2014 Matura 29 04 2014 odp

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM PODSTAWOWY

29

MARCA

2014

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Liczba

6

3

·

3 jest równa

A)

3

9

B)

6

27

C)

18

3

D)

9

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

6

3

·

3

=

3

1

6

·

3

1

2

=

3

1

6

+

1

2

=

3

4

6

=

3

2

3

=

3

3

2

=

3

9.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

Ilustracj ˛

a graficzn ˛

a zbioru rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci x

2

> 16x jest przedział:

x

0

x

4

x

16

x

-4

A)

C)

B)

D)

16

0

4

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozwi ˛

azujemy dan ˛

a nierówno´s´c

x

2

> 16x

x

2

16x > 0

x

(

x

16

)

> 0

x

∈ (−

∞, 0

i ∪ h

16,

+

)

.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Liczby a i b s ˛

a dodatnie oraz 14% liczby a jest równe 21% liczby b. St ˛

ad wynika, ˙ze a jest

równe
A) 103% liczby b

B) 125% liczby b

C) 150% liczby b

D) 153% liczby b

R

OZWI ˛

AZANIE

Wiemy, ˙ze

14%a

=

21%b

/ : 14%

a

=

21
14

b

=

3
2

b

=

150
100

b

=

150%b.

Odpowied´z: C

Zadania

.info

Podobają Ci się nasze rozwiązania?

Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Liczba log

3

h

log

64

(

log

3

9

)

i

jest równa

A)

1

2

B)

1

2

C) 1

D)

1

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

log

3

h

log

64

(

log

3

9

)

i

=

log

3

log

64

log

3

3

4

=

=

log

3

log

64

4

=

log

3

h

log

64

64

1

3

i

=

log

3

1
3

=

log

3

3

1

= −

1.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Funkcja f jest okre´slona wzorem f

(

x

) =

2x

1

x

dla x

6=

1. Warto´s´c funkcji f dla argumentu

x

=

2 jest równa

A) 2

B)

4

C) 4

D)

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

f

(

2

) =

4

1

2

= −

4.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(1

PKT

)

Wykres funkcji liniowej f

(

x

) = (

1

m

)

x

+

m przechodzi przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu

współrz˛ednych wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m

∈ (−

∞, 0

)

B) m

∈ (−

∞, 1

)

C) m

∈ (

0,

+

)

D) m

∈ (

0, 1

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy wykres funkcji liniowej przechodz ˛

acy przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu współ-

rz˛ednych.

x

y

I

II

III

IV

Wida´c z obrazka, ˙ze je ˙zeli wykres nie ma przechodzi´c przez II ´cwiartk˛e układu, to musi

to by´c wykres funkcji rosn ˛

acej oraz musi on przecina´c o´s Oy poni ˙zej osi Ox. Musz ˛

a wi˛ec by´c

spełnione nierówno´sci

(

1

m

) >

0

m

<

1

m

<

0.

Zatem m

∈ (−

∞, 0

)

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

7

(1

PKT

)

Liczbami spełniaj ˛

acymi równanie

|

3

+

x

| =

8 s ˛

a

A) 11 i 5

B) 3 i 8

C)

11 i 5

D)

3 i 8

R

OZWI ˛

AZANIE

Przekształcamy dane równanie

|

3

+

x

| =

8

3

+

x

= −

8

lub

3

+

x

=

8

x

= −

11

lub

x

=

5.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(1

PKT

)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y

=

f

(

x

)

.

x

y

1

2 3 4 5

1

2

3

4

5

-1

-1

-2

-2

-3

-4

-3

Najmniejsza warto´s´c funkcji f w przedziale

h−

1, 1

i

jest równa

A) 3

B) 1

C)

2

D)

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Z rysunku odczytujemy, ˙ze najmniejsza warto´s´c w przedziale

h−

1, 1

i

to

f

(−

1

) =

1.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

9

(1

PKT

)

Wierzchołek paraboli o równaniu y

= (

x

1

)

2

2c le ˙zy na prostej o równaniu y

=

6. Wtedy

A) c

= −

6

B) c

= −

3

C) c

=

3

D) c

=

6

R

OZWI ˛

AZANIE

Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej

y

=

a

(

x

x

w

)

2

+

y

w

ma współrz˛edne

(

x

w

, y

w

)

. Zatem w naszej sytuacji jest to punkt

(

1,

2c

)

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

-5

-1

+5

x

-1

+1

+5

+10

y

y=6

y=(x-1)

2

-2c

Z drugiej strony wiemy, ˙ze punkt ten ma drug ˛

a współrz˛edn ˛

a równ ˛

a 6. W takim razie

2c

=

6

c

= −

3.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

10

(1

PKT

)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f .

x

y

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-3

-2

-1

0

-5

-4

Maksymalnym zbiorem, w którym funkcja f przyjmuje tylko warto´sci ujemne, jest
A)

(−

2, 2

)

B)

(−

2, 5

i

C)

(−

2, 2

) ∪ (

4, 5

i

D)

h−

4, 0

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Wykres funkcji znajduje si˛e poni ˙zej osi Ox na zbiorze:

(−

2, 2

) ∪ (

4, 5

i

.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(1

PKT

)

Prosta o równaniu y

=

3

m

x

+

1 jest prostopadła do prostej o równaniu y

=

2

3

x

1. St ˛

ad

wynika, ˙ze
A) m

= −

2

B) m

=

2

3

C) m

=

3

2

D) m

=

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Proste y

=

ax

+

b i y

=

cx

+

d s ˛

a prostopadłe je ˙zeli ac

= −

1. Mamy zatem

3

m

·

2
3

= −

1

2

m

= −

1

m

= −

2.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

12

(1

PKT

)

Iloczyn wielomianów 2x

+

3 oraz

4x

2

+

6x

9 jest równy

A)

8x

3

+

27

B)

8x

3

27

C) 8x

3

+

27

D) 8x

3

27

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Liczymy

(

2x

+

3

)(−

4x

2

+

6x

9

) = −(

2x

+

3

)(

4x

2

6x

+

9

) =

= −(

8x

3

12x

2

+

18x

+

12x

2

18x

+

27

) =

= −(

8x

3

+

27

) = −

8x

3

27.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

a

3

+

b

3

= (

a

+

b

)(

a

2

ab

+

b

2

)

na sum˛e sze´scianów. Mamy zatem

(

2x

+

3

)(−

4x

2

+

6x

9

) = −(

2x

+

3

)(

4x

2

6x

+

9

) =

= −((

2x

)

3

+

3

3

) = −

8x

3

27.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

13

(1

PKT

)

Liczby 3, x, 4x s ˛

a odpowiednio pierwszym, trzecim i pi ˛

atym wyrazem ci ˛

agu geometryczne-

go. Wtedy
A) x

= −

6

B) x

=

8

C) x

=

6

D) x

=

12

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech a

n

=

a

1

q

n

1

, n > 1 b˛edzie ci ˛

agiem geometrycznym, o którym mowa w tre´sci zadania.

Mamy zatem

a

1

=

3

a

3

=

a

1

q

2

=

x

a

5

=

a

1

q

4

=

4x.

Z dwóch ostatnich równo´sci mamy

4x

=

a

1

q

4

=

a

1

q

2

·

q

2

=

x

·

q

2

.

Zatem q

2

=

4 i z drugiej równo´sci mamy

x

=

a

1

q

2

=

3

·

4

=

12.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

14

(1

PKT

)

Pole rombu o boku równym 6 cm i k ˛

acie rozwartym wynosz ˛

acym 150

wynosi

A) 18 cm

2

B) 9

3 cm

2

C) 18

3 cm

2

D) 24 cm

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Najpierw szkicowy rysunek.

A

B

C

D

6

6

30

o

h

150

o

K ˛

at ostry rombu ma miar˛e

180

150

=

30

Sposób I

Obliczamy wysoko´s´c rombu

h
6

=

sin 30

h

=

6

·

1
2

=

3.

Zatem pole rombu jest równe

P

=

6

·

3

=

18.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób II

Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem

P

=

6

·

6

·

sin 30

=

36

·

1
2

=

18.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

15

(1

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

5

3

. Warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos

2

α

+

1 jest równa

A)

7

3

B)

4

3

C)

8

3

D)

4

5

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Na mocy jedynki trygonometrycznej

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1

mamy

3 cos

2

α

+

1

=

3

(

1

sin

2

α

) +

1

=

3

1

5
9

+

1

=

3

·

4
9

+

1

=

4
3

+

1

=

7
3

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

16

(1

PKT

)

´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 130

(tak jak na rysunku).

α

A

B

D

M

C

S

130

o

Miara k ˛

ata α jest równa

A) 65

B) 100

C) 115

D) 130

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Korzystamy z faktu, ˙ze k ˛

at ´srodkowy jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛

ata wpisanego opartego na

tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk ACD).

α

A

B

D

M

C

S

130

o

50

o

50

o

α

E

D

M

130

o

65

o

A

S

Zatem

]AMD

=

1
2

]ASD

=

1
2

· (

130

+

50

+

50

) =

1
2

·

230

=

115

.

Sposób II

Je ˙zeli nie chcemy posługiwa´c si˛e k ˛

atami wkl˛esłymi to dorysujmy punkt E na na okr˛egu.

Wtedy

]AED

=

1
2

]ASD

=

1
2

·

130

=

65

.

Zatem

]AMD

=

180

]AED

=

180

65

=

115

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

17

(1

PKT

)

Najdłu ˙zsza przek ˛

atna sze´sciok ˛

ata foremnego ma długo´s´c 6. Wówczas pole koła opisanego

na tym sze´sciok ˛

acie jest równe

A) 4π

B) 9π

C) 18π

D) 36π

R

OZWI ˛

AZANIE

Robimy szkicowy rysunek

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

3

3

3

3

3

3

Po podzieleniu sze´sciok ˛

ata foremnego na 6 trójk ˛

atów równobocznych widzimy, ˙ze pro-

mie ´n okr˛egu opisanego na sze´sciok ˛

acie to długo´s´c boku takiego trójk ˛

ata, czyli połowa dłu-

go´sci najdłu ˙zszej przek ˛

atnej. Pole koła opisanego jest wi˛ec równe

π

·

3

2

=

9π.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

18

(1

PKT

)

Punkt S

= (

3, 7

)

jest ´srodkiem odcinka PQ, gdzie Q

= (−

13, 18

)

. Zatem punkt P ma współ-

rz˛edne
A) P

= (−

19, 4

)

B) P

= (

16,

11

)

C) P

= (−

7, 32

)

D) P

= (

19,

4

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystamy ze wzoru

S

=

a

+

c

2

,

b

+

d

2

.

na ´srodek odcinka o ko ´ncach P

= (

a, b

)

i Q

= (

c, d

)

. Mamy wi˛ec równanie

(

3, 7

) =

a

13

2

,

b

+

18

2

(

3

=

a

13

2

7

=

b

+

18

2

(

6

=

a

13

a

=

19

14

=

b

+

18

b

= −

4.

Zatem P

= (

19,

4

)

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

19

(1

PKT

)

Liczba m, dla której rozwi ˛

azaniem równania 3x

3

= (

1

m

)

x

+

x jest x

=

3 wynosi

A) 3

B) 2

C) 1

D) 0

R

OZWI ˛

AZANIE

Podstawiamy x

=

3 w danym równaniu

3

·

3

3

= (

1

m

) ·

3

+

3

3

=

3

(

1

m

)

/ : 3

1

=

1

m

m

=

0.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

20

(1

PKT

)

Która z podanych liczb nie mo˙ze by´c liczb ˛

a kraw˛edzi graniastosłupa?

A) 67035

B) 49629

C) 17022

D) 16919

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli naszkicujemy graniastosłup to wida´c, ˙ze je ˙zeli ma on w podstawie n-k ˛

at, to ma on 3n

kraw˛edzi.

Wystarczy zatem sprawdzi´c, która z danych liczb nie dzieli si˛e przez 3. Dodaj ˛

ac do siebie

cyfry, łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze jedyna liczba niepodzielna przez 3 to 16919.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

21

(1

PKT

)

Ci ˛

ag

(

log 36, log 6, k

)

jest arytmetyczny. Wobec tego

A) k

=

0

B) k

=

1

C) k

=

6

D) k

=

10

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Ró ˙znica danego ci ˛

agu jest równa

r

=

log 6

log 36

=

log

6

36

=

log

1
6

,

wi˛ec

k

=

log 6

+

r

=

log 6

+

log

1
6

=

log

6

·

1
6

=

log 1

=

0.

Sposób II

Je ˙zeli ci ˛

ag

(

a, b, c

)

jest arytmetyczny to

2b

=

a

+

c.

W naszej sytuacji otrzymujemy

2 log 6

=

log 36

+

k

log 36

=

log 36

+

k

k

=

0.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

22

(1

PKT

)

W ci ˛

agu geometrycznym pi ˛

aty wyraz jest równy

3

4

, a szósty wyraz jest równy

1

2

. Iloraz

tego ci ˛

agu jest równy

A)

3

2

B)

2

3

C)

3

2

D)

2

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Ze definicji ci ˛

agu geometrycznego (lub ze wzoru a

n

=

a

1

q

n

1

) mamy

a

6

=

a

1

q

5

=

a

5

q.

Zatem

q

=

a

6

a

5

=

1

2

3

4

= −

2
3

.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

23

(1

PKT

)

Wyniki sprawdzianu z geografii s ˛

a przedstawione na diagramie

liczba uc

zniów

ocena

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6

Ile osób uzyskało ocen˛e wy ˙zsz ˛

a od ´sredniej ocen z tego sprawdzianu?

A) 5

B) 8

C) 20

D) 13

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy ´sredni ˛

a

1

·

1

+

5

·

2

+

7

·

3

+

8

·

4

+

3

·

5

+

2

·

6

1

+

5

+

7

+

8

+

3

+

2

=

91
26

=

7
2

=

3, 5.

W takim razie ocen˛e powy ˙zej ´sredniej uzyskało

8

+

3

+

2

=

13

osób.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

24

(1

PKT

)

W graniastosłupie prawidłowym trójk ˛

atnym wszystkie kraw˛edzie s ˛

a tej samej długo´sci. Po-

le powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 108

+

18

3. Długo´s´c kraw˛edzi

tego graniastosłupa jest równa
A) 12

B) 10

C) 9

D) 6

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

a

a

a

a

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Graniastosłup trójk ˛

atny ma 9 kraw˛edzi – oznaczmy długo´s´c ka ˙zdej z nich przez a.

Kwadraty w ´scianach bocznych maj ˛

a pole a

2

, a trójk ˛

aty równoboczne w podstawach

maj ˛

a pole równe

a

2

3

4

.

Pole powierzchni całkowitej jest wi˛ec równe

3

·

a

2

+

2

·

a

2

3

4

=

a

2

2

(

6

+

3

)

.

Mamy zatem równanie

a

2

2

(

6

+

3

) =

108

+

18

3

=

18

(

6

+

3

)

a

2

2

=

18

a

2

=

36

a

=

6.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

25

(1

PKT

)

Liczba wszystkich sposobów utworzenia liczb trzycyfrowych o ró ˙znych cyfrach ze zbioru

{

0, 1, 2, 3, 4, 5

}

jest równa

A) 120

B) 100

C) 60

D) 60

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwsz ˛

a cyfr˛e tworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 5 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), drug ˛

a

cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c te ˙z na 5 sposobów (mo ˙ze by´c 0, ale musi by´c ró ˙zna od pierwszej
cyfry), a trzeci ˛

a cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c na 4 sposoby (musi by´c ró ˙zna od dwóch pierwszych).

W sumie jest wi˛ec

5

·

5

·

4

=

100

takich liczb.

Odpowied´z: B

Zadania otwarte

Z

ADANIE

26

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z równanie x

3

27

=

9x

2

27x.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Przekształcamy równanie (wyci ˛

agamy z obu stron

(

x

3

)

przed nawias).

x

3

27

=

9x

2

27x

x

3

3

3

=

9x

(

x

3

)

(

x

3

)(

x

2

+

3x

+

9

) =

9x

(

x

3

)

Zatem x

=

3 lub mo ˙zemy podzieli´c stronami przez

(

x

3

)

. Dzielimy

x

2

+

3x

+

9

=

9x

x

2

6x

+

9

=

0

(

x

3

)

2

=

0.

Sposób II

Je ˙zeli zapiszemy równanie w postaci

x

3

9x

2

+

27x

27

=

0

to mo ˙zemy zauwa ˙zy´c, ˙ze jest to pełen sze´scian ró ˙znicy

(

x

3

)

.

x

3

3

·

3

·

x

2

+

3

·

3

2

·

x

3

3

=

0

(

x

3

)

3

=

0.

Odpowied´z: x

=

3

Z

ADANIE

27

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z nierówno´s´c 42t

49t

2

> 9.

R

OZWI ˛

AZANIE

Przenosimy wszystkie składniki na praw ˛

a stron˛e.

0 > 49t

2

42t

+

9

=

42

2

4

·

9

·

49

=

1764

1764

=

0

x

1,2

= −

b

2a

=

42

2

·

49

=

3
7

.

Poniewa ˙z współczynnik przy t

2

jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛

a o ramio-

nach skierowanych w gór˛e.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

-1.25

+0.5

+1.25

x

-0.5

+0.5

+2.5

+5

y

Otrzymujemy st ˛

ad rozwi ˛

azanie nierówno´sci t

=

3

7

.

Odpowied´z: t

=

3

7

Z

ADANIE

28

(2

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i tg α

=

3. Oblicz

3 cos

3

α

4 sin

3

α

5 cos

3

α

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Poniewa ˙z mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos

3

α

.

3 cos

3

α

4 sin

3

α

5 cos

3

α

=

3

·

cos

3

α

cos

3

α

4

·

sin

3

α

cos

3

α

5

·

cos

3

α

cos

3

α

=

3

4 tg

3

α

5

=

3

108

5

=

3

103

.

Sposób II

Zauwa ˙zmy, ˙ze

3

=

tg α

=

sin α

cos α

sin α

=

3 cos α.

Zatem

3 cos

3

α

4 sin

3

α

5 cos

3

α

=

3 cos

3

α

4

·

27 cos

3

α

5 cos

3

α

=

3

108

5

=

3

103

.

Odpowied´z:

3

103

Z

ADANIE

29

(2

PKT

)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedno´sci jest o 4 mniejsza
od cyfry setek?

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Cyfr˛e dziesi ˛

atek tysi˛ecy utworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c

0), a cyfr˛e dziesi ˛

atek na 10 sposobów. Cyfr˛e setek musimy wybra´c ze zbioru

{

4, 5, 6, 7, 8, 9

}

( ˙zeby cyfra jedno´sci mogła by´c o 4 mniejsza), czyli na 6 sposobów. Je ˙zeli chodzi o cyfr˛e
jedno´sci, to nie mamy ju ˙z ˙zadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez
cyfr˛e setek. Jest wi˛ec (zasada mno ˙zenia)

9

·

10

·

6

=

540

takich liczb.

Odpowied´z: 540

Z

ADANIE

30

(2

PKT

)

Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej m

>

1 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywi-

sta x taka, ˙ze

mx

2

+

m

=

1

+

2x

q

m

(

m

1

)

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Je ˙zeli zapiszemy dane równanie w postaci

mx

2

2x

q

m

(

m

1

) + (

m

1

) =

0

to wida´c, ˙ze mamy do czynienia ze zwykłym równaniem kwadratowym. Liczymy

∆-˛e.

=

2

q

m

(

m

1

)

2

4m

(

m

1

) =

0.

To oznacza, ˙ze powy ˙zsze równanie kwadratowe ma zawsze jedno rozwi ˛

azanie.

Sposób II

Przekształcamy dane równanie w sposób równowa ˙zny.

mx

2

2x

q

m

(

m

1

) + (

m

1

) =

0

(

mx

)

2

2x

q

m

(

m

1

) +

q

(

m

1

)

2

=

0

mx

m

1

2

=

0

mx

m

1

=

0

x

=

m

1

m

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

31

(2

PKT

)

Bok EF kwadratu EFGH zawiera si˛e w przek ˛

atnej BD kwadratu ABCD, a punkt C jest

´srodkiem odcinka GH. Odcinki FG i BC przecinaj ˛

a si˛e w punkcie K. Wyka ˙z, ˙ze

|

BK

| = |

CK

|

.

A

B

D

C

E

F

G

H

K

R

OZWI ˛

AZANIE

Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛

aty CGK i KFB s ˛

a prostok ˛

atne i równoramienne (k ˛

aty ostre ka ˙zdego z

tych trójk ˛

atów maj ˛

a miar˛e 45

). Ponadto z zało ˙zenia

KG

=

CG

=

1
2

GH

=

1
2

GF.

Zatem

KF

=

GF

KG

=

GF

1
2

GF

=

1
2

GF

=

KG,

co oznacza, ˙ze trójk ˛

aty CGK i KFB s ˛

a przystaj ˛

ace. W szczególno´sci BK

=

CK.

Z

ADANIE

32

(4

PKT

)

Liczby

(

4, x, y

)

s ˛

a kolejnymi wyrazami ci ˛

agu arytmetycznego. Je´sli liczb˛e x zwi˛ekszymy o

1, a liczb˛e y zwi˛ekszymy o 3, to otrzymane liczby b˛ed ˛

a kolejnymi wyrazami ci ˛

agu geome-

trycznego. Wyznacz x i y.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Wiemy, ˙ze liczby

(

4, x, y

)

s ˛

a kolejnymi wyrazami ci ˛

agu arytmetycznego, wi˛ec x

=

4

+

r i y

=

4

+

2r dla pewnego r. Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛

ag

(

4, x

+

1, y

+

3

)

jest ci ˛

agiem geometrycznym,

wi˛ec

(

x

+

1

)

2

=

4

(

y

+

3

)

(

4

+

r

+

1

)

2

=

4

(

4

+

2r

+

3

)

(

5

+

r

)

2

=

4

(

2r

+

7

)

r

2

+

10r

+

25

=

8r

+

28

r

2

+

2r

3

=

0

=

4

+

12

=

16

=

4

2

r

=

2

4

2

= −

3

r

=

2

+

4

2

=

1.

Otrzymujemy st ˛

ad dwa ci ˛

agi:

(

4, 1,

2

)

i

(

4, 5, 6

)

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

18

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób II

Wiemy, ˙ze ci ˛

ag

(

4, x, y

)

jest arytmetyczny, wi˛ec

2x

=

4

+

y

y

=

2x

4.

Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛

ag

(

4, x

+

1, y

+

3

)

jest geometryczny, wi˛ec

(

x

+

1

)

2

=

4

(

y

+

3

)

(

x

+

1

)

2

=

4

(

2x

4

+

3

)

x

2

+

2x

+

1

=

8x

4

x

2

6x

+

5

=

0

=

36

20

=

4

2

x

=

6

4

2

=

1

x

=

6

+

4

2

=

5.

Mamy wtedy odpowiednio y

=

2x

4

= −

2 i y

=

2x

4

=

6.

Odpowied´z:

(

x, y

) = (

1,

2

)

lub

(

x, y

) = (

5, 6

)

Z

ADANIE

33

(5

PKT

)

Dwa miasta ł ˛

aczy droga o długo´sci 448 kilometrów. Samochód A przebył t˛e tras˛e w czasie o

40 minut krótszym ni ˙z samochód B. ´Srednia pr˛edko´s´c samochodu A na tej trasie była o 12
km/h wi˛eksza od ´sredniej pr˛edko´sci samochodu B. Oblicz ´sredni ˛

a pr˛edko´s´c ka ˙zdego z tych

samochodów na tej trasie.

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech t i v oznaczaj ˛

a odpowiednio czas przejazdu oraz pr˛edko´s´c samochodu A. Z zało ˙ze ´n

mamy

(

tv

=

448

(

v

12

)

t

+

2

3

=

448.

Podstawiamy t

=

448

v

z pierwszego równania do drugiego.

(

v

12

)

448

v

+

2
3

=

448

/

·

3v

2

(

v

12

)(

672

+

v

) =

672v

v

2

+

672v

12v

8064

=

672v

v

2

12v

8064

=

0

=

12

2

+

4

·

8064

=

32400

=

180

2

v

=

12

180

2

<

0

v

=

12

+

180

2

=

192

2

=

96.

Ujemne rozwi ˛

azanie odrzucamy i mamy v

=

96 km/h. Wtedy pr˛edko´s´c drugiego samocho-

du to

96

12

=

84 km/h

Odpowied´z: Samochód A: 96 km/h, samochód B: 84 km/h

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

19

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

34

(4

PKT

)

Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego trójk ˛

atnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 243, a

promie ´n okr˛egu wpisanego w podstaw˛e ABC tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens
k ˛

ata mi˛edzy wysoko´sci ˛

a tego ostrosłupa, a jego kraw˛edzi ˛

a boczn ˛

a.

A

B

C

S

R

OZWI ˛

AZANIE

Dorysujmy wysoko´s´c ´sciany bocznej.

A

B

C

S

α

D

E

H

a

a

Promie ´n r okr˛egu wpisanego w podstaw˛e to

1

3

wysoko´sci trójk ˛

ata w podstawie, wi˛ec

je ˙zeli przez a oznaczymy długo´s´c kraw˛edzi podstawy to mamy równanie

r

=

1
3

·

a

3

2

=

3

a

3

6

=

3

a

=

18

3

=

18

3

3

=

6

3.

Mo ˙zemy teraz wykorzysta´c informacj˛e o obj˛eto´sci ostrosłupa do obliczenia długo´sci jego
wysoko´sci

243

=

1
3

·

a

2

3

4

·

H

=

1
3

·

108

3

4

·

H

=

9

3H

H

=

243

9

3

=

27

3

=

9

3.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

20

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Pozostało teraz obliczy´c ˙z ˛

adany tangens.

tg α

=

AE

SE

=

2r

H

=

6

9

3

=

2

3

3

=

2

3

9

.

Odpowied´z:

2

3

9

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

21


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
2014 Matura 05 04 2014
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 25 02 2014 odp II
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014 odp
5Wykład 9 29 04 2014 POJĘCIA ZWIAZANE Z KOSZTORYSEM
2014 Matura 15 03 2014 odp
Lubelska Matura próbna Luty 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014

więcej podobnych podstron