www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
29
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Liczba
6
√
3
·
√
3 jest równa
A)
3
√
9
B)
6
√
27
C)
18
√
3
D)
9
√
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
6
√
3
·
√
3
=
3
1
6
·
3
1
2
=
3
1
6
+
1
2
=
3
4
6
=
3
2
3
=
3
√
3
2
=
3
√
9.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Ilustracj ˛
a graficzn ˛
a zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci x
2
> 16x jest przedział:
x
0
x
4
x
16
x
-4
A)
C)
B)
D)
16
0
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azujemy dan ˛
a nierówno´s´c
x
2
> 16x
x
2
−
16x > 0
x
(
x
−
16
)
> 0
x
∈ (−
∞, 0
i ∪ h
16,
+
∞
)
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Liczby a i b s ˛
a dodatnie oraz 14% liczby a jest równe 21% liczby b. St ˛
ad wynika, ˙ze a jest
równe
A) 103% liczby b
B) 125% liczby b
C) 150% liczby b
D) 153% liczby b
R
OZWI ˛
AZANIE
Wiemy, ˙ze
14%a
=
21%b
/ : 14%
a
=
21
14
b
=
3
2
b
=
150
100
b
=
150%b.
Odpowied´z: C
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Liczba log
3
h
log
64
(
log
√
3
9
)
i
jest równa
A)
1
2
B)
−
1
2
C) 1
D)
−
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
3
h
log
64
(
log
√
3
9
)
i
=
log
3
log
64
log
√
3
√
3
4
=
=
log
3
log
64
4
=
log
3
h
log
64
64
1
3
i
=
log
3
1
3
=
log
3
3
−
1
= −
1.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Funkcja f jest okre´slona wzorem f
(
x
) =
2x
1
−
x
dla x
6=
1. Warto´s´c funkcji f dla argumentu
x
=
2 jest równa
A) 2
B)
−
4
C) 4
D)
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
f
(
2
) =
4
1
−
2
= −
4.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Wykres funkcji liniowej f
(
x
) = (
1
−
m
)
x
+
m przechodzi przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu
współrz˛ednych wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m
∈ (−
∞, 0
)
B) m
∈ (−
∞, 1
)
C) m
∈ (
0,
+
∞
)
D) m
∈ (
0, 1
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy wykres funkcji liniowej przechodz ˛
acy przez I, III i IV ´cwiartk˛e układu współ-
rz˛ednych.
x
y
I
II
III
IV
Wida´c z obrazka, ˙ze je ˙zeli wykres nie ma przechodzi´c przez II ´cwiartk˛e układu, to musi
to by´c wykres funkcji rosn ˛
acej oraz musi on przecina´c o´s Oy poni ˙zej osi Ox. Musz ˛
a wi˛ec by´c
spełnione nierówno´sci
(
1
−
m
) >
0
⇒
m
<
1
m
<
0.
Zatem m
∈ (−
∞, 0
)
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Liczbami spełniaj ˛
acymi równanie
|
3
+
x
| =
8 s ˛
a
A) 11 i 5
B) 3 i 8
C)
−
11 i 5
D)
−
3 i 8
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształcamy dane równanie
|
3
+
x
| =
8
3
+
x
= −
8
lub
3
+
x
=
8
x
= −
11
lub
x
=
5.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y
=
f
(
x
)
.
x
y
1
2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-3
Najmniejsza warto´s´c funkcji f w przedziale
h−
1, 1
i
jest równa
A) 3
B) 1
C)
−
2
D)
−
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Z rysunku odczytujemy, ˙ze najmniejsza warto´s´c w przedziale
h−
1, 1
i
to
f
(−
1
) =
1.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Wierzchołek paraboli o równaniu y
= (
x
−
1
)
2
−
2c le ˙zy na prostej o równaniu y
=
6. Wtedy
A) c
= −
6
B) c
= −
3
C) c
=
3
D) c
=
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
ma współrz˛edne
(
x
w
, y
w
)
. Zatem w naszej sytuacji jest to punkt
(
1,
−
2c
)
.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=6
y=(x-1)
2
-2c
Z drugiej strony wiemy, ˙ze punkt ten ma drug ˛
a współrz˛edn ˛
a równ ˛
a 6. W takim razie
−
2c
=
6
⇒
c
= −
3.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f .
x
y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
-5
-4
Maksymalnym zbiorem, w którym funkcja f przyjmuje tylko warto´sci ujemne, jest
A)
(−
2, 2
)
B)
(−
2, 5
i
C)
(−
2, 2
) ∪ (
4, 5
i
D)
h−
4, 0
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres funkcji znajduje si˛e poni ˙zej osi Ox na zbiorze:
(−
2, 2
) ∪ (
4, 5
i
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
3
m
x
+
1 jest prostopadła do prostej o równaniu y
=
2
3
x
−
1. St ˛
ad
wynika, ˙ze
A) m
= −
2
B) m
=
2
3
C) m
=
3
2
D) m
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste y
=
ax
+
b i y
=
cx
+
d s ˛
a prostopadłe je ˙zeli ac
= −
1. Mamy zatem
3
m
·
2
3
= −
1
2
m
= −
1
m
= −
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Iloczyn wielomianów 2x
+
3 oraz
−
4x
2
+
6x
−
9 jest równy
A)
−
8x
3
+
27
B)
−
8x
3
−
27
C) 8x
3
+
27
D) 8x
3
−
27
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Liczymy
(
2x
+
3
)(−
4x
2
+
6x
−
9
) = −(
2x
+
3
)(
4x
2
−
6x
+
9
) =
= −(
8x
3
−
12x
2
+
18x
+
12x
2
−
18x
+
27
) =
= −(
8x
3
+
27
) = −
8x
3
−
27.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
)
na sum˛e sze´scianów. Mamy zatem
(
2x
+
3
)(−
4x
2
+
6x
−
9
) = −(
2x
+
3
)(
4x
2
−
6x
+
9
) =
= −((
2x
)
3
+
3
3
) = −
8x
3
−
27.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Liczby 3, x, 4x s ˛
a odpowiednio pierwszym, trzecim i pi ˛
atym wyrazem ci ˛
agu geometryczne-
go. Wtedy
A) x
= −
6
B) x
=
8
C) x
=
6
D) x
=
12
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech a
n
=
a
1
q
n
−
1
, n > 1 b˛edzie ci ˛
agiem geometrycznym, o którym mowa w tre´sci zadania.
Mamy zatem
a
1
=
3
a
3
=
a
1
q
2
=
x
a
5
=
a
1
q
4
=
4x.
Z dwóch ostatnich równo´sci mamy
4x
=
a
1
q
4
=
a
1
q
2
·
q
2
=
x
·
q
2
.
Zatem q
2
=
4 i z drugiej równo´sci mamy
x
=
a
1
q
2
=
3
·
4
=
12.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Pole rombu o boku równym 6 cm i k ˛
acie rozwartym wynosz ˛
acym 150
◦
wynosi
A) 18 cm
2
B) 9
√
3 cm
2
C) 18
√
3 cm
2
D) 24 cm
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Najpierw szkicowy rysunek.
A
B
C
D
6
6
30
o
h
150
o
K ˛
at ostry rombu ma miar˛e
180
◦
−
150
◦
=
30
◦
Sposób I
Obliczamy wysoko´s´c rombu
h
6
=
sin 30
◦
⇒
h
=
6
·
1
2
=
3.
Zatem pole rombu jest równe
P
=
6
·
3
=
18.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem
P
=
6
·
6
·
sin 30
◦
=
36
·
1
2
=
18.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
5
3
. Warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos
2
α
+
1 jest równa
A)
7
3
B)
4
3
C)
8
3
D)
4
√
5
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
mamy
3 cos
2
α
+
1
=
3
(
1
−
sin
2
α
) +
1
=
3
1
−
5
9
+
1
=
3
·
4
9
+
1
=
4
3
+
1
=
7
3
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 130
◦
(tak jak na rysunku).
α
A
B
D
M
C
S
130
o
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 65
◦
B) 100
◦
C) 115
◦
D) 130
◦
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Korzystamy z faktu, ˙ze k ˛
at ´srodkowy jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛
ata wpisanego opartego na
tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk ACD).
α
A
B
D
M
C
S
130
o
50
o
50
o
α
E
D
M
130
o
65
o
A
S
Zatem
]AMD
=
1
2
]ASD
=
1
2
· (
130
◦
+
50
◦
+
50
◦
) =
1
2
·
230
◦
=
115
◦
.
Sposób II
Je ˙zeli nie chcemy posługiwa´c si˛e k ˛
atami wkl˛esłymi to dorysujmy punkt E na na okr˛egu.
Wtedy
]AED
=
1
2
]ASD
=
1
2
·
130
◦
=
65
◦
.
Zatem
]AMD
=
180
◦
−
]AED
=
180
◦
−
65
◦
=
115
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Najdłu ˙zsza przek ˛
atna sze´sciok ˛
ata foremnego ma długo´s´c 6. Wówczas pole koła opisanego
na tym sze´sciok ˛
acie jest równe
A) 4π
B) 9π
C) 18π
D) 36π
R
OZWI ˛
AZANIE
Robimy szkicowy rysunek
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
3
3
3
3
3
Po podzieleniu sze´sciok ˛
ata foremnego na 6 trójk ˛
atów równobocznych widzimy, ˙ze pro-
mie ´n okr˛egu opisanego na sze´sciok ˛
acie to długo´s´c boku takiego trójk ˛
ata, czyli połowa dłu-
go´sci najdłu ˙zszej przek ˛
atnej. Pole koła opisanego jest wi˛ec równe
π
·
3
2
=
9π.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Punkt S
= (
3, 7
)
jest ´srodkiem odcinka PQ, gdzie Q
= (−
13, 18
)
. Zatem punkt P ma współ-
rz˛edne
A) P
= (−
19, 4
)
B) P
= (
16,
−
11
)
C) P
= (−
7, 32
)
D) P
= (
19,
−
4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru
S
=
a
+
c
2
,
b
+
d
2
.
na ´srodek odcinka o ko ´ncach P
= (
a, b
)
i Q
= (
c, d
)
. Mamy wi˛ec równanie
(
3, 7
) =
a
−
13
2
,
b
+
18
2
(
3
=
a
−
13
2
7
=
b
+
18
2
(
6
=
a
−
13
⇒
a
=
19
14
=
b
+
18
⇒
b
= −
4.
Zatem P
= (
19,
−
4
)
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Liczba m, dla której rozwi ˛
azaniem równania 3x
−
3
= (
1
−
m
)
x
+
x jest x
=
3 wynosi
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy x
=
3 w danym równaniu
3
·
3
−
3
= (
1
−
m
) ·
3
+
3
3
=
3
(
1
−
m
)
/ : 3
1
=
1
−
m
m
=
0.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Która z podanych liczb nie mo˙ze by´c liczb ˛
a kraw˛edzi graniastosłupa?
A) 67035
B) 49629
C) 17022
D) 16919
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy graniastosłup to wida´c, ˙ze je ˙zeli ma on w podstawie n-k ˛
at, to ma on 3n
kraw˛edzi.
Wystarczy zatem sprawdzi´c, która z danych liczb nie dzieli si˛e przez 3. Dodaj ˛
ac do siebie
cyfry, łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze jedyna liczba niepodzielna przez 3 to 16919.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Ci ˛
ag
(
log 36, log 6, k
)
jest arytmetyczny. Wobec tego
A) k
=
0
B) k
=
1
C) k
=
6
D) k
=
10
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Ró ˙znica danego ci ˛
agu jest równa
r
=
log 6
−
log 36
=
log
6
36
=
log
1
6
,
wi˛ec
k
=
log 6
+
r
=
log 6
+
log
1
6
=
log
6
·
1
6
=
log 1
=
0.
Sposób II
Je ˙zeli ci ˛
ag
(
a, b, c
)
jest arytmetyczny to
2b
=
a
+
c.
W naszej sytuacji otrzymujemy
2 log 6
=
log 36
+
k
log 36
=
log 36
+
k
⇒
k
=
0.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
W ci ˛
agu geometrycznym pi ˛
aty wyraz jest równy
3
4
, a szósty wyraz jest równy
−
1
2
. Iloraz
tego ci ˛
agu jest równy
A)
3
2
B)
2
3
C)
−
3
2
D)
−
2
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze definicji ci ˛
agu geometrycznego (lub ze wzoru a
n
=
a
1
q
n
−
1
) mamy
a
6
=
a
1
q
5
=
a
5
q.
Zatem
q
=
a
6
a
5
=
−
1
2
3
4
= −
2
3
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Wyniki sprawdzianu z geografii s ˛
a przedstawione na diagramie
liczba uc
zniów
ocena
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6
Ile osób uzyskało ocen˛e wy ˙zsz ˛
a od ´sredniej ocen z tego sprawdzianu?
A) 5
B) 8
C) 20
D) 13
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy ´sredni ˛
a
1
·
1
+
5
·
2
+
7
·
3
+
8
·
4
+
3
·
5
+
2
·
6
1
+
5
+
7
+
8
+
3
+
2
=
91
26
=
7
2
=
3, 5.
W takim razie ocen˛e powy ˙zej ´sredniej uzyskało
8
+
3
+
2
=
13
osób.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
W graniastosłupie prawidłowym trójk ˛
atnym wszystkie kraw˛edzie s ˛
a tej samej długo´sci. Po-
le powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 108
+
18
√
3. Długo´s´c kraw˛edzi
tego graniastosłupa jest równa
A) 12
B) 10
C) 9
D) 6
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
a
a
a
a
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Graniastosłup trójk ˛
atny ma 9 kraw˛edzi – oznaczmy długo´s´c ka ˙zdej z nich przez a.
Kwadraty w ´scianach bocznych maj ˛
a pole a
2
, a trójk ˛
aty równoboczne w podstawach
maj ˛
a pole równe
a
2
√
3
4
.
Pole powierzchni całkowitej jest wi˛ec równe
3
·
a
2
+
2
·
a
2
√
3
4
=
a
2
2
(
6
+
√
3
)
.
Mamy zatem równanie
a
2
2
(
6
+
√
3
) =
108
+
18
√
3
=
18
(
6
+
√
3
)
a
2
2
=
18
a
2
=
36
a
=
6.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
25
(1
PKT
)
Liczba wszystkich sposobów utworzenia liczb trzycyfrowych o ró ˙znych cyfrach ze zbioru
{
0, 1, 2, 3, 4, 5
}
jest równa
A) 120
B) 100
C) 60
D) 60
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwsz ˛
a cyfr˛e tworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 5 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), drug ˛
a
cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c te ˙z na 5 sposobów (mo ˙ze by´c 0, ale musi by´c ró ˙zna od pierwszej
cyfry), a trzeci ˛
a cyfr˛e mo ˙zemy wybra´c na 4 sposoby (musi by´c ró ˙zna od dwóch pierwszych).
W sumie jest wi˛ec
5
·
5
·
4
=
100
takich liczb.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
−
27
=
9x
2
−
27x.
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przekształcamy równanie (wyci ˛
agamy z obu stron
(
x
−
3
)
przed nawias).
x
3
−
27
=
9x
2
−
27x
x
3
−
3
3
=
9x
(
x
−
3
)
(
x
−
3
)(
x
2
+
3x
+
9
) =
9x
(
x
−
3
)
Zatem x
=
3 lub mo ˙zemy podzieli´c stronami przez
(
x
−
3
)
. Dzielimy
x
2
+
3x
+
9
=
9x
x
2
−
6x
+
9
=
0
(
x
−
3
)
2
=
0.
Sposób II
Je ˙zeli zapiszemy równanie w postaci
x
3
−
9x
2
+
27x
−
27
=
0
to mo ˙zemy zauwa ˙zy´c, ˙ze jest to pełen sze´scian ró ˙znicy
(
x
−
3
)
.
x
3
−
3
·
3
·
x
2
+
3
·
3
2
·
x
−
3
3
=
0
(
x
−
3
)
3
=
0.
Odpowied´z: x
=
3
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 42t
−
49t
2
> 9.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przenosimy wszystkie składniki na praw ˛
a stron˛e.
0 > 49t
2
−
42t
+
9
∆
=
42
2
−
4
·
9
·
49
=
1764
−
1764
=
0
x
1,2
= −
b
2a
=
42
2
·
49
=
3
7
.
Poniewa ˙z współczynnik przy t
2
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛
a o ramio-
nach skierowanych w gór˛e.
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-1.25
+0.5
+1.25
x
-0.5
+0.5
+2.5
+5
y
Otrzymujemy st ˛
ad rozwi ˛
azanie nierówno´sci t
=
3
7
.
Odpowied´z: t
=
3
7
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i tg α
=
3. Oblicz
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Poniewa ˙z mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos
3
α
.
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
=
3
·
cos
3
α
cos
3
α
4
·
sin
3
α
cos
3
α
−
5
·
cos
3
α
cos
3
α
=
3
4 tg
3
α
−
5
=
3
108
−
5
=
3
103
.
Sposób II
Zauwa ˙zmy, ˙ze
3
=
tg α
=
sin α
cos α
⇒
sin α
=
3 cos α.
Zatem
3 cos
3
α
4 sin
3
α
−
5 cos
3
α
=
3 cos
3
α
4
·
27 cos
3
α
−
5 cos
3
α
=
3
108
−
5
=
3
103
.
Odpowied´z:
3
103
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedno´sci jest o 4 mniejsza
od cyfry setek?
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Cyfr˛e dziesi ˛
atek tysi˛ecy utworzonej liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c
0), a cyfr˛e dziesi ˛
atek na 10 sposobów. Cyfr˛e setek musimy wybra´c ze zbioru
{
4, 5, 6, 7, 8, 9
}
( ˙zeby cyfra jedno´sci mogła by´c o 4 mniejsza), czyli na 6 sposobów. Je ˙zeli chodzi o cyfr˛e
jedno´sci, to nie mamy ju ˙z ˙zadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez
cyfr˛e setek. Jest wi˛ec (zasada mno ˙zenia)
9
·
10
·
6
=
540
takich liczb.
Odpowied´z: 540
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej m
>
1 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywi-
sta x taka, ˙ze
mx
2
+
m
=
1
+
2x
q
m
(
m
−
1
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli zapiszemy dane równanie w postaci
mx
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) + (
m
−
1
) =
0
to wida´c, ˙ze mamy do czynienia ze zwykłym równaniem kwadratowym. Liczymy
∆-˛e.
∆
=
2
q
m
(
m
−
1
)
2
−
4m
(
m
−
1
) =
0.
To oznacza, ˙ze powy ˙zsze równanie kwadratowe ma zawsze jedno rozwi ˛
azanie.
Sposób II
Przekształcamy dane równanie w sposób równowa ˙zny.
mx
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) + (
m
−
1
) =
0
(
√
mx
)
2
−
2x
q
m
(
m
−
1
) +
q
(
m
−
1
)
2
=
0
√
mx
−
√
m
−
1
2
=
0
√
mx
−
√
m
−
1
=
0
x
=
√
m
−
1
√
m
.
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(2
PKT
)
Bok EF kwadratu EFGH zawiera si˛e w przek ˛
atnej BD kwadratu ABCD, a punkt C jest
´srodkiem odcinka GH. Odcinki FG i BC przecinaj ˛
a si˛e w punkcie K. Wyka ˙z, ˙ze
|
BK
| = |
CK
|
.
A
B
D
C
E
F
G
H
K
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty CGK i KFB s ˛
a prostok ˛
atne i równoramienne (k ˛
aty ostre ka ˙zdego z
tych trójk ˛
atów maj ˛
a miar˛e 45
◦
). Ponadto z zało ˙zenia
KG
=
CG
=
1
2
GH
=
1
2
GF.
Zatem
KF
=
GF
−
KG
=
GF
−
1
2
GF
=
1
2
GF
=
KG,
co oznacza, ˙ze trójk ˛
aty CGK i KFB s ˛
a przystaj ˛
ace. W szczególno´sci BK
=
CK.
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
Liczby
(
4, x, y
)
s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego. Je´sli liczb˛e x zwi˛ekszymy o
1, a liczb˛e y zwi˛ekszymy o 3, to otrzymane liczby b˛ed ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu geome-
trycznego. Wyznacz x i y.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Wiemy, ˙ze liczby
(
4, x, y
)
s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego, wi˛ec x
=
4
+
r i y
=
4
+
2r dla pewnego r. Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x
+
1, y
+
3
)
jest ci ˛
agiem geometrycznym,
wi˛ec
(
x
+
1
)
2
=
4
(
y
+
3
)
(
4
+
r
+
1
)
2
=
4
(
4
+
2r
+
3
)
(
5
+
r
)
2
=
4
(
2r
+
7
)
r
2
+
10r
+
25
=
8r
+
28
r
2
+
2r
−
3
=
0
∆
=
4
+
12
=
16
=
4
2
r
=
−
2
−
4
2
= −
3
∨
r
=
−
2
+
4
2
=
1.
Otrzymujemy st ˛
ad dwa ci ˛
agi:
(
4, 1,
−
2
)
i
(
4, 5, 6
)
.
Materiał pobrany z serwisu
18
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Wiemy, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x, y
)
jest arytmetyczny, wi˛ec
2x
=
4
+
y
⇒
y
=
2x
−
4.
Wiemy ponadto, ˙ze ci ˛
ag
(
4, x
+
1, y
+
3
)
jest geometryczny, wi˛ec
(
x
+
1
)
2
=
4
(
y
+
3
)
(
x
+
1
)
2
=
4
(
2x
−
4
+
3
)
x
2
+
2x
+
1
=
8x
−
4
x
2
−
6x
+
5
=
0
∆
=
36
−
20
=
4
2
x
=
6
−
4
2
=
1
∨
x
=
6
+
4
2
=
5.
Mamy wtedy odpowiednio y
=
2x
−
4
= −
2 i y
=
2x
−
4
=
6.
Odpowied´z:
(
x, y
) = (
1,
−
2
)
lub
(
x, y
) = (
5, 6
)
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Dwa miasta ł ˛
aczy droga o długo´sci 448 kilometrów. Samochód A przebył t˛e tras˛e w czasie o
40 minut krótszym ni ˙z samochód B. ´Srednia pr˛edko´s´c samochodu A na tej trasie była o 12
km/h wi˛eksza od ´sredniej pr˛edko´sci samochodu B. Oblicz ´sredni ˛
a pr˛edko´s´c ka ˙zdego z tych
samochodów na tej trasie.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech t i v oznaczaj ˛
a odpowiednio czas przejazdu oraz pr˛edko´s´c samochodu A. Z zało ˙ze ´n
mamy
(
tv
=
448
(
v
−
12
)
t
+
2
3
=
448.
Podstawiamy t
=
448
v
z pierwszego równania do drugiego.
(
v
−
12
)
448
v
+
2
3
=
448
/
·
3v
2
(
v
−
12
)(
672
+
v
) =
672v
v
2
+
672v
−
12v
−
8064
=
672v
v
2
−
12v
−
8064
=
0
∆
=
12
2
+
4
·
8064
=
32400
=
180
2
v
=
12
−
180
2
<
0
∨
v
=
12
+
180
2
=
192
2
=
96.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy v
=
96 km/h. Wtedy pr˛edko´s´c drugiego samocho-
du to
96
−
12
=
84 km/h
Odpowied´z: Samochód A: 96 km/h, samochód B: 84 km/h
Materiał pobrany z serwisu
19
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
34
(4
PKT
)
Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 243, a
promie ´n okr˛egu wpisanego w podstaw˛e ABC tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens
k ˛
ata mi˛edzy wysoko´sci ˛
a tego ostrosłupa, a jego kraw˛edzi ˛
a boczn ˛
a.
A
B
C
S
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy wysoko´s´c ´sciany bocznej.
A
B
C
S
α
D
E
H
a
a
Promie ´n r okr˛egu wpisanego w podstaw˛e to
1
3
wysoko´sci trójk ˛
ata w podstawie, wi˛ec
je ˙zeli przez a oznaczymy długo´s´c kraw˛edzi podstawy to mamy równanie
r
=
1
3
·
a
√
3
2
=
3
a
√
3
6
=
3
⇒
a
=
18
√
3
=
18
√
3
3
=
6
√
3.
Mo ˙zemy teraz wykorzysta´c informacj˛e o obj˛eto´sci ostrosłupa do obliczenia długo´sci jego
wysoko´sci
243
=
1
3
·
a
2
√
3
4
·
H
=
1
3
·
108
√
3
4
·
H
=
9
√
3H
H
=
243
9
√
3
=
27
√
3
=
9
√
3.
Materiał pobrany z serwisu
20
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Pozostało teraz obliczy´c ˙z ˛
adany tangens.
tg α
=
AE
SE
=
2r
H
=
6
9
√
3
=
2
3
√
3
=
2
√
3
9
.
Odpowied´z:
2
√
3
9
Materiał pobrany z serwisu
21
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
2014 Matura 05 04 2014
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 25 02 2014 odp II
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014 odp
5Wykład 9 29 04 2014 POJĘCIA ZWIAZANE Z KOSZTORYSEM
2014 Matura 15 03 2014 odp
Lubelska Matura próbna Luty 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014
więcej podobnych podstron