2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM PODSTAWOWY

15

MARCA

2014

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Liczba 43256232a2 jest podzielna przez 4 je ˙zeli
A) a

=

0

B) a

=

2

C) a

=

3

D) a

=

4

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczba 43256232a2 dzieli si˛e przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy przez 4 dzieli si˛e ko ´ncówka a2
(tak jest bo 4325623200 dzieli si˛e przez 4). W´sród podanych odpowiedzi warunek ten spełnia
tylko a

=

3.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

Dodatnia liczba x stanowi 30% liczby y. Wówczas
A) y

=

17

10

x

B) y

=

10

3

x

C) y

=

7

10

x

D) y

=

13

10

x

R

OZWI ˛

AZANIE

Mamy

x

=

30%y

=

0, 3y

=

3

10

y

y

=

10

3

x.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Liczba

8

3

·

16

8

jest równa

A) 2

11

2

B) 2

12

2

C) 2

8

2

D) 8

5

2

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (usuwamy niewymierno´s´c z mianownika)

8

3

·

16

2

2

=

8

3

·

8

2

=

(

2

3

)

3

·

2

3

2

·

2

2

=

2

9

+

3

2

2

=

2

11

2.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Rozwi ˛

azaniem układu równa ´n

(

21x

14y

= −

28

6y

+

9x

=

48

jest para liczb

A) x

= −

3 i y

=

5

B) x

= −

3 i y

=

6

C) x

=

5 i y

=

2

D) x

=

2 i y

=

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Dzielimy pierwsze równanie przez 7, a drugie przez 3.

(

3x

2y

= −

4

2y

+

3x

=

16.

Dodajemy teraz równania stronami i mamy

6x

=

12

x

=

2.

Z pierwszego równania mamy

2y

=

3x

+

4

=

10

y

=

5.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Liczba

(−

2

)

jest pierwiastkiem równania 3mx

=

4

x. Wtedy

A) m

= −

1

B) m

=

1

C) m

=

2

D) m

= −

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Podstawiamy x

= −

2 w danym równaniu

6m

=

6

m

= −

1.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(1

PKT

)

Wyra ˙zenie W

=

x

2

4x

+

4

4x

2

dla x > 2 przyjmuje posta´c

A) x

+

2

B)

3x

+

2

C)

x

2

D) x

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Dane wyra ˙zenie jet równe

W

=

p

x

2

4x

+

4

4x

2

=

q

(

x

2

)

2

q

(

2x

)

2

= |

x

2

| −

2

|

x

|

.

Poniewa ˙z x

2 > 0 dla x > 2, wi˛ec

W

= |

x

2

| −

2

|

x

| =

x

2

2x

= −

x

2.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

7

(1

PKT

)

Prosta y

=

ax

2 jest równoległa do prostej y

=

2x

ax. Wtedy

A) a

= −

1

B) a

=

1

3

C) a

=

1

D) a

=

1

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Proste s ˛

a równoległe je ˙zeli maj ˛

a równe współczynniki kierunkowe. Równanie drugiej pro-

stej mo ˙zemy zapisa´c w postaci

y

= (

2

a

)

x,

zatem równo´s´c współczynników kierunkowych daje równanie

a

=

2

a

a

=

1.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

8

(1

PKT

)

Do zbioru rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci

(

x

+

5

1

)(

x

+

5

+

1

) <

0 nale ˙zy liczba

A) 0

B)

3

C)

1

D) 3

R

OZWI ˛

AZANIE

Zbiorem rozwi ˛

aza ´n danej nierówno´sci kwadratowej

(

x

− (−

5

+

1

))(

x

− (−

5

1

)) <

0

jest przedział

(−

5

1,

5

+

1

)

.

Poniewa ˙z

5

2, 2 do przedziału tego nale ˙zy liczba

3.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(1

PKT

)

K ˛

at α jest k ˛

atem ostrym oraz tg α

=

1

4

. Zatem

A) cos α

=

4

17

B) sin α

=

4

17

C) sin α

=

1

17

D) cos α

=

1

17

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Z podanego tangensa wyliczymy sinus i cosinus.

sin α

cos α

=

tg α

=

1
4

/

()

2

sin

2

α

cos

2

α

=

1

16

sin

2

α

1

sin

2

α

=

1

16

16 sin

2

α

=

1

sin

2

α

17 sin

2

α

=

1

sin

2

α

=

1

17

sin α

=

1

17

cos α

=

p

1

sin

2

α

=

r

1

1

17

=

4

17

.

Sposób II

Narysujmy trójk ˛

at prostok ˛

atny, w którym tg α

=

1

4

.

α

4

1

A

B

C

Łatwo teraz obliczy´c sinus i cosinus. Najpierw obliczmy z twierdzenia Pitagorasa dłu-

go´s´c przeciwprostok ˛

atnej.

AC

=

p

AB

2

+

BC

2

=

1

+

16

=

17.

Zatem

sin α

=

AB
AC

=

1

17

cos α

=

BC

AC

=

4

17.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(1

PKT

)

Na poni ˙zszych rysunkach przedstawiono wykresy funkcji f i g.

x

y

1

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

-1

-1

-2

-2

-3

-4

-5

-6

-3

-4

7

f(x)

x

y

1

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

-1

-1

-2

-2

-3

-4

-5

-6

-3

-4

7

g(x)

Funkcja g jest okre´slona wzorem
A) g

(

x

) =

f

(

x

1

)

B) g

(

x

) =

f

(

x

) −

1

C) g

(

x

) =

f

(

x

+

1

)

D) g

(

x

) =

f

(

x

) +

1

R

OZWI ˛

AZANIE

Wykres na drugim rysunku powstaje z pierwszego przez przesuni˛ecie o jedn ˛

a jednostk˛e w

lewo, czyli jest funkcja to g

(

x

) =

f

(

x

+

1

)

(bo funkcja f przyjmuje wszystkie warto´sci o 1

pó´zniej, ni ˙z g).

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

11

(1

PKT

)

Wielomian W

(

x

) = (

x

2

3

)

3

jest równy wielomianowi

A) x

6

3x

4

+

9x

2

27

B) x

6

+

9x

4

27x

2

27

C) x

6

27

D) x

6

9x

4

+

27x

2

27

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia

(

a

b

)

3

=

a

3

3a

2

b

+

3ab

2

b

3

na sze´scian ró ˙znicy.

(

x

2

3

)

3

= (

x

2

)

3

3

· (

x

2

)

2

·

3

+

3

·

x

2

·

3

2

3

3

=

x

6

9x

4

+

27x

2

27.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

12

(1

PKT

)

Dany jest ci ˛

ag

(

a

n

)

o wyrazie ogólnym a

n

=

n

n

2

, gdzie n > 1. Wówczas

A) a

n

+

1

=

n

2

n

B) a

n

+

1

=

n

+

1

n

2

C) a

n

+

1

=

n

n

2

D) a

n

+

1

= −

n

2

n

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (podstawiamy we wzorze n

+

1 zamiast n)

a

n

+

1

= (

n

+

1

) − (

n

+

1

)

2

=

n

+

1

n

2

2n

1

= −

n

2

n.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

13

(1

PKT

)

Prostok ˛

at ABCD o przek ˛

atnej długo´sci

2 jest podobny do prostok ˛

ata o bokach długo´sci 1

i 7. Obwód prostok ˛

ata ABCD jest równy

A)

16

5

B)

16

25

C) 80

D) 16

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy prostok ˛

at

1

7

d

Przek ˛

atna prostok ˛

ata o bokach długo´sci 1 i 7 ma długo´s´c

d

=

p

1

2

+

7

2

=

50

=

5

2.

To oznacza, ˙ze prostok ˛

at ABCD jest 5 razy mniejszy, czyli jego obwód jest równy

1
5

(

1

+

1

+

7

+

7

) =

16

5

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

14

(1

PKT

)

Ci ˛

agiem geometrycznym jest ci ˛

ag okre´slony wzorem

A) a

n

=

n

4

1

B) a

n

= (−

1

)

n

C) a

n

=

1

n

D) a

n

=

1

3n

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Ci ˛

ag geometryczny to ci ˛

ag postaci a

n

=

a

1

q

n

1

. Z podanych odpowiedzi tylko ci ˛

ag a

n

=

−(−

1

)

n

1

ma t˛e posta´c (z a

1

= −

1 i q

= −

1).

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

15

(1

PKT

)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych podzielnych przez 5 ?
A) 2000

B) 1800

C) 1000

D) 900

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli liczba ma si˛e dzieli´c przez 5, to ostatni ˛

a jej cyfr ˛

a musi by´c 0 lub 5. Pierwsz ˛

a cyfr˛e takiej

liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), a drug ˛

a i trzeci ˛

a na 10 sposobów,

wi˛ec w sumie jest

2

·

9

·

10

·

10

=

1800

takich liczb.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

16

(1

PKT

)

Dany jest okr ˛

ag o ´srodku w punkcie O. Prosta k jest styczna do okr˛egu w punkcie A.

O

α

k

20

o

120

o

A

Miara k ˛

ata α jest równa

A) 40

B) 30

C) 25

D) 20

R

OZWI ˛

AZANIE

Opiszmy troch˛e dany rysunek.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

A

B

D

O

α

k

20

o

120

o

C

E

Zauwa ˙zmy, ˙ze łatwo mo ˙zemy obliczy´c miar˛e k ˛

ata wpisanego ]ADB. Patrzymy na trój-

k ˛

at ADE.

]ADB

=

180

]DAE

]DEA

=

180

20

120

=

40

.

Sposób I

K ˛

at ´srodkowy ]AOB jest oparty na tym samym łuku, co k ˛

at wpisany ]ADB, wi˛ec

]AOB

=

2]ADB

=

80

.

Odcinki AO, OB s ˛

a promieniami okr˛egu, wi˛ec trójk ˛

at AOB jest równoramienny. Zatem

]OAB

=

]OBA

=

180

80

2

=

50

.

Teraz wystarczy zauwa ˙zy´c, ˙ze styczna k jest prostopadła do promienia OA, wi˛ec

α

+

]OAB

=

90

α

=

90

50

=

40

.

Sposób II

Korzystamy z

twierdzenia o stycznej

:

α

=

]ADB

=

40

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

17

(1

PKT

)

Funkcja f

(

x

) =

3x

(

x

3

+

5

)(

2

x

)(

x

+

1

)

ma dokładnie

A) 1 pierwiastek

B) 2 pierwiastki

C) 3 pierwiastki

D) 4 pierwiastki

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwiastkami danego równania s ˛

a liczby

0,

3

5, 2,

1

(dla takich liczb zeruj ˛

a si˛e kolejne nawiasy).

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

18

(1

PKT

)

Obwód równoległoboku ABCD o wierzchołkach A

= (

1,

1

)

, B

= (

7, 3

)

, C

= (

9, 6

)

, D

=

(

3, 2

)

jest równy

A) 3

13

B) 6

13

C) 8

13

D) 4

13

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy równoległobok.

-1

+10

x

-1

+1

+5

+10

y

A

B

C

D

Liczymy długo´sci dwóch s ˛

asiednich boków równoległoboku.

AB

=

q

(

7

1

)

2

+ (

3

+

1

)

2

=

52

=

2

13

BC

=

q

(

9

7

)

2

+ (

6

3

)

2

=

13.

Obwód równoległoboku jest wi˛ec równy

2AB

+

2BC

=

4

13

+

2

13

=

6

13.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

19

(1

PKT

)

Liczba kraw˛edzi graniastosłupa jest o 8 wi˛eksza od liczby jego ´scian. Ile wierzchołków ma
ten graniastosłup?
A) 5

B) 15

C) 10

D) 16

R

OZWI ˛

AZANIE

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛

at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n

+

2 ´scian.

Mamy wi˛ec równanie

3n

=

n

+

2

+

8

2n

=

10

n

=

5.

To oznacza, ˙ze graniastosłup ma 2n

=

10 wierzchołków.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

20

(1

PKT

)

Pi ˛

aty wyraz ci ˛

agu arytmetycznego jest równy

12, a ró ˙znica tego ci ˛

agu jest równa

(−

5

)

.

Drugi wyraz tego ci ˛

agu jest równy

A) 8

B)

7

C)

2

D) 3

R

OZWI ˛

AZANIE

Ze wzoru a

n

=

a

1

+ (

n

1

)

r mamy

12

=

a

5

=

a

1

+

4r

=

a

1

20

a

1

=

20

12

=

8.

Zatem

a

2

=

a

1

+

r

=

8

5

=

3.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

21

(1

PKT

)

Pole koła ograniczonego okr˛egiem x

2

+

y

2

+

2x

6y

+

5

=

0 jest równe

A)

5

B)

5π

C) 25π

D) 5π

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Przekształ´cmy równanie okr˛egu tak, aby było wida´c jaki jest jego ´srodek i promie ´n (zwijamy
do pełnych kwadratów).

x

2

+

y

2

+

2x

6y

+

5

=

0

(

x

+

1

)

2

+ (

y

3

)

2

1

9

+

5

=

0

(

x

+

1

)

2

+ (

y

3

)

2

=

5.

Jest to wi˛ec okr ˛

ag o ´srodku

(−

1, 3

)

i promieniu r

=

5. Pole koła jest wi˛ec równe

πr

2

=

5π.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

22

(1

PKT

)

Mediana uporz ˛

adkowanego niemalej ˛

aco zestawu sze´sciu liczb: 1, 2, 4, x, 7, 8 jest równa 5.

Wtedy
A) x

=

4

B) x

=

5

C) x

=

6

D) x

=

7

R

OZWI ˛

AZANIE

Mediana z sze´sciu uporz ˛

adkowanych liczb to ´srednia arytmetyczna dwóch ´srodkowych,

wi˛ec mamy równanie

4

+

x

2

=

5

4

+

x

=

10

x

=

6.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

23

(1

PKT

)

Rzucamy dwa razy symetryczn ˛

a sze´scienn ˛

a kostk ˛

a do gry. Prawdopodobie ´nstwo dwukrot-

nego otrzymania liczby oczek ró ˙znej od 5 jest równe
A)

1

6

B)

5

18

C)

35

36

D)

25

36

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to

|

| =

6

·

6

=

36.

Zdarze ´n sprzyjaj ˛

acych jest

5

·

5

=

25

(na ka ˙zdej z kostek mo ˙ze by´c jedna z liczb: 1,2,3,4,6).

Zatem

p

=

25
36

.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

24

(1

PKT

)

Obj˛eto´s´c sto ˙zka o wysoko´sci h i promieniu podstawy cztery razy mniejszym od wysoko´sci
jest równa
A)

1

24

πh

3

B)

1

48

πh

3

C)

1

12

πh

3

D)

1

64

πh

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy obrazek.

h

h/4

h/4

Liczymy obj˛eto´s´c

V

=

1
3

πr

2

·

h

=

1
3

π

·

h

2

16

·

h

=

1

48

πh

3

.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

25

(1

PKT

)

Liczba log

3

6

1

2

log

3

8

+

log

3

2 jest równa

A)

3

B)

1

2

C) log

3

2

D) log

3

6

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

log

3

6

1

2

log

3

8

+

log

3

2

=

log

3

6

8

+

log

3

2

=

log

3

3

2

·

2

!

=

log

3

3

1

2

=

1
2

.

Odpowied´z: B

Zadania otwarte

Z

ADANIE

26

(2

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

2

2

. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos

2

α

2 sin

2

α

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Je ˙zeli sin α

=

2

2

to α

=

45

i sin α

=

cos α

=

2

2

. Mamy zatem

3 cos

2

α

2 sin

2

α

=

3 sin

2

α

2 sin

2

α

=

sin

2

α

=

1
2

.

Sposób II

Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy

3 cos

2

α

2 sin

2

α

=

3

(

1

sin

2

α

) −

2 sin

2

α

=

3

5 sin

2

α

=

3

5
2

=

1
2

.

Odpowied´z:

1

2

Z

ADANIE

27

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z równanie x

5

7x

4

+

3x

21

=

0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Zauwa ˙zmy, ˙ze z lewej strony równania mo ˙zna wył ˛

aczy´c

(

x

7

)

.

x

5

7x

4

+

3x

21

=

x

4

(

x

7

) +

3

(

x

7

) = (

x

4

+

3

)(

x

7

)

.

Wida´c teraz, ˙ze równanie ma jedno rozwi ˛

azanie: x

=

7.

Odpowied´z: x

=

7

Z

ADANIE

28

(2

PKT

)

Udowodnij, ˙ze je ˙zeli liczby niezerowe a, b, c spełniaj ˛

a warunek a

+

b

+

c

=

0 to

a

2bc

+

b

2ca

+

c

2ab

+

1

c

+

1
b

+

1

a

=

0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Skorzystamy ze wzoru

(

x

+

y

+

z

)

2

=

x

2

+

y

2

+

z

2

+

2xy

+

2yz

+

2xz.

Przekształcamy lew ˛

a stron˛e równo´sci, któr ˛

a mamy udowodni´c.

a

2bc

+

b

2ca

+

c

2ab

+

1

c

+

1
b

+

1

a

=

=

a

2

+

b

2

+

c

2

+

2ab

+

2ac

+

2bc

2abc

=

(

a

+

b

+

c

)

2

2abc

=

0.

Sposób II

Tak jak poprzednio przekształcamy lew ˛

a stron˛e równo´sci, któr ˛

a mamy udowodni´c do po-

staci

a

2

+

b

2

+

c

2

+

2ab

+

2ac

+

2bc

2abc

.

Wystarczy oczywi´scie teraz udowodni´c, ˙ze licznik jest równy 0. Zrobimy to podstawiaj ˛

ac w

wyra ˙zeniu w liczniku c

= −

a

b.

a

2

+

b

2

+

c

2

+

2ab

+

2ac

+

2bc

=

=

a

2

+

b

2

+ (−

a

b

)

2

+

2ab

+

2a

(−

a

b

) +

2b

(−

a

b

) =

=

a

2

+

b

2

+

a

2

+

2ab

+

b

2

+

2ab

2a

2

2ab

2ab

2b

2

=

0.

Z

ADANIE

29

(2

PKT

)

Trójk ˛

aty ABC i CDE s ˛

a równoramienne i prostok ˛

atne. Punkty A, C i E le ˙z ˛

a na jednej prostej,

a punkty K, L i M s ˛

a ´srodkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka ˙z, ˙ze

|

MK

| =

|

ML

|

.

A

E

D

M

B

K

C

L

R

OZWI ˛

AZANIE

Dorysujmy odcinki MK i ML.

A

E

D

M

B

K

C

L

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób I

Zauwa ˙zmy, ˙ze odcinki AB i CD s ˛

a do siebie równoległe. Odcinek KM ł ˛

aczy ´srodki ramion w

trapezie ACDB, wi˛ec jest równoległy do podstaw AB i CD. Zatem ]MKL

=

]BAC

=

45

.

Podobnie, patrz ˛

ac na odcinki BC i DE, uzasadniamy, ˙ze odcinek ML jest równoległy do

BC i DE. Zatem ]MLK

=

]DEC

=

β

=

45

. To oznacza, ˙ze trójk ˛

at KLM jest równoramien-

nym trójk ˛

atem prostok ˛

atnym. W szczególno´sci MK

=

ML.

Sposób II

Tak jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze odcinki MK i ML ł ˛

acz ˛

a ´srodki ramion w trapezach

ACDB i CEDB. Poniewa ˙z odcinek ł ˛

acz ˛

acy ´srodki ramion trapezu ma długo´s´c równ ˛

a ´sred-

niej arytmetycznej długo´sci podstaw, mamy

MK

=

AB

+

CD

2

=

CB

+

ED

2

=

ML.

Z

ADANIE

30

(2

PKT

)

Odcinek EF ł ˛

acz ˛

acy ´srodki dwóch dłu ˙zszych boków prostok ˛

ata ABCD dzieli go na dwa

kwadraty, przy czym przek ˛

atna prostok ˛

ata jest o 3 dłu ˙zsza od przek ˛

atnej kwadratu. Oblicz

pole prostok ˛

ata ABCD.

A

B

C

D

E

F

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c boku ka ˙zdego z kwadratów, to mamy

AF

=

a

2

AC

=

p

AB

2

+

BC

2

=

p

4a

2

+

a

2

=

a

5.

Mamy zatem równanie

a

5

=

a

2

+

3

a

(

5

2

) =

3

a

=

3

5

2

=

3

(

5

+

2

)

5

2

=

5

+

2.

Pole prostok ˛

ata jest wi˛ec równe

P

ABCD

=

2a

2

=

2

(

5

+

2

)

2

=

2

(

5

+

2

10

+

2

) =

14

+

4

10.

Odpowied´z: 14

+

4

10

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

31

(2

PKT

)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f

(

x

)

okre´slonej dla x

∈ h−

7, 8

i

.

-5

-1

+3

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

-6

-7

-4 -3 -2

+1 +2

+4

+6 +7 +8

+2

+3

+4

+6

+7

-2

-3

-4

-6

-7

Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) najmniejsz ˛

a warto´s´c funkcji f ,

b) zbiór rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci f

(

x

) <

0.

R

OZWI ˛

AZANIE

a) Odczytujemy z wykresu: najmniejsza warto´s´c funkcji f to f

(−

5

) = −

7.

Odpowied´z: f

(−

5

) = −

7

b) Dany wykres funkcji jest poni ˙zej osi Ox na zbiorze:

h−

7,

4

) ∪ (

4, 8

i

.

Odpowied´z:

h−

7,

4

) ∪ (

4, 8

i

Z

ADANIE

32

(4

PKT

)

Oblicz obj˛eto´s´c i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sze´sciok ˛

atnego o kra-

w˛edzi podstawy 2 cm i kraw˛edzi bocznej 6 cm.

R

OZWI ˛

AZANIE

Zaczynamy od rysunku.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

A

B

C

D

E

2

F

S

L

1

2

6

6

6

1

K

Je ˙zeli poł ˛

aczymy ´srodek sze´sciok ˛

ata w podstawie z jego wierzchołkami, to otrzymamy

6 trójk ˛

atów równobocznych. Mo ˙zemy wi˛ec łatwo obliczy´c wysoko´s´c ostrosłupa z trójk ˛

ata

prostok ˛

atnego ALS.

SL

=

p

AS

2

AL

2

=

36

4

=

32

=

4

2.

Zatem obj˛eto´s´c jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛

ata równobocznego).

V

=

1
3

·

6

·

4

3

4

·

4

2

=

8

6.

Aby obliczy´c pole powierzchni bocznej, obliczamy najpierw (z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego BKS)

wysoko´s´c ´sciany bocznej

SK

=

p

SB

2

BK

2

=

36

1

=

35.

Zatem pole powierzchni bocznej jest równe

P

b

=

6

·

1
2

·

2

·

35

=

6

35.

Odpowied´z: V

=

8

6 cm

3

, P

b

=

6

35 cm

2

Z

ADANIE

33

(4

PKT

)

W pewnej szkole 47% uczniów ucz˛eszcza na kółko plastyczne, a 65% uczniów ucz˛eszcza na
kółko muzyczne. Wiadomo ponadto, ˙ze 30% uczniów ucz˛eszcza na obydwa kółka. Oblicz
prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowy wybrany ucze ´n tej szkoły nie ucz˛eszcza na ˙zadne z tych
kółek.

R

OZWI ˛

AZANIE

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Je ˙zeli oznaczymy przez A i B zdarzenia polegaj ˛

ace na wybraniu ucznia, który ucz˛eszcza

odpowiednio na kółko plastyczne i muzyczne, to wiemy, ˙ze

P

(

A

) =

0, 47

P

(

B

) =

0, 65

P

(

A

B

) =

0, 3.

W takim razie prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który chodzi na jedno z kółek jest
równe

P

(

A

B

) =

P

(

A

) +

P

(

B

) −

P

(

A

B

) =

0, 47

+

0, 65

0, 3

=

0, 82,

a prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który nie chodzi na ˙zadne z kółek wynosi

1

P

(

A

B

) =

1

0, 82

=

0, 18.

Odpowied´z: 0,18

Z

ADANIE

34

(5

PKT

)

Wierzchołki trapezu ABCD maj ˛

a współrz˛edne: A

= (−

1, 7

)

, B

= (−

9,

1

)

, C

= (−

1,

2

)

, D

=

(

3, 2

)

. Napisz równanie okr˛egu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego ´sro-

dek jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛

atnych trapezu ABCD.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.

-10

-5

-1

+3

x

-5

-1

+1

+5

y

A

B

C

D

O

E

Aby znale´z´c punkt O wspólny dla przek ˛

atnych AC i BD musimy wyznaczy´c ich równa-

nia.

Równanie prostej AC łatwo zgadn ˛

a´c patrz ˛

ac na współrz˛edne punktów A i C: jest to pro-

sta x

= −

1.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

18

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Szukamy teraz prostej BD w postaci y

=

ax

+

b. Podstawiamy współrz˛edne punktów B

i D i mamy

(

1

= −

9a

+

b

2

=

3a

+

b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3

=

12a, czyli a

=

1

4

. St ˛

ad b

=

2

3a

=

5

4

i prosta BD ma równanie: y

=

1

4

x

+

5

4

.

Wyznaczamy teraz punkt wspólny O prostych AC i BD.

(

x

= −

1

y

=

1

4

x

+

5

4

.

Podstawiaj ˛

ac x

= −

1 do drugiego równania mamy y

=

1, wi˛ec O

= (−

1, 1

)

.

Do wyznaczenia promienia okr˛egu b˛edziemy potrzebowa´c równania prostej AB. Jak

zwykle szukamy prostej w postaci y

=

ax

+

b. Podstawimy współrz˛edne punktów A i B.

(

7

= −

a

+

b

1

= −

9a

+

b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8

=

8a, czyli a

=

1. St ˛

ad b

=

7

+

a

=

8

i prosta AB ma równanie: y

=

x

+

8.

Dalsz ˛

a cz˛e´s´c rozwi ˛

azania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech E b˛edzie punktem wspólnym szukanego okr˛egu i prostej AB. Do´s´c łatwo jest wyzna-
czy´c równanie prostej OE – jest to prosta prostopadła do AB, czyli prosta postaci y

= −

x

+

b

i przechodz ˛

aca przez O. Podstawiaj ˛

ac współrz˛edne punktu O mamy

1

=

1

+

b

b

=

0.

Jest to wi˛ec prosta: y

= −

x. Obliczamy teraz współrz˛edne punktu E (czyli punktu wspólne-

go prostych OE i AB).

(

y

= −

x

y

=

x

+

8

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0

=

2x

+

8, czyli x

= −

4. St ˛

ad y

=

x

=

4 i E

= (−

4, 4

)

.

Obliczamy teraz długo´s´c promienia OE okr˛egu.

OE

2

= (−

4

+

1

)

2

+ (

4

1

)

2

=

9

+

9

=

18.

Szukany okr ˛

ag ma wi˛ec równanie

(

x

+

1

)

2

+ (

y

1

)

2

=

18.

Sposób II

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

19

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Długo´s´c promienia OE mo ˙zemy obliczy´c korzystaj ˛

ac ze wzoru na odległo´s´c punktu P

=

(

x

0

, y

0

)

od prostej Ax

+

By

+

C

=

0:

|

Ax

0

+

By

0

+

C

|

A

2

+

B

2

.

W naszej sytuacji P

=

O

= (−

1, 1

)

, a prosta to AB : y

x

8

=

0. Mamy zatem

OE

=

|

1

+

1

8

|

1

+

1

=

6

2

=

3

2.

Szukany okr ˛

ag ma wi˛ec równanie

(

x

+

1

)

2

+ (

y

1

)

2

= (

3

2

)

2

=

18.

Odpowied´z:

(

x

+

1

)

2

+ (

y

1

)

2

=

18

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

20


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 15.03.2014
2014 Matura 15 03 2014 odp
2013 biologia czerwiec odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
17 03 2014 Jaskowskaid 17194 Nieznany (2)
2014 04 28 23 31 22id 28401 Nieznany
matura probna 2014 3 id 288983 Nieznany
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
11 03 2014 Pietrzykid 12321 Nieznany (2)
15 04 2014 Korycinskaid 16080 Nieznany (2)
15 04 2014 Pietrzykid 16081 Nieznany (2)
2014 10 28 Ekonomia menedzerska Nieznany
2014 Matura 22 03 2014
Mpk ver 24 03 2014 id 309156 Nieznany

więcej podobnych podstron