www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
1
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Wska ˙z rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci 4
(
x
−
1
) >
3x.
4
x
1
x
x
x
A)
B)
C)
D)
4
1
4
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy dan ˛
a nierówno´s´c
4
(
x
−
1
) >
3x
4x
−
4
>
3x
x
>
4.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
´
Cwier´c liczby a zwi˛ekszono o 40%. Otrzymano
A) 3, 5a
B) 35%
·
a
C) 65%
·
a
D) 0, 25a
+
40%
·
a
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
0, 25a
+
40%
·
0, 25a
=
0, 25a
+
0, 4
·
0, 25a
=
0, 25a
+
0, 1a
=
0, 35a
=
35%
·
a.
Mogli´smy te ˙z liczy´c tak
1, 4
·
0, 25a
=
0, 35a
=
35%
·
a.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Wska ˙z zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
p
(
3
+
x
)
2
6 3.
A) x
∈ h−
6, 0
i
B) x
∈ h
0, 6
i
C) x
∈ h−
3, 3
i
D) x
∈ h−
3, 0
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapisujemy nierówno´s´c w postaci nierówno´sci z warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a
|
3
+
x
|
6 3
|
x
− (−
3
)|
6 3.
Rozwi ˛
azaniem tej nierówno´sci jest zbiór liczb, które s ˛
a odległe od
−
3 o nie wi˛ecej ni ˙z 3, czyli
przedział
h−
3
−
3,
−
3
+
3
i = h−
6, 0
i
.
Odpowied´z: A
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Je´sli a
=
log
√
3
9 i b
=
log
3
√
21
−
log
3
√
7 to:
A) a
=
b
B) a
<
b
C) a
>
b
D) a
2
=
b
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
a
=
log
√
3
9
=
log
√
3
(
√
3
)
4
=
4
b
=
log
3
√
21
−
log
3
√
7
=
log
3
√
21
√
7
=
log
3
√
3
=
log
3
3
1
2
=
1
2
.
Zatem a
>
b.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Liczb ˛
a, która nie nale ˙zy do zbioru warto´sci funkcji f
(
x
) =
10
−
2
x
−
3
jest
A) 10
B) 3
C)
−
3
D) 0
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Wykresem funkcji f jest hiperbola y
= −
2
x
przesuni˛eta o 3 jednostki w prawo i o 10 jednostek
do góry.
-5
-1
+3
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=10
Gdy j ˛
a naszkicujemy wida´c, ˙ze nie ma ona punktów wspólnych z poziom ˛
a prost ˛
a y
=
10.
Sposób II
Ułamek
2
x
−
3
oczywi´scie nigdy (tj. dla ˙zadnej warto´sci x) nie mo ˙ze by´c równy 0, wi˛ec funkcja
f
(
x
) =
10
−
2
x
−
3
nie przyjmuje warto´sci 10.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Punkt A
= (
2, 1
)
le ˙zy na wykresie funkcji liniowej f
(
x
) = (
m
−
3
)
x
+
m
−
2. St ˛
ad wynika,
˙ze
A) m
=
1
B) m
=
7
2
C) m
=
3
D) m
=
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy w danym wzorze współrz˛edne punktu A.
1
=
2m
−
6
+
m
−
2
⇒
3m
=
9
⇒
m
=
3.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Liczba
(
1
+
√
2
)
3
jest równa
A) 7
−
5
√
2
B) 7
+
√
2
C) 1
+
√
8
D) 7
+
5
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy korzystaj ˛
ac ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3ab
2
+
b
3
.
Mamy wi˛ec
(
1
+
√
2
)
3
=
1
3
+
3
·
1
2
·
√
2
+
3
·
1
· (
√
2
)
2
+ (
√
2
)
3
=
=
1
+
3
√
2
+
6
+
2
√
2
=
7
+
5
√
2.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Ka ˙zdy bok trójk ˛
ata prostok ˛
atnego o bokach 3, 4, 5 kolorujemy jednym z 6 kolorów tak, aby
˙zadne dwa boki nie były pokolorowane tym samym kolorem. Ile jest takich pokolorowa ´n?
A) 15
B) 120
C) 216
D) 20
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwszy bok trójk ˛
ata mo ˙zemy pokolorowa´c na 6 sposobów, drugi na 5 (bo ma mie´c inny
kolor ni ˙z pierwszy), a trzeci na 4 sposoby. W sumie jest wi˛ec
6
·
5
·
4
=
120
sposobów.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Wierzchołek paraboli y
= (
2x
+
1
)
2
+
1
6
le ˙zy na prostej o równaniu
A) y
= −
1
3
x
B) y
=
1
3
x
C) y
=
3x
D) y
= −
1
6
x
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przypomnijmy, ˙ze postaci ˛
a kanoniczn ˛
a funkcji kwadratowej jest
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
,
gdzie
(
x
w
, y
w
)
s ˛
a współrz˛ednymi wierzchołka. Zatem podany wzór nie jest postaci ˛
a kano-
niczn ˛
a, ale łatwo go do niej sprowadzi´c.
y
= (
2x
+
1
)
2
+
1
6
=
4
x
+
1
2
2
+
1
6
.
Wierzchołek ma wi˛ec współrz˛edne
−
1
2
,
1
6
, które spełniaj ˛
a y
w
= −
1
3
x
w
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Mo ˙zemy te ˙z znale´z´c współrz˛edne wierzchołka ze wzoru
(
x
w
, y
w
) =
−
b
2a
,
−
∆
4a
.
Liczymy
(
2x
+
1
)
2
+
1
6
=
4x
2
+
4x
+
1
+
1
6
=
4x
2
+
4x
+
7
6
∆
=
16
−
4
·
4
·
7
6
=
16
1
−
7
6
=
16
·
−
1
6
= −
8
3
(
x
w
, y
w
) =
−
b
2a
,
−
∆
4a
=
−
4
8
,
8
3
16
!
=
−
1
2
,
1
6
.
Jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze y
w
= −
1
3
x
w
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Korzystaj ˛
ac z danego wykresu funkcji f , wska ˙z nierówno´s´c prawdziw ˛
a
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
A) f
(−
1
) <
f
(
1
)
B) f
(
2
) <
f
(
3
)
C) f
(−
3
) >
f
(
4
)
D) f
(
3
) <
f
(
1
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Odczytujemy z wykresu.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
mx
+
1 jest prostopadła do prostej o równaniu x
=
ny
+
1. St ˛
ad
wynika, ˙ze
A) m
=
n
B) mn
= −
1
C) m
+
n
= −
1
D) m
+
n
=
0
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste y
=
ax
+
b i y
=
cx
+
d s ˛
a prostopadłe je ˙zeli ac
= −
1. Drug ˛
a z danych prostych
mo ˙zemy zapisa´c w postaci
y
=
1
n
x
−
1
n
Mamy zatem
m
·
1
n
= −
1
m
= −
n
m
+
n
=
0.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Dane s ˛
a wielomiany: W
(
x
) =
2x
6
−
3x
3
+
5x
+
4 i P
(
x
) = −
4x
4
−
12x
2
+
5. Stopie ´n wielo-
mianu W
(
x
) ·
P
(
x
)
jest równy:
A) 24
B) 10
C) 9
D) 6
R
OZWI ˛
AZANIE
Aby ustali´c jaki b˛edzie stopie ´n wielomianu W
(
x
) ·
P
(
x
)
mno ˙zymy najwy ˙zsze pot˛egi x-a z
obu wielomianów
2x
6
· (−
4x
4
) = −
8x
6
+
4
= −
8x
10
.
Zatem W
(
x
) ·
P
(
x
)
jest wielomianem stopnia 10.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Liczby x, x
+
2, x
+
5 tworz ˛
a ci ˛
ag geometryczny. Wynika st ˛
ad, ˙ze
A) x
=
16
B) x
=
4
C) x
=
√
6
−
2
D) x
=
7
2
R
OZWI ˛
AZANIE
W ci ˛
agu geometrycznym kwadrat ka ˙zdego wyrazu (z wyj ˛
atkiem pierwszego) jest iloczynem
wyrazów s ˛
asiednich. Mamy wi˛ec
a
1
a
3
=
a
2
2
x
(
x
+
5
) = (
x
+
2
)
2
x
2
+
5x
=
x
2
+
4x
+
4
x
=
4.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Na rysunku zaznaczono długo´sci niektórych odcinków w rombie oraz k ˛
at α.
18
15
α
Wtedy
A) sin α
=
3
4
B) cos α
=
4
5
C) sin α
=
4
5
D) sin α
=
3
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy drug ˛
a przek ˛
atn ˛
a.
15
α
9
9
12
12
Przek ˛
atne rombu dziel ˛
a si˛e na połowy i s ˛
a prostopadłe, wi˛ec otrzymali´smy 4 przystaj ˛
ace
trójk ˛
aty prostok ˛
atne o przyprostok ˛
atnych długo´sci 9 i
p
15
2
−
9
2
=
√
144
=
12.
Zatem
cos α
=
9
15
=
3
5
sin α
=
12
15
=
4
5
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
2
−
1. Warto´s´c wyra ˙zenia
cos
4
α
4
jest równa
A)
√
2
−
1
B) 2
√
2
−
2
C) 3
+
2
√
2
D) 3
−
2
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Z podanego sinusa i jedynki trygonometrycznej wyliczamy kwadrat cosinusa.
cos
2
α
=
1
−
sin
2
α
=
1
− (
√
2
−
1
)
2
=
1
− (
2
−
2
√
2
+
1
) =
2
√
2
−
2.
Zatem
cos
4
α
4
=
cos
2
α
2
2
= (
√
2
−
1
)
2
=
2
−
2
√
2
+
1
=
3
−
2
√
2.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 40
◦
(tak jak na rysunku).
α
A
B
D
M
C
S
40
o
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 80
◦
B) 40
◦
C) 30
◦
D) 20
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Miara k ˛
ata α
=
]DMB jest równa połowie miary k ˛
ata ´srodkowego ]DSB, a ten k ˛
at z kolei
jest równy k ˛
atowi k ˛
atowi ]ASC. Zatem
α
=
1
2
·
40
◦
=
20
◦
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Krótsza przek ˛
atna sze´sciok ˛
ata foremnego ma długo´s´c 8. Wówczas pole koła wpisanego w
ten sze´sciok ˛
at jest równe
A) 4π
B) 8π
C) 16π
D) 64π
R
OZWI ˛
AZANIE
Robimy szkicowy rysunek
4
4
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z rysunku wida´c, ˙ze długo´s´c krótszej przek ˛
atnej sze´sciok ˛
ata jest równa ´srednicy koła
wpisanego w ten sze´sciok ˛
at. Zatem pole tego koła jest równe
π
·
4
2
=
16π.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Równanie okr˛egu wpisanego w romb o wierzchołkach A
= (
0,
−
2
)
, B
= (
4, 1
)
, C
= (
4, 6
)
, D
=
(
0, 3
)
ma posta´c
A)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
+
2
)
2
=
4
B)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
2
C)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
4
D)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
+
2
)
2
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy romb, to jest jasne, ˙ze ´srodkiem okr˛egu wpisanego jest ´srodek przek ˛
atnej
AC (czyli punkt przeci˛ecia przek ˛
atnych).
-1
x
-1
+1
+5
+10
y
A
B
C
D
S
Zatem
S
=
0
+
4
2
,
−
2
+
6
2
= (
2, 2
)
.
Promie ´n okr˛egu wpisanego jest równy odległo´sci punktu S od osi Oy (bo zawiera ona bok
AD) rombu, czyli jest równy 2. Zatem szukane równanie ma posta´c
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
4
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y
=
f
(
x
)
.
x
y
1
2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-3
W którym z przedziałów, funkcja przyjmuje warto´s´c 1?
A)
h
0, 1
i
B)
(−
3, 0
)
C)
(
0, 2
)
D)
h−
1, 0
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Z rysunku wida´c, ˙ze funkcja f przyjmuje warto´s´c 1 dwa razy: raz pomi˛edzy
−
2 i
−
1, a drugi
raz w punkcie x
=
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Liczba wszystkich kraw˛edzi graniastosłupa jest o 12 wi˛eksza od liczby wszystkich jego ´scian
bocznych. St ˛
ad wynika, ˙ze podstaw ˛
a tego graniastosłupa jest
A) czworok ˛
at
B) pi˛eciok ˛
at
C) sze´sciok ˛
at
D) dziesi˛eciok ˛
at
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛
at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n ´scian bocz-
nych.
Mamy wi˛ec równanie
3n
=
n
+
12
2n
=
12
n
=
6.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Liczby x
−
1, x
+
3, 2x
−
4 w podanej kolejno´sci tworz ˛
a ci ˛
ag arytmetyczny. Wtedy x jest rów-
ne
A) x
=
2
B) x
=
1
C) x
=
4
D) x
=
11
R
OZWI ˛
AZANIE
´Srodkowy wyraz w ci ˛agu arytmetycznym jest ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a wyrazów s ˛asiednich,
wi˛ec
2
(
x
+
3
) = (
x
−
1
) + (
2x
−
4
)
6
=
x
−
1
−
4
11
=
x.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Jak ˛
a liczb˛e mo ˙zna wstawi´c pomi˛edzy
−
27
16
, a
−
1
3
, aby z danymi liczbami tworzyła ci ˛
ag geo-
metryczny?
A)
3
4
B)
−
4
3
C)
4
3
D)
−
9
16
R
OZWI ˛
AZANIE
Kwadrat wstawionej liczby musi by´c iloczynem liczb s ˛
asiednich, czyli
x
2
=
−
27
16
·
−
1
3
=
9
16
x
= ±
3
4
.
W´sród podanych odpowiedzi nie ma
−
3
4
, wi˛ec musi by´c x
=
3
4
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
´Srednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie cz˛esto´sci jest równa
częstość w %
wartość
0
10
20
30
40
1
2
3
0
50
A) 2
B) 1
C) 1,5
D) 1,8
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
s
=
0
·
0, 2
+
1
·
0, 1
+
2
·
0, 2
+
3
·
0, 5
0, 2
+
0, 1
+
0, 2
+
0, 5
=
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego o wysoko´sci 7 jest równa 63
√
3. Długo´s´c
kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) 4
B) 3
C) 6
D) 36
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy graniastosłup.
a
a
a
h
Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi podstawy graniastosłupa to pole podstawy
jest równe
P
p
=
a
2
√
3
4
i z podanej obj˛eto´sci otrzymujemy równanie
63
√
3
=
a
2
√
3
4
·
7
/
·
4
7
√
3
36
=
a
2
⇒
a
=
6.
Odpowied´z: C
Zadania otwarte
Z
ADANIE
25
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
−
36
=
12x
−
3x
2
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przenosimy wszystkie składniki na jedn ˛
a stron˛e i wył ˛
aczamy
(
x
+
3
)
przed nawias.
0
=
x
3
+
3x
2
−
12x
−
36
=
x
2
(
x
+
3
) −
12
(
x
+
3
) =
= (
x
+
3
)(
x
2
−
12
) = (
x
+
3
)(
x
−
√
12
)(
x
+
√
12
) =
= (
x
+
3
)(
x
−
2
√
3
)(
x
+
2
√
3
)
.
Odpowied´z: x
∈ {−
2
√
3,
−
3, 2
√
3
}
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 3x
2
+
x
−
14 6 0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu 3x
2
+
x
−
14.
∆
=
1
2
+
4
·
3
·
14
=
1
+
168
=
169
=
13
2
x
1
=
−
1
−
13
6
= −
14
6
= −
7
3
x
2
=
−
1
+
13
6
=
2.
Poniewa ˙z współczynnik przy x
2
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛
a o ramio-
nach skierowanych w gór˛e.
-5
-1
+3
+5
x
-10
-2
+2
+10
y
Otrzymujemy st ˛
ad rozwi ˛
azanie nierówno´sci
−
7
3
, 2
.
Odpowied´z:
−
7
3
, 2
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
1
3
. Oblicz tg α.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Poniewa ˙z mamy obliczy´c tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos α.
1
3
=
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
sin α
cos α
−
cos α
cos α
sin α
cos α
+
cos α
cos α
=
tg α
−
1
tg α
+
1
.
tg α
+
1
=
3 tg α
−
3
4
=
2 tg α
⇒
tg α
=
2.
Sposób II
Przekształcamy dan ˛
a równo´s´c tak, aby otrzyma´c tg α.
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
1
3
3 sin α
−
3 cos α
=
sin α
+
cos α
2 sin α
=
4 cos α
/ : 2 cos α
sin α
cos α
=
2
tg α
=
2.
Odpowied´z: tg α
=
2
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
W 8 pudełkach umieszczamy 5 ponumerowanych kulek tak, aby w ˙zadnym pudełku nie
było wi˛ecej ni ˙z jednej kulki. Na ile sposobów mo ˙zemy to zrobi´c?
R
OZWI ˛
AZANIE
Ka ˙zdej kulce musimy przyporz ˛
adkowa´c unikalny numer pudełka. Mo ˙zna to zrobi´c na
8
·
7
·
6
·
5
·
4
=
6720
sposobów (pierwsza trafia do dowolnego z pudełek, druga nie mo ˙ze znale´z´c si˛e w tym co
pierwsza, trzecia musi by´c w innym ni ˙z dwie pierwsze itd.).
Odpowied´z: 6720
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Wyznacz współrz˛edne punktu P, który dzieli odcinek o ko ´ncach A
= (
19, 17
)
i B
= (−
9, 33
)
w stosunku
|
AP
|
:
|
PB
| =
1 : 3.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli zrobimy obrazek, to łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze aby otrzyma´c punkt P musimy podzieli´c
odcinek AB na 4 cz˛e´sci i punkt P to koniec pierwszego odcinka.
A
B
S
P
Innymi słowy, musimy wyznaczy´c ´srodek S odcinka AB, a punkt P jest ´srodkiem odcinka
AS. Liczymy
S
=
A
+
B
2
=
19
−
9
2
,
17
+
33
2
= (
5, 25
)
P
=
A
+
S
2
=
19
+
5
2
,
17
+
25
2
= (
12, 21
)
.
Sposób II
Zadanie łatwo te ˙z rozwi ˛
aza´c u ˙zywaj ˛
ac wektorów. Szukany punkt P otrzymamy przesuwa-
j ˛
ac punkt A o
1
4
wektora
−→
AB. Zatem
P
=
A
+
1
4
−→
AB
= (
19, 17
) +
1
4
[−
28, 16
] = (
19, 17
) + [−
7, 4
] = (
12, 21
)
.
Odpowied´z: P
= (
12, 21
)
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Na bokach AD, AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K, L i M w ten sposób, ˙ze
KL
k
DB i LM
k
AC. Uzasadnij, ˙ze
|
LK
| + |
LM
| = |
AC
|
.
A
B
C
D
K
L
M
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Oznaczmy AL
=
x i LB
=
y. Trójk ˛
aty ALK i LBM s ˛
a prostok ˛
atne i maj ˛
a k ˛
aty ostre równe
45
◦
, wi˛ec s ˛
a to trójk ˛
aty równoramienne.
A
B
C
D
K
L
M
x
y
y
x
A
B
C
D
K
L
M
x
y
y
x
P
R
S
T
Zatem BM
=
y i mamy
LK
+
LM
=
p
x
2
+
x
2
+
q
y
2
+
y
2
=
x
√
2
+
y
√
2
= (
x
+
y
)
√
2
=
AB
√
2
=
AC.
Sposób II
Poprowad´zmy przez punkty K, L i M proste równoległe do boków kwadratu (prawy rysu-
nek). Otrzymane czworok ˛
aty ALPK, SRTD i LBMR s ˛
a kwadratami, w dodatku kwadraty
ALPK i SRTD s ˛
a przystaj ˛
ace. Zatem
LK
+
LM
=
RD
+
BR
=
BD
=
AC.
Z
ADANIE
31
(4
PKT
)
Ci ˛
ag
(
4, a, b, c, d, 8
)
jest geometryczny. Oblicz a, b, c i d.
R
OZWI ˛
AZANIE
Szukamy ci ˛
agu postaci a
n
=
a
1
q
n
−
1
, w którym a
1
=
4 i
8
=
a
6
=
a
1
q
5
=
4q
5
2
=
q
5
⇒
q
=
5
√
2.
Zatem
a
=
a
2
=
a
1
q
=
4
5
√
2
b
=
a
3
=
a
1
q
2
=
4
5
√
4
c
=
a
4
=
a
1
q
3
=
4
5
√
8
d
=
a
5
=
a
1
q
4
=
4
5
√
16.
Odpowied´z:
(
a, b, c, d
) = (
4
5
√
2, 4
5
√
4, 4
5
√
8, 4
5
√
16
)
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
32
(5
PKT
)
Poci ˛
ag towarowy pokonał tras˛e długo´sci 208 km. Gdyby ´srednia pr˛edko´s´c poci ˛
agu była
wi˛eksza o 13 km/h to t˛e sam ˛
a tras˛e poci ˛
ag pokonałby w czasie o 48 minut krótszym. Oblicz
´sredni ˛
a pr˛edko´s´c z jak ˛
a poci ˛
ag pokonał t˛e tras˛e.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech t i v oznaczaj ˛
a odpowiednio czas przejazdu oraz ´sredni ˛
a pr˛edko´s´c poci ˛
agu. Z zało ˙ze ´n
mamy
(tv
=
208
(
v
+
13
)
t
−
4
5
=
208.
Podstawiamy t
=
208
v
z pierwszego równania do drugiego.
(
v
+
13
)
208
v
−
4
5
=
208
/
·
5v
4
(
v
+
13
)(
260
−
v
) =
260v
−
v
2
+
260v
−
13v
+
3380
=
260v
v
2
+
13v
−
3380
=
0
∆
=
13
2
+
4
·
3380
=
13689
=
117
2
v
=
−
13
−
117
2
<
0
∨
v
=
−
13
+
117
2
=
104
2
=
52.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy v
=
52 km/h.
Odpowied´z: 52 km/h
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego czworok ˛
atnego ABCDS o podstawie ABCD jest równa
224, a promie ´n okr˛egu opisanego na podstawie ABCD jest równy 2
√
14. Oblicz cosinus k ˛
ata
mi˛edzy wysoko´sci ˛
a tego ostrosłupa i jego ´scian ˛
a boczn ˛
a.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
S
F
α
E
a
a
H
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Promie ´n okr˛egu opisanego na kwadracie w podstawie to po prostu połowa długo´sci
przek ˛
atnej, czyli
a
√
2
2
=
2
√
14
⇒
a
=
4
√
14
√
2
=
4
√
7.
Z danej obj˛eto´sci obliczamy wysoko´s´c ostrosłupa.
224
=
V
=
1
3
a
2
·
H
H
=
224
·
3
a
2
=
224
·
3
112
=
6.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego SFE obliczamy wysoko´s´c SF ´sciany bocznej.
SF
=
p
SE
2
+
EF
2
=
√
36
+
28
=
√
64
=
8.
Pozostało obliczy´c interesuj ˛
acy nas cosinus k ˛
ata mi˛edzy wysoko´sci ˛
a ostrosłupa, a ´scian ˛
a
boczn ˛
a.
cos α
=
SE
SF
=
6
8
=
3
4
.
Odpowied´z:
3
4
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
18