstaje z wykresu y
=
x
2
+
1 przez przesuni˛ecie o 3 jednostki w
prawo (bo wierzchołek jest w punkcie
(
3, 1
)
).
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=x +1
2
y=(x-3) +1
2
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
√
3x
−
3 jest nachylona do osi Ox pod k ˛
atem
A) 30
◦
B) 45
◦
C) 60
◦
D) 0
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Tangens k ˛
ata nachylenia prostej o równaniu y
=
ax
+
b do osi Ox jest równy a. Liczymy
tg α
=
√
3
⇒
α
=
60
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Liczby rzeczywiste a, b, c spełniaj ˛
a warunki: a
+
b
= −
4, b
+
c
=
7 i c
+
a
=
1. Wtedy suma
a
+
b
+
c jest równa
A)
−
10
B) 8
C) 4
D) 2
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy tak naprawd˛e dany układ równa ´n
a
+
b
= −
4
b
+
c
=
7
c
+
a
=
1.
Dodaj ˛
ac te równania stronami mamy
2a
+
2b
+
2c
=
4.
Zatem a
+
b
+
c
=
2.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Dla ka ˙zdego k ˛
ata ostrego α wyra ˙zenie cos
2
α
+
sin
2
α
·
cos
2
α
+
cos
4
α
jest równe
A) 2 sin
2
α
B) 2 cos
2
α
C) 1
D) 2
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystaj ˛
ac z jedynki trygonometrycznej mamy
cos
2
α
+
sin
2
α
·
cos
2
α
+
cos
4
α
=
=
cos
2
α
+
cos
2
α
(
sin
2
α
+
cos
2
α
) =
cos
2
α
+
cos
2
α
=
2 cos
2
α
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Zbiorem warto´sci funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest przedział:
x
y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
-5
-4
A)
h−
4, 2
i
B)
h−
4, 5
i
C)
h−
2, 3
i
D)
h−
4, 3
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Zbiór warto´sci odczytujemy z wykresu:
h−
4, 3
i
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x, wyra ˙zenie 9x
4
+
12x
2
+
4 jest równe
A)
(
3x
2
+
2
)(
3x
2
−
2
)
B)
(
3x
2
+
2
)(
3x
2
+
2
)
C)
(
3x
2
−
2
)(
3x
2
−
2
)
D)
(
3x
2
−
4
)(
3x
2
+
2
)
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze podane wyra ˙zenie to pełen kwadrat.
9x
4
+
12x
2
+
4
= (
3x
2
+
2
)
2
= (
3x
2
+
2
)(
3x
2
+
2
)
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Liczba log
0,5
50
−
log
0,5
25 jest równa
A) log
0,5
25
B) 1
C)
−
1
D) log
0,5
1250
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
0,5
50
−
log
0,5
25
=
log
0,5
50
25
=
log
1
2
2
=
log
1
2
1
2
−
1
= −
1.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dziel ˛
a okr ˛
ag o ´srodku S na dziesi˛e´c równych łuków. Oblicz
miar˛e k ˛
ata SHE zaznaczonego na rysunku.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
S
A) 54
◦
B) 72
◦
C) 36
◦
D) 45
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dorysujmy odcinek SE.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
S
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
at HSE jest równoramienny i k ˛
at HSE jest k ˛
atem ´srodkowym opar-
tym na łuku HE o długo´sci równej
3
10
długo´sci okr˛egu. Zatem
]HSE
=
3
10
·
360
◦
=
108
◦
oraz
]SHE
=
180
◦
−
]HSE
2
=
180
◦
−
108
◦
2
=
36
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Na rysunku poni ˙zej przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej y
=
ax
+
b.
+1
x
-1
+1
y
-1
Jakie nierówno´sci spełniaj ˛
a współczynniki a i b?
A) a
> −
1 i b
> −
1
B) a
< −
1 i b
< −
1
C) a
> −
1 i b
< −
1
D) a
< −
1 i b
> −
1
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Dana prosta przecina o´s Oy powy ˙zej prostej y
= −
1, wi˛ec b
> −
1. Ponadto z wykresu
wida´c, ˙ze
a
= (
a
+
b
) −
b
=
f
(
1
) −
f
(
0
) < −
1.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Nierówno´s´c 2x
−
5mx
+
4
<
8 jest spełniona przez ka ˙zd ˛
a liczb˛e rzeczywist ˛
a je ˙zeli
A) m
=
0
B) m
=
1
2
C) m
=
5
2
D) m
=
2
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapiszmy nierówno´s´c w postaci
(
2
−
5m
)
x
<
4.
Wykresem lewej strony jest prosta i je ˙zeli ma ona w cało´sci znajdowa´c si˛e poni ˙zej prostej
y
=
4, to musi to by´c pozioma prosta, czyli musimy mie´c m
=
2
5
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Punkt M
= (
a, b
)
jest ´srodkiem odcinka o ko ´ncach A
= (
5, a
)
i B
= (−
3,
−
5
)
. Wówczas
A) a
=
b
B) a
=
b
+
3
C) a
=
b
+
5
D) b
=
a
+
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze wzoru na współrz˛edne ´srodka odcinka mamy układ równa ´n
(
a
=
5
−
3
2
b
=
a
−
5
2
.
Z pierwszego równania a
=
1, a wtedy z drugiego b
= −
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
Stosunek długo´sci trzech kraw˛edzi prostopadło´scianu o obj˛eto´sci 240 jest równy 2:3:5. Pole
powierzchni tego prostopadło´scianu jest równe:
A) 124
B) 248
C) 496
D) 62
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Powiedzmy, ˙ze kraw˛edzie prostopadło´scianu maj ˛
a długo´sci: 2a, 3a, 5a.
2a
3a
5a
Z podanej obj˛eto´sci mamy
240
=
2a
·
3a
·
5a
=
30a
3
/ : 30
8
=
a
3
⇒
a
=
2.
Pole powierzchni prostopadło´scianu jest wi˛ec równe
2
(
3a
·
2a
+
3a
·
5a
+
2a
·
5a
) =
62a
2
=
248.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
Ci ˛
ag
(
a
n
)
okre´slony dla n > 1 jest arytmetyczny oraz a
3
=
15 i a
4
=
11. Pierwszy wyraz tego
ci ˛
agu jest równy
A) a
1
=
23
B) a
1
=
3
C) a
1
=
19
D) a
1
=
7
R
OZWI ˛
AZANIE
Ró ˙znica ci ˛
agu
(
a
n
)
jest równa
r
=
a
4
−
a
3
=
11
−
15
= −
4.
St ˛
ad
a
2
=
a
3
−
r
=
15
+
4
=
19
a
1
=
a
2
−
r
=
19
+
4
=
23.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Kwot˛e 1000 zł wpłacamy do banku na 3 lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym
banku co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Po trzech latach otrzymamy kwot˛e
A) 1000
· (
1, 08
)
12
B) 1000
· (
1, 2
)
3
C) 1000
· (
1, 02
)
12
D) 1000
· (
1, 02
)
3
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Oprocentowanie roczne wynosi 8%, czyli kwartalne wynosi
8%
4
=
2%.
Korzystamy ze wzoru na procent składany.
K
12
=
1000
· (
1
+
0, 02
)
12
=
1000
· (
1, 02
)
12
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Pole równoległoboku o bokach długo´sci 6 i 10 oraz k ˛
acie ostrym 30
◦
jest równe
A) 60
B) 30
√
3
C) 30
D) 60
√
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy równoległobok.
10
6
h
30
o
Sposób I
Ze wzoru z sinusem na pole równoległoboku mamy
P
=
6
·
10 sin 30
◦
=
60
·
1
2
=
30.
Sposób II
Obliczamy wysoko´s´c równoległoboku.
h
6
=
sin 30
◦
=
1
2
⇒
h
=
3.
Zatem
P
=
10
·
3
=
30.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
K ˛
at α w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym przedstawionym na rysunku spełnia warunek sin α
=
5
13
.
Bok CA tego trójk ˛
ata ma długo´s´c:
26
α
A
B
C
A) 10
B) 24
C) 12
D) 5
R
OZWI ˛
AZANIE
Z podanego sinusa obliczamy długo´s´c boku BC.
5
13
=
sin α
=
BC
AB
=
BC
26
⇒
BC
=
10.
St ˛
ad
AC
=
p
AB
2
−
BC
2
=
√
676
−
100
=
√
576
=
24.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Odległo´s´c mi˛edzy ´srodkami okr˛egów o równaniach
(
x
−
4
)
2
+ (
y
+
3
)
2
=
16 oraz
(
x
+
3
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
9 jest równa
A)
√
74
B)
√
26
C) 5
√
2
D)
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwszy okr ˛
ag ma ´srodek A
= (
4,
−
3
)
, a drugi B
= (−
3, 2
)
. Odległo´s´c ´srodków jest wi˛ec
równa
AB
=
q
(−
3
−
4
)
2
+ (
2
+
3
)
2
=
√
49
+
25
=
√
74.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Pole powierzchni bocznej sto ˙zka wynosi 8π. Je ˙zeli przekrój osiowy sto ˙zka jest trójk ˛
atem
równobocznym, to pole tego przekroju jest równe:
A) 4π
B) 8
√
3
C) 4
√
3
D) 8π
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy sto ˙zek.
a
a/2
a/2
Z obrazka wida´c, ˙ze promie ´n podstawy sto ˙zka jest równy połowie boku trójk ˛
ata równo-
bocznego b˛ed ˛
acego przekrojem. Zapiszmy informacj˛e o polu powierzchni bocznej.
8π
=
πrl
=
π
·
a
2
·
a
⇒
a
2
=
16
⇒
a
=
4.
W takim razie pole przekroju jest równe (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛
ata równobocz-
nego).
P
=
a
2
√
3
4
=
16
√
3
4
=
4
√
3.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Dany jest ci ˛
ag
(
a
n
)
o wyrazie ogólnym a
n
=
n
2
+
1, gdzie n > 1. Wówczas
A) a
n
+
1
=
n
2
+
2n
B) a
n
+
1
=
n
2
C) a
n
+
1
=
n
2
+
2n
+
2
D) a
n
+
1
=
n
2
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (podstawiamy we wzorze n
+
1 zamiast n)
a
n
+
1
= (
n
+
1
)
2
+
1
=
n
2
+
2n
+
1
+
1
=
n
2
+
2n
+
2.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Rzucamy czterokrotnie symetryczn ˛
a monet ˛
a. Prawdopodobie ´nstwo, ˙ze otrzymamy co naj-
mniej dwa orły jest równe
A)
11
16
B)
5
8
C)
5
16
D)
7
8
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Obliczmy, ile jest zdarze ´n elementarnych
|
Ω
| =
2
·
2
·
2
·
2
=
16.
Sposób I
Wypisujemy zdarzenia sprzyjaj ˛
ace
(
o, o, o, o
)
(
r, o, o, o
)
,
(
o, r, o, o
)
,
(
o, o, r, o
)
,
(
o, o, o, r
)
(
r, r, o, o
)
,
(
r, o, r, o
)
,
(
r, o, o, r
)
,
(
o, r, r, o
)
,
(
o, r, o, r
)
,
(
o, o, r, r
)
.
Jest wi˛ec 11 zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych i prawdopodobie ´nstwo jest równe
11
16
.
Sposób II
Zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest sporo, wi˛ec łatwiej jest wypisa´c zdarzenia, które nie s ˛
a sprzyjaj ˛
a-
ce, czyli takie, w których otrzymali´smy mniej ni ˙z dwa orły:
(
r, r, r, r
)
,
(
o, r, r, r
)
,
(
r, o, r, r
)
,
(
r, r, o, r
)
,
(
r, r, r, o
)
.
W takim razie zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest 16
−
5
=
11 i prawdopodobie ´nstwo jest równe
11
16
.
Odpowied´z: A
Zadania otwarte
Z
ADANIE
24
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 3x
−
2x
2
6 0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azujemy nierówno´s´c
3x
−
2x
2
6 0 /
· (−
1
)
2x
2
−
3x > 0
2x
x
−
3
2
> 0
x
∈ (−
∞, 0
i ∪
3
2
,
+
∞
.
Odpowied´z:
(−
∞, 0
i ∪
3
2
,
+
∞
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
25
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry oraz tg α
=
2. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia
cos
3
α
−
cos α
sin
3
α
−
sin α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (korzystamy z jedynki trygonometrycznej).
cos
3
α
−
cos α
sin
3
α
−
sin α
=
cos α
(
cos
2
α
−
1
)
sin α
(
sin
2
α
−
1
)
=
−
cos α sin
2
α
−
sin α cos
2
α
=
sin α
cos α
=
tg α
=
2.
Odpowied´z: 2
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Niesko ´nczony ci ˛
ag geometryczny
(
a
n
)
jest okre´slony wzorem a
n
= (−
6
) ·
3
n−2
2
n+3
, dla n > 1.
Oblicz iloraz q tego ci ˛
agu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Iloraz ci ˛
agu geometrycznego jest równy ilorazowi jego dwóch s ˛
asiednich wyrazów, wi˛ec np.
q
=
a
2
a
1
=
(−
6
) ·
3
0
2
5
(−
6
) ·
3
−1
2
4
=
2
4
2
5
·
3
−
1
=
3
2
.
Odpowied´z: q
=
3
2
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Liczby a i b s ˛
a nieparzyste i daj ˛
a przy dzieleniu przez 4 ró ˙zne reszty. Wyka ˙z, ˙ze suma kwa-
dratów tych liczb nie jest podzielna przez 4.
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli liczby a i b s ˛
a nieparzyste i daj ˛
a ró ˙zne reszty z dzielenia przez 4, to musz ˛
a przy
dzieleniu przez 4 dawa´c reszty 1 i 3. Bez zmniejszania ogólno´sci mo ˙zemy przyj ˛
a´c, ˙ze a
=
4m
+
1, b
=
4n
+
3. W takim razie
a
2
+
b
2
= (
4m
+
1
)
2
+ (
4n
+
3
)
2
=
16m
2
+
8m
+
1
+
16n
2
+
24n
+
9
=
=
4
(
4m
2
+
2m
+
4n
2
+
6n
+
2
) +
2.
Wida´c teraz, ˙ze liczba ta nie dzieli si˛e przez 4 (daj˛e reszt˛e 2 przy dzieleniu przez 4).
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
Wiadomo, ˙ze a
>
0 i a
2
+
1
a
2
=
a
+
1
a
. Wyka ˙z, ˙ze a
+
1
a
=
2.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech x
=
a
+
1
a
. Wtedy x
>
0 oraz
x
2
=
a
+
1
a
2
=
a
2
+
2
·
a
·
1
a
+
1
a
2
=
2
+
a
2
+
1
a
2
.
W takim razie dan ˛
a równo´s´c mo ˙zemy zapisa´c w postaci
x
2
=
2
+
x
x
2
−
x
−
2
=
0
∆
=
1
+
8
=
9
x
=
1
−
3
2
= −
1
lub
x
=
1
+
3
2
=
2.
Poniewa ˙z x
>
0, mamy st ˛
ad x
=
2.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Oblicz sum˛e wszystkich liczb trzycyfrowych, których cyfra jedno´sci jest równa 3 lub 8.
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczby, o których mowa s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego o ró ˙znicy 5:
a
1
=
103, a
2
=
108, a
3
=
113, . . . , a
n
=
998.
Obliczmy, ile wyrazów ma ten ci ˛
ag.
998
=
a
n
=
a
1
+ (
n
−
1
)
r
998
=
103
+
5
(
n
−
1
)
895
=
5
(
n
−
1
)
/ : 5
179
=
n
−
1
⇒
n
=
180.
W takim razie suma tych liczb jest równa
S
180
=
a
1
+
a
n
2
·
n
=
103
+
998
2
·
180
=
1101
·
90
=
99090.
Odpowied´z: 99090
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Punkt E jest ´srodkiem boku BC równoległoboku ABCD, a odcinek AE przecina przek ˛
atn ˛
a
BD w punkcie F. Wyka ˙z, ˙ze
|
FD
| =
2
|
BF
|
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
F
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty AFD i EFB maj ˛
a równe k ˛
aty, wi˛ec s ˛
a podobne. W takim razie
FD
FB
=
DA
BE
=
CB
BE
=
2.
Z
ADANIE
31
(4
PKT
)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego jest równe 9
√
3 cm
2
, a jego pole po-
wierzchni bocznej jest równe 18
√
3 cm
2
. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
S
D
a
H
E
h
Wiemy, ˙ze trójk ˛
at równoboczny w podstawie ma pole 9
√
3, wi˛ec mamy
9
√
3
=
a
2
√
3
4
⇒
a
2
=
36
⇒
a
=
6.
W takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie
3
·
1
2
ah
=
18
√
3
3
·
1
2
·
6h
=
18
√
3
/ : 9
h
=
2
√
3.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Obliczmy jeszcze długo´s´c odcinka DE – jest ona równa długo´sci promienia okr˛egu wpisa-
nego w postaw˛e.
DE
=
1
3
·
AD
=
1
3
·
a
√
3
2
=
√
3.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego DES mamy
H
=
p
h
2
−
DE
2
=
√
12
−
3
=
3.
Obj˛eto´s´c ostrosłupa jest wi˛ec równa
V
=
1
3
·
P
p
·
H
=
1
3
·
9
√
3
·
3
=
9
√
3.
Odpowied´z: V
=
9
√
3 cm
3
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
W rombie ABCD dane s ˛
a A
= (−
1,
−
5
)
i punkt przeci˛ecia przek ˛
atnych S
= (
2,
−
2
)
. Wierz-
chołek B le ˙zy na prostej y
=
1
3
x
−
4. Oblicz współrz˛edne pozostałych wierzchołków rombu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
+1
+2
+5
x
-5
-2
-1
+1
y
A
B
C
D
S
Poniewa ˙z przek ˛
atne rombu dziel ˛
a si˛e na połowy, punkt S jest ´srodkiem odcinków AC i
BD. To pozwala łatwo wyznaczy´c współrz˛edne punktu C
= (
x
C
, y
C
)
.
(
2,
−
2
) =
S
=
A
+
C
2
=
−
1
+
x
C
2
,
−
5
+
y
C
2
(
4
= −
1
+
x
C
⇒
x
C
=
5
−
4
= −
5
+
y
C
⇒
y
C
=
1.
Zatem C
= (
5, 1
)
.
Mo ˙zemy teraz napisa´c równanie przek ˛
atnej BD rombu – jest to prosta prostopadła do
AC i przechodz ˛
aca przez S. Równanie prostej BD napiszemy na kilka sposobów.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób I
Je ˙zeli punkt P
= (
x, y
)
le ˙zy na prostej BD to
AP
=
CP
AP
2
=
CP
2
(
x
+
1
)
2
+ (
y
+
5
)
2
= (
x
−
5
)
2
+ (
y
−
1
)
2
x
2
+
2x
+
1
+
y
2
+
10y
+
25
=
x
2
−
10x
+
25
+
y
2
−
2y
+
1
12y
= −
12x
y
= −
x.
Szukamy teraz punktu wspólnego B prostych BD i danej prostej y
=
1
3
x
−
4.
(
y
= −
x
y
=
1
3
x
−
4
Mamy zatem
−
x
=
1
3
x
−
4
4
=
4
3
x
⇒
x
=
3.
St ˛
ad y
= −
x
= −
3 i B
= (
3,
−
3
)
. Pozostało wyznaczy´c współrz˛edne punktu D.
(
2,
−
2
) =
S
=
B
+
D
2
=
3
+
x
D
2
,
−
3
+
y
D
2
(
4
=
3
+
x
D
⇒
x
D
=
1
−
4
= −
3
+
y
D
⇒
y
D
= −
1.
Zatem D
= (
1,
−
1
)
.
Sposób II
Równanie prostej BD mo ˙zemy napisa´c jako równanie prostej prostopadłej do AC i prze-
chodz ˛
acej przez S. Najpierw wyznaczmy równanie prostej AC. Szukamy prostej w postaci
y
=
ax
+
b. Podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktów A i C mamy
(
−
5
= −
a
+
b
1
=
5a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6
=
6a, czyli a
=
1. Współczynnika b
mo ˙zemy nie oblicza´c, bo nie jest nam potrzebny. Prosta BD jako prostopadła do AC ma rów-
nanie postaci y
= −
x
+
b. Współczynnik b wyznaczmy podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu
S.
−
2
= −
2
+
b
⇒
b
=
0.
Zatem prosta BD ma równanie y
= −
x. Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo
jak w poprzednim sposobie.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób III
Równanie prostej BD mo ˙zna łatwo napisa´c korzystaj ˛
ac ze wzoru na równanie prostej pro-
stopadłej do wektora
→
v
= [
p, q
]
i przechodz ˛
acej przez punkt P
= (
x
0
, y
0
)
p
(
x
−
x
0
) +
q
(
y
−
y
0
) =
0.
W naszej sytuacji
→
v
=
−→
AC
= [
5
+
1, 1
+
5
] = [
6, 6
]
i P
=
S
= (
2,
−
2
)
. Prosta BD ma wi˛ec równanie
6
(
x
−
2
) +
6
(
y
+
2
) =
0
/ : 6
x
−
2
+
y
+
2
=
0
y
= −
x.
Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo jak w I sposobie.
Odpowied´z: B
= (
3,
−
3
)
, C
= (
5, 1
)
, D
= (
1,
−
1
)
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Grupa znajomych postanowiła raz w tygodniu wynajmowa´c sal˛e gimnastyczn ˛
a. Jednorazo-
wa opłata za wynaj˛ecie sali wynosiła 240 zł i podzielono j ˛
a na równe cz˛e´sci tak, aby ka ˙zdy
ze znajomych płacił tyle samo. W drugim tygodniu do grupy doł ˛
aczyły jeszcze dwie osoby
i wówczas opłata przypadaj ˛
aca na ka ˙zdego ze znajomych zmniejszyła si˛e o 4 złote. Ile osób
liczyła ta grupa w pierwszym tygodniu u ˙zytkowania sali?
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy liczb˛e znajomych przez n, to pocz ˛
atkowo ka ˙zda z osób miała płaci´c
240
n
złotych. Po doł ˛
aczeniu dwóch osób opłata zmniejszyła si˛e o 4 złote i jednocze´snie wynosiła
240
n
+
2
. Mamy wi˛ec równanie
240
n
−
4
=
240
n
+
2
/
·
n
(
n
+
2
)
240
(
n
+
2
) −
4n
(
n
+
2
) =
240n
/ : 4
60
(
n
+
2
) −
n
(
n
+
2
) =
60n
60n
+
120
−
n
2
−
2n
=
60n
n
2
+
2n
−
120
=
0
∆
=
4
+
4
·
120
=
484
=
22
2
n
=
−
2
−
22
2
<
0
∨
n
=
−
2
+
22
2
=
10.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy n
=
10.
Odpowied´z: 10 osób
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
18