www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
15
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Liczba 43256232a2 jest podzielna przez 4 je ˙zeli
A) a
=
0
B) a
=
2
C) a
=
3
D) a
=
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczba 43256232a2 dzieli si˛e przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy przez 4 dzieli si˛e ko ´ncówka a2
(tak jest bo 4325623200 dzieli si˛e przez 4). W´sród podanych odpowiedzi warunek ten spełnia
tylko a
=
3.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Dodatnia liczba x stanowi 30% liczby y. Wówczas
A) y
=
17
10
x
B) y
=
10
3
x
C) y
=
7
10
x
D) y
=
13
10
x
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy
x
=
30%y
=
0, 3y
=
3
10
y
⇒
y
=
10
3
x.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Liczba
8
3
·
16
√
8
jest równa
A) 2
11
√
2
B) 2
12
√
2
C) 2
8
√
2
D) 8
5
√
2
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (usuwamy niewymierno´s´c z mianownika)
8
3
·
16
2
√
2
=
8
3
·
8
√
2
=
(
2
3
)
3
·
2
3
√
2
·
√
2
√
2
=
2
9
+
3
√
2
2
=
2
11
√
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Rozwi ˛
azaniem układu równa ´n
(
21x
−
14y
= −
28
6y
+
9x
=
48
jest para liczb
A) x
= −
3 i y
=
5
B) x
= −
3 i y
=
6
C) x
=
5 i y
=
2
D) x
=
2 i y
=
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Dzielimy pierwsze równanie przez 7, a drugie przez 3.
(
3x
−
2y
= −
4
2y
+
3x
=
16.
Dodajemy teraz równania stronami i mamy
6x
=
12
⇒
x
=
2.
Z pierwszego równania mamy
2y
=
3x
+
4
=
10
⇒
y
=
5.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Liczba
(−
2
)
jest pierwiastkiem równania 3mx
=
4
−
x. Wtedy
A) m
= −
1
B) m
=
1
C) m
=
2
D) m
= −
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy x
= −
2 w danym równaniu
−
6m
=
6
⇒
m
= −
1.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Wyra ˙zenie W
=
√
x
2
−
4x
+
4
−
√
4x
2
dla x > 2 przyjmuje posta´c
A) x
+
2
B)
−
3x
+
2
C)
−
x
−
2
D) x
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Dane wyra ˙zenie jet równe
W
=
p
x
2
−
4x
+
4
−
√
4x
2
=
q
(
x
−
2
)
2
−
q
(
2x
)
2
= |
x
−
2
| −
2
|
x
|
.
Poniewa ˙z x
−
2 > 0 dla x > 2, wi˛ec
W
= |
x
−
2
| −
2
|
x
| =
x
−
2
−
2x
= −
x
−
2.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Prosta y
=
ax
−
2 jest równoległa do prostej y
=
2x
−
ax. Wtedy
A) a
= −
1
B) a
=
1
3
C) a
=
1
D) a
=
1
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste s ˛
a równoległe je ˙zeli maj ˛
a równe współczynniki kierunkowe. Równanie drugiej pro-
stej mo ˙zemy zapisa´c w postaci
y
= (
2
−
a
)
x,
zatem równo´s´c współczynników kierunkowych daje równanie
a
=
2
−
a
a
=
1.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Do zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
(
x
+
√
5
−
1
)(
x
+
√
5
+
1
) <
0 nale ˙zy liczba
A) 0
B)
−
3
C)
−
1
D) 3
R
OZWI ˛
AZANIE
Zbiorem rozwi ˛
aza ´n danej nierówno´sci kwadratowej
(
x
− (−
√
5
+
1
))(
x
− (−
√
5
−
1
)) <
0
jest przedział
(−
√
5
−
1,
−
√
5
+
1
)
.
Poniewa ˙z
√
5
≈
2, 2 do przedziału tego nale ˙zy liczba
−
3.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
K ˛
at α jest k ˛
atem ostrym oraz tg α
=
1
4
. Zatem
A) cos α
=
4
√
17
B) sin α
=
4
√
17
C) sin α
=
1
17
D) cos α
=
1
√
17
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Z podanego tangensa wyliczymy sinus i cosinus.
sin α
cos α
=
tg α
=
1
4
/
()
2
sin
2
α
cos
2
α
=
1
16
sin
2
α
1
−
sin
2
α
=
1
16
16 sin
2
α
=
1
−
sin
2
α
17 sin
2
α
=
1
sin
2
α
=
1
17
⇒
sin α
=
1
√
17
cos α
=
p
1
−
sin
2
α
=
r
1
−
1
17
=
4
√
17
.
Sposób II
Narysujmy trójk ˛
at prostok ˛
atny, w którym tg α
=
1
4
.
α
4
1
A
B
C
Łatwo teraz obliczy´c sinus i cosinus. Najpierw obliczmy z twierdzenia Pitagorasa dłu-
go´s´c przeciwprostok ˛
atnej.
AC
=
p
AB
2
+
BC
2
=
√
1
+
16
=
√
17.
Zatem
sin α
=
AB
AC
=
1
√
17
cos α
=
BC
AC
=
4
√
17.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Na poni ˙zszych rysunkach przedstawiono wykresy funkcji f i g.
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
-4
7
f(x)
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
-4
7
g(x)
Funkcja g jest okre´slona wzorem
A) g
(
x
) =
f
(
x
−
1
)
B) g
(
x
) =
f
(
x
) −
1
C) g
(
x
) =
f
(
x
+
1
)
D) g
(
x
) =
f
(
x
) +
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres na drugim rysunku powstaje z pierwszego przez przesuni˛ecie o jedn ˛
a jednostk˛e w
lewo, czyli jest funkcja to g
(
x
) =
f
(
x
+
1
)
(bo funkcja f przyjmuje wszystkie warto´sci o 1
pó´zniej, ni ˙z g).
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Wielomian W
(
x
) = (
x
2
−
3
)
3
jest równy wielomianowi
A) x
6
−
3x
4
+
9x
2
−
27
B) x
6
+
9x
4
−
27x
2
−
27
C) x
6
−
27
D) x
6
−
9x
4
+
27x
2
−
27
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3a
2
b
+
3ab
2
−
b
3
na sze´scian ró ˙znicy.
(
x
2
−
3
)
3
= (
x
2
)
3
−
3
· (
x
2
)
2
·
3
+
3
·
x
2
·
3
2
−
3
3
=
x
6
−
9x
4
+
27x
2
−
27.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Dany jest ci ˛
ag
(
a
n
)
o wyrazie ogólnym a
n
=
n
−
n
2
, gdzie n > 1. Wówczas
A) a
n
+
1
=
n
2
−
n
B) a
n
+
1
=
n
+
1
−
n
2
C) a
n
+
1
=
n
−
n
2
D) a
n
+
1
= −
n
2
−
n
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (podstawiamy we wzorze n
+
1 zamiast n)
a
n
+
1
= (
n
+
1
) − (
n
+
1
)
2
=
n
+
1
−
n
2
−
2n
−
1
= −
n
2
−
n.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Prostok ˛
at ABCD o przek ˛
atnej długo´sci
√
2 jest podobny do prostok ˛
ata o bokach długo´sci 1
i 7. Obwód prostok ˛
ata ABCD jest równy
A)
16
5
B)
16
25
C) 80
D) 16
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy prostok ˛
at
1
7
d
Przek ˛
atna prostok ˛
ata o bokach długo´sci 1 i 7 ma długo´s´c
d
=
p
1
2
+
7
2
=
√
50
=
5
√
2.
To oznacza, ˙ze prostok ˛
at ABCD jest 5 razy mniejszy, czyli jego obwód jest równy
1
5
(
1
+
1
+
7
+
7
) =
16
5
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Ci ˛
agiem geometrycznym jest ci ˛
ag okre´slony wzorem
A) a
n
=
n
4
−
1
B) a
n
= (−
1
)
n
C) a
n
=
1
n
D) a
n
=
1
−
3n
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Ci ˛
ag geometryczny to ci ˛
ag postaci a
n
=
a
1
q
n
−
1
. Z podanych odpowiedzi tylko ci ˛
ag a
n
=
−(−
1
)
n
−
1
ma t˛e posta´c (z a
1
= −
1 i q
= −
1).
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych podzielnych przez 5 ?
A) 2000
B) 1800
C) 1000
D) 900
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli liczba ma si˛e dzieli´c przez 5, to ostatni ˛
a jej cyfr ˛
a musi by´c 0 lub 5. Pierwsz ˛
a cyfr˛e takiej
liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), a drug ˛
a i trzeci ˛
a na 10 sposobów,
wi˛ec w sumie jest
2
·
9
·
10
·
10
=
1800
takich liczb.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
Dany jest okr ˛
ag o ´srodku w punkcie O. Prosta k jest styczna do okr˛egu w punkcie A.
O
α
k
20
o
120
o
A
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 40
◦
B) 30
◦
C) 25
◦
D) 20
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Opiszmy troch˛e dany rysunek.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
D
O
α
k
20
o
120
o
C
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze łatwo mo ˙zemy obliczy´c miar˛e k ˛
ata wpisanego ]ADB. Patrzymy na trój-
k ˛
at ADE.
]ADB
=
180
◦
−
]DAE
−
]DEA
=
180
◦
−
20
◦
−
120
◦
=
40
◦
.
Sposób I
K ˛
at ´srodkowy ]AOB jest oparty na tym samym łuku, co k ˛
at wpisany ]ADB, wi˛ec
]AOB
=
2]ADB
=
80
◦
.
Odcinki AO, OB s ˛
a promieniami okr˛egu, wi˛ec trójk ˛
at AOB jest równoramienny. Zatem
]OAB
=
]OBA
=
180
◦
−
80
◦
2
=
50
◦
.
Teraz wystarczy zauwa ˙zy´c, ˙ze styczna k jest prostopadła do promienia OA, wi˛ec
α
+
]OAB
=
90
◦
⇒
α
=
90
◦
−
50
◦
=
40
◦
.
Sposób II
Korzystamy z
twierdzenia o stycznej
:
α
=
]ADB
=
40
◦
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Funkcja f
(
x
) =
3x
(
x
3
+
5
)(
2
−
x
)(
x
+
1
)
ma dokładnie
A) 1 pierwiastek
B) 2 pierwiastki
C) 3 pierwiastki
D) 4 pierwiastki
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwiastkami danego równania s ˛
a liczby
0,
−
3
√
5, 2,
−
1
(dla takich liczb zeruj ˛
a si˛e kolejne nawiasy).
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Obwód równoległoboku ABCD o wierzchołkach A
= (
1,
−
1
)
, B
= (
7, 3
)
, C
= (
9, 6
)
, D
=
(
3, 2
)
jest równy
A) 3
√
13
B) 6
√
13
C) 8
√
13
D) 4
√
13
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy równoległobok.
-1
+10
x
-1
+1
+5
+10
y
A
B
C
D
Liczymy długo´sci dwóch s ˛
asiednich boków równoległoboku.
AB
=
q
(
7
−
1
)
2
+ (
3
+
1
)
2
=
√
52
=
2
√
13
BC
=
q
(
9
−
7
)
2
+ (
6
−
3
)
2
=
√
13.
Obwód równoległoboku jest wi˛ec równy
2AB
+
2BC
=
4
√
13
+
2
√
13
=
6
√
13.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Liczba kraw˛edzi graniastosłupa jest o 8 wi˛eksza od liczby jego ´scian. Ile wierzchołków ma
ten graniastosłup?
A) 5
B) 15
C) 10
D) 16
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛
at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n
+
2 ´scian.
Mamy wi˛ec równanie
3n
=
n
+
2
+
8
2n
=
10
n
=
5.
To oznacza, ˙ze graniastosłup ma 2n
=
10 wierzchołków.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Pi ˛
aty wyraz ci ˛
agu arytmetycznego jest równy
−
12, a ró ˙znica tego ci ˛
agu jest równa
(−
5
)
.
Drugi wyraz tego ci ˛
agu jest równy
A) 8
B)
−
7
C)
−
2
D) 3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze wzoru a
n
=
a
1
+ (
n
−
1
)
r mamy
−
12
=
a
5
=
a
1
+
4r
=
a
1
−
20
⇒
a
1
=
20
−
12
=
8.
Zatem
a
2
=
a
1
+
r
=
8
−
5
=
3.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Pole koła ograniczonego okr˛egiem x
2
+
y
2
+
2x
−
6y
+
5
=
0 jest równe
A)
√
5
B)
√
5π
C) 25π
D) 5π
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy równanie okr˛egu tak, aby było wida´c jaki jest jego ´srodek i promie ´n (zwijamy
do pełnych kwadratów).
x
2
+
y
2
+
2x
−
6y
+
5
=
0
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
3
)
2
−
1
−
9
+
5
=
0
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
3
)
2
=
5.
Jest to wi˛ec okr ˛
ag o ´srodku
(−
1, 3
)
i promieniu r
=
√
5. Pole koła jest wi˛ec równe
πr
2
=
5π.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Mediana uporz ˛
adkowanego niemalej ˛
aco zestawu sze´sciu liczb: 1, 2, 4, x, 7, 8 jest równa 5.
Wtedy
A) x
=
4
B) x
=
5
C) x
=
6
D) x
=
7
R
OZWI ˛
AZANIE
Mediana z sze´sciu uporz ˛
adkowanych liczb to ´srednia arytmetyczna dwóch ´srodkowych,
wi˛ec mamy równanie
4
+
x
2
=
5
4
+
x
=
10
⇒
x
=
6.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Rzucamy dwa razy symetryczn ˛
a sze´scienn ˛
a kostk ˛
a do gry. Prawdopodobie ´nstwo dwukrot-
nego otrzymania liczby oczek ró ˙znej od 5 jest równe
A)
1
6
B)
5
18
C)
35
36
D)
25
36
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to
|
Ω
| =
6
·
6
=
36.
Zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest
5
·
5
=
25
(na ka ˙zdej z kostek mo ˙ze by´c jedna z liczb: 1,2,3,4,6).
Zatem
p
=
25
36
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
Obj˛eto´s´c sto ˙zka o wysoko´sci h i promieniu podstawy cztery razy mniejszym od wysoko´sci
jest równa
A)
1
24
πh
3
B)
1
48
πh
3
C)
1
12
πh
3
D)
1
64
πh
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy obrazek.
h
h/4
h/4
Liczymy obj˛eto´s´c
V
=
1
3
πr
2
·
h
=
1
3
π
·
h
2
16
·
h
=
1
48
πh
3
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
25
(1
PKT
)
Liczba log
3
6
1
2
−
log
3
√
8
+
log
3
2 jest równa
A)
√
3
B)
1
2
C) log
3
2
D) log
3
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
3
6
1
2
−
log
3
√
8
+
log
3
2
=
log
3
√
6
√
8
+
log
3
2
=
log
3
√
3
2
·
2
!
=
log
3
3
1
2
=
1
2
.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
2
2
. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli sin α
=
√
2
2
to α
=
45
◦
i sin α
=
cos α
=
√
2
2
. Mamy zatem
3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
=
3 sin
2
α
−
2 sin
2
α
=
sin
2
α
=
1
2
.
Sposób II
Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy
3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
=
3
(
1
−
sin
2
α
) −
2 sin
2
α
=
3
−
5 sin
2
α
=
3
−
5
2
=
1
2
.
Odpowied´z:
1
2
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
5
−
7x
4
+
3x
−
21
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze z lewej strony równania mo ˙zna wył ˛
aczy´c
(
x
−
7
)
.
x
5
−
7x
4
+
3x
−
21
=
x
4
(
x
−
7
) +
3
(
x
−
7
) = (
x
4
+
3
)(
x
−
7
)
.
Wida´c teraz, ˙ze równanie ma jedno rozwi ˛
azanie: x
=
7.
Odpowied´z: x
=
7
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
Udowodnij, ˙ze je ˙zeli liczby niezerowe a, b, c spełniaj ˛
a warunek a
+
b
+
c
=
0 to
a
2bc
+
b
2ca
+
c
2ab
+
1
c
+
1
b
+
1
a
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Skorzystamy ze wzoru
(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
2xy
+
2yz
+
2xz.
Przekształcamy lew ˛
a stron˛e równo´sci, któr ˛
a mamy udowodni´c.
a
2bc
+
b
2ca
+
c
2ab
+
1
c
+
1
b
+
1
a
=
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
2abc
=
(
a
+
b
+
c
)
2
2abc
=
0.
Sposób II
Tak jak poprzednio przekształcamy lew ˛
a stron˛e równo´sci, któr ˛
a mamy udowodni´c do po-
staci
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
2abc
.
Wystarczy oczywi´scie teraz udowodni´c, ˙ze licznik jest równy 0. Zrobimy to podstawiaj ˛
ac w
wyra ˙zeniu w liczniku c
= −
a
−
b.
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
=
=
a
2
+
b
2
+ (−
a
−
b
)
2
+
2ab
+
2a
(−
a
−
b
) +
2b
(−
a
−
b
) =
=
a
2
+
b
2
+
a
2
+
2ab
+
b
2
+
2ab
−
2a
2
−
2ab
−
2ab
−
2b
2
=
0.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Trójk ˛
aty ABC i CDE s ˛
a równoramienne i prostok ˛
atne. Punkty A, C i E le ˙z ˛
a na jednej prostej,
a punkty K, L i M s ˛
a ´srodkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka ˙z, ˙ze
|
MK
| =
|
ML
|
.
A
E
D
M
B
K
C
L
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy odcinki MK i ML.
A
E
D
M
B
K
C
L
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób I
Zauwa ˙zmy, ˙ze odcinki AB i CD s ˛
a do siebie równoległe. Odcinek KM ł ˛
aczy ´srodki ramion w
trapezie ACDB, wi˛ec jest równoległy do podstaw AB i CD. Zatem ]MKL
=
]BAC
=
45
◦
.
Podobnie, patrz ˛
ac na odcinki BC i DE, uzasadniamy, ˙ze odcinek ML jest równoległy do
BC i DE. Zatem ]MLK
=
]DEC
=
β
=
45
◦
. To oznacza, ˙ze trójk ˛
at KLM jest równoramien-
nym trójk ˛
atem prostok ˛
atnym. W szczególno´sci MK
=
ML.
Sposób II
Tak jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze odcinki MK i ML ł ˛
acz ˛
a ´srodki ramion w trapezach
ACDB i CEDB. Poniewa ˙z odcinek ł ˛
acz ˛
acy ´srodki ramion trapezu ma długo´s´c równ ˛
a ´sred-
niej arytmetycznej długo´sci podstaw, mamy
MK
=
AB
+
CD
2
=
CB
+
ED
2
=
ML.
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Odcinek EF ł ˛
acz ˛
acy ´srodki dwóch dłu ˙zszych boków prostok ˛
ata ABCD dzieli go na dwa
kwadraty, przy czym przek ˛
atna prostok ˛
ata jest o 3 dłu ˙zsza od przek ˛
atnej kwadratu. Oblicz
pole prostok ˛
ata ABCD.
A
B
C
D
E
F
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c boku ka ˙zdego z kwadratów, to mamy
AF
=
a
√
2
AC
=
p
AB
2
+
BC
2
=
p
4a
2
+
a
2
=
a
√
5.
Mamy zatem równanie
a
√
5
=
a
√
2
+
3
a
(
√
5
−
√
2
) =
3
a
=
3
√
5
−
√
2
=
3
(
√
5
+
√
2
)
5
−
2
=
√
5
+
√
2.
Pole prostok ˛
ata jest wi˛ec równe
P
ABCD
=
2a
2
=
2
(
√
5
+
√
2
)
2
=
2
(
5
+
2
√
10
+
2
) =
14
+
4
√
10.
Odpowied´z: 14
+
4
√
10
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(2
PKT
)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
7, 8
i
.
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-6
-7
-4 -3 -2
+1 +2
+4
+6 +7 +8
+2
+3
+4
+6
+7
-2
-3
-4
-6
-7
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) najmniejsz ˛
a warto´s´c funkcji f ,
b) zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci f
(
x
) <
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Odczytujemy z wykresu: najmniejsza warto´s´c funkcji f to f
(−
5
) = −
7.
Odpowied´z: f
(−
5
) = −
7
b) Dany wykres funkcji jest poni ˙zej osi Ox na zbiorze:
h−
7,
−
4
) ∪ (
4, 8
i
.
Odpowied´z:
h−
7,
−
4
) ∪ (
4, 8
i
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
Oblicz obj˛eto´s´c i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sze´sciok ˛
atnego o kra-
w˛edzi podstawy 2 cm i kraw˛edzi bocznej 6 cm.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
C
D
E
2
F
S
L
1
2
6
6
6
1
K
Je ˙zeli poł ˛
aczymy ´srodek sze´sciok ˛
ata w podstawie z jego wierzchołkami, to otrzymamy
6 trójk ˛
atów równobocznych. Mo ˙zemy wi˛ec łatwo obliczy´c wysoko´s´c ostrosłupa z trójk ˛
ata
prostok ˛
atnego ALS.
SL
=
p
AS
2
−
AL
2
=
√
36
−
4
=
√
32
=
4
√
2.
Zatem obj˛eto´s´c jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛
ata równobocznego).
V
=
1
3
·
6
·
4
√
3
4
·
4
√
2
=
8
√
6.
Aby obliczy´c pole powierzchni bocznej, obliczamy najpierw (z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego BKS)
wysoko´s´c ´sciany bocznej
SK
=
p
SB
2
−
BK
2
=
√
36
−
1
=
√
35.
Zatem pole powierzchni bocznej jest równe
P
b
=
6
·
1
2
·
2
·
√
35
=
6
√
35.
Odpowied´z: V
=
8
√
6 cm
3
, P
b
=
6
√
35 cm
2
Z
ADANIE
33
(4
PKT
)
W pewnej szkole 47% uczniów ucz˛eszcza na kółko plastyczne, a 65% uczniów ucz˛eszcza na
kółko muzyczne. Wiadomo ponadto, ˙ze 30% uczniów ucz˛eszcza na obydwa kółka. Oblicz
prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowy wybrany ucze ´n tej szkoły nie ucz˛eszcza na ˙zadne z tych
kółek.
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Je ˙zeli oznaczymy przez A i B zdarzenia polegaj ˛
ace na wybraniu ucznia, który ucz˛eszcza
odpowiednio na kółko plastyczne i muzyczne, to wiemy, ˙ze
P
(
A
) =
0, 47
P
(
B
) =
0, 65
P
(
A
∩
B
) =
0, 3.
W takim razie prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który chodzi na jedno z kółek jest
równe
P
(
A
∪
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
) −
P
(
A
∩
B
) =
0, 47
+
0, 65
−
0, 3
=
0, 82,
a prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który nie chodzi na ˙zadne z kółek wynosi
1
−
P
(
A
∪
B
) =
1
−
0, 82
=
0, 18.
Odpowied´z: 0,18
Z
ADANIE
34
(5
PKT
)
Wierzchołki trapezu ABCD maj ˛
a współrz˛edne: A
= (−
1, 7
)
, B
= (−
9,
−
1
)
, C
= (−
1,
−
2
)
, D
=
(
3, 2
)
. Napisz równanie okr˛egu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego ´sro-
dek jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛
atnych trapezu ABCD.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.
-10
-5
-1
+3
x
-5
-1
+1
+5
y
A
B
C
D
O
E
Aby znale´z´c punkt O wspólny dla przek ˛
atnych AC i BD musimy wyznaczy´c ich równa-
nia.
Równanie prostej AC łatwo zgadn ˛
a´c patrz ˛
ac na współrz˛edne punktów A i C: jest to pro-
sta x
= −
1.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
18
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Szukamy teraz prostej BD w postaci y
=
ax
+
b. Podstawiamy współrz˛edne punktów B
i D i mamy
(
−
1
= −
9a
+
b
2
=
3a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3
=
12a, czyli a
=
1
4
. St ˛
ad b
=
2
−
3a
=
5
4
i prosta BD ma równanie: y
=
1
4
x
+
5
4
.
Wyznaczamy teraz punkt wspólny O prostych AC i BD.
(
x
= −
1
y
=
1
4
x
+
5
4
.
Podstawiaj ˛
ac x
= −
1 do drugiego równania mamy y
=
1, wi˛ec O
= (−
1, 1
)
.
Do wyznaczenia promienia okr˛egu b˛edziemy potrzebowa´c równania prostej AB. Jak
zwykle szukamy prostej w postaci y
=
ax
+
b. Podstawimy współrz˛edne punktów A i B.
(
7
= −
a
+
b
−
1
= −
9a
+
b.
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8
=
8a, czyli a
=
1. St ˛
ad b
=
7
+
a
=
8
i prosta AB ma równanie: y
=
x
+
8.
Dalsz ˛
a cz˛e´s´c rozwi ˛
azania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Niech E b˛edzie punktem wspólnym szukanego okr˛egu i prostej AB. Do´s´c łatwo jest wyzna-
czy´c równanie prostej OE – jest to prosta prostopadła do AB, czyli prosta postaci y
= −
x
+
b
i przechodz ˛
aca przez O. Podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu O mamy
1
=
1
+
b
⇒
b
=
0.
Jest to wi˛ec prosta: y
= −
x. Obliczamy teraz współrz˛edne punktu E (czyli punktu wspólne-
go prostych OE i AB).
(
y
= −
x
y
=
x
+
8
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0
=
2x
+
8, czyli x
= −
4. St ˛
ad y
=
−
x
=
4 i E
= (−
4, 4
)
.
Obliczamy teraz długo´s´c promienia OE okr˛egu.
OE
2
= (−
4
+
1
)
2
+ (
4
−
1
)
2
=
9
+
9
=
18.
Szukany okr ˛
ag ma wi˛ec równanie
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
18.
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
19
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Długo´s´c promienia OE mo ˙zemy obliczy´c korzystaj ˛
ac ze wzoru na odległo´s´c punktu P
=
(
x
0
, y
0
)
od prostej Ax
+
By
+
C
=
0:
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
√
A
2
+
B
2
.
W naszej sytuacji P
=
O
= (−
1, 1
)
, a prosta to AB : y
−
x
−
8
=
0. Mamy zatem
OE
=
|
1
+
1
−
8
|
√
1
+
1
=
6
√
2
=
3
√
2.
Szukany okr ˛
ag ma wi˛ec równanie
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
= (
3
√
2
)
2
=
18.
Odpowied´z:
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
18
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
20