www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
22
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Dwadzie´scia dziewcz ˛
at stanowi 62,5% uczniów klasy IB. Ilu chłopców jest w tej klasie?
A) 12
B) 6
C) 32
D) 9
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli przez n oznaczymy liczb˛e chłopców, to mamy równanie
62, 5%
· (
20
+
x
) =
20
/ : 0, 625
20
+
x
=
32
⇒
x
=
12.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Wszystkie liczby spełniaj ˛
ace warunek x
−
1
<
2x 6 3x
+
3 mo ˙zna zapisa´c za pomoc ˛
a prze-
działu:
A)
(−
1,
+
∞
)
B)
(−
∞,
−
3
i
C)
h−
3,
−
1
)
D)
h−
3,
+
∞
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Musimy rozwi ˛
aza´c dwie nierówno´sci
x
−
1
<
2x
i
2x 6 3x
+
3
−
1
<
x
i
−
3 6 x.
Zatem x
∈ (−
1,
+
∞
)
.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Liczba log
3,5
12, 25
−
log
0,5
8 jest równa
A) 5
B)
−
1
C)
−
1
2
D) 1
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
3,5
12, 25
−
log
0,5
8
=
log
7
2
49
4
−
log
1
2
8
=
=
log
7
2
7
2
2
−
log
1
2
1
2
−
3
=
2
− (−
3
) =
5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Rozwi ˛
azaniem układu równa ´n
(
5x
+
3y
=
0
2y
+
x
=
14
jest para
(
x, y
)
liczb takich, ˙ze
A) x
<
0 i y
<
0
B) x
<
0 i y
>
0
C) x
>
0 i y
<
0
D) x
>
0 i y
>
0
R
OZWI ˛
AZANIE
Odejmuj ˛
ac do pierwszego równania drugie pomno ˙zone przez 5 ( ˙zeby skróci´c x) mamy
5x
+
3y
−
10y
−
5x
=
0
−
70
⇐⇒
−
7y
= −
70
⇐⇒
y
=
10.
Zatem z drugiego równania mamy
x
=
14
−
2y
= −
6.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Wska ˙z zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
p
(−
5
−
x
)
2
6 3.
A) x
∈ h−
8, 2
i
B) x
∈ h−
2, 8
i
C) x
∈ h
2, 8
i
D) x
∈ h−
8,
−
2
i
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapisujemy nierówno´s´c w postaci nierówno´sci z warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a
| −
5
−
x
|
6 3
|
x
+
5
|
6 3
|
x
− (−
5
)|
6 3.
Rozwi ˛
azaniem tej nierówno´sci jest zbiór liczb, które s ˛
a odległe od
−
5 o nie wi˛ecej ni ˙z 3, czyli
przedział
h−
5
−
3,
−
5
+
3
i = h−
8,
−
2
i
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Wierzchołek paraboli o równaniu y
= (
x
−
1
)
2
+
2c le ˙zy na prostej o równaniu y
=
4x.
Wtedy
A) c
=
1
2
B) c
= −
1
2
C) c
= −
2
D) c
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
ma współrz˛edne
(
x
w
, y
w
)
. Zatem w naszej sytuacji jest to punkt
(
1, 2c
)
.
-5
-1
+3
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=4x
y=(x-1)
2
+2c
Z drugiej strony wiemy, ˙ze punkt ten le ˙zy na prostej y
=
4x. W takim razie
2c
=
4
⇒
c
=
2.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
2
3
. Warto´s´c wyra ˙zenia 1
−
tg α
·
cos α jest równa
A)
4
9
B)
2
3
C)
1
3
D)
11
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Poniewa ˙z
tg α
=
sin α
cos α
,
mamy
1
−
tg α
·
cos α
=
1
−
sin α
cos α
·
cos α
=
1
−
sin α
=
1
−
2
3
=
1
3
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Wyra ˙zenie 4x
2
− (
x
−
y
)
2
po rozło ˙zeniu na czynniki przyjmuje posta´c:
A)
(
x
+
y
)(
3x
+
y
)
B)
(
x
−
y
)(
3x
+
y
)
C)
(
3x
−
y
)(
x
−
y
)
D)
(
3x
−
y
)(
x
+
y
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia na ró ˙znic˛e kwadratów).
4x
2
− (
x
−
y
)
2
= (
2x
)
2
− (
x
−
y
)
2
=
= (
2x
+ (
x
−
y
))(
2x
− (
x
−
y
)) = (
3x
−
y
)(
x
+
y
)
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Liczba
√
40
−
√
10
√
5
jest równa
A)
√
2
B) 2
√
2
C) 4
D)
√
20
−
√
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
√
40
−
√
10
√
5
=
√
40
√
5
−
√
10
√
5
=
r
40
5
−
r
10
5
=
=
√
8
−
√
2
=
2
√
2
−
√
2
=
√
2.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Liczba
1
2
+
log
5
√
20 jest równa:
A) log
5
5
√
20
B) log
5
√
5
C)
1
4
D) log
5
10
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (korzystamy ze wzoru na sum˛e logarytmów)
1
2
+
log
5
√
20
=
log
5
5
1
2
+
log
5
√
20
=
log
5
√
5
·
√
20
=
log
5
10.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y
=
f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
5, 6
i
.
0
1
2
3
4
5
y
x
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
5
y
x
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
A) y
=
f
(
x
+
2
)
B) y
=
f
(
x
) −
2
C) y
=
f
(
x
−
2
)
D) y
=
f
(
x
) +
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres na drugim rysunku jest przesuni˛ety wzgl˛edem wykresu na pierwszym rysunku o
dwie jednostki w lewo. Jest to wi˛ec wykres funkcji y
=
f
(
x
+
2
)
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Z prostok ˛
ata ABCD o polu 30 wyci˛eto trójk ˛
at AOD (tak jak na rysunku). Pole zacieniowanej
figury jest równe
A
B
D
C
O
A) 7,5
B) 15
C) 20
D) 25
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech OE b˛edzie wysoko´sci ˛
a wyci˛etego trójk ˛
ata opuszczon ˛
a z wierzchołka O.
A
B
D
C
O
E
Pole wyci˛etego trójk ˛
ata jest wi˛ec równe
P
AOD
=
1
2
·
AD
·
OE
=
1
2
AD
·
AB
=
1
2
P
ABCD
=
15.
Zatem zacieniowana cz˛e´s´c ma pole równe
30
−
15
=
15.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Ci ˛
ag
(
147, 42, x
−
3
)
jest geometryczny. Wtedy
A) x
=
15
B) x
=
12
C) x
=
9
D) x
=
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Iloraz danego ci ˛
agu jest równy
q
=
a
2
a
1
=
42
147
=
6
21
=
2
7
.
Zatem
x
−
3
=
a
3
=
a
2
q
=
42
·
2
7
=
12.
St ˛
ad x
=
12
+
3
=
15.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Ci ˛
agiem arytmetycznym jest ci ˛
ag o wyrazie ogólnym a
n
równym:
A) a
n
=
4
n
B) a
n
=
2
n
C) a
n
= −
3n
−
3
D) a
n
=
3
+
n
2
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
W´sród podanych ci ˛
agów, tylko ci ˛
ag
a
n
= −
3n
−
3
= −
6
−
3
(
n
−
1
)
jest ci ˛
agiem arytmetycznym (z a
1
= −
6 i r
= −
3).
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
Liczba rzeczywistych rozwi ˛
aza ´n równania
(
x
+
1
)(
x
+
2
)(
x
2
−
3
) =
0 jest równa
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
R
OZWI ˛
AZANIE
Poniewa ˙z x
2
−
3
= (
x
−
√
3
)(
x
+
√
3
)
równanie ma cztery rozwi ˛
azania:
x
∈ {−
2,
−
1,
−
√
3,
√
3
}
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
Punkt O jest ´srodkiem okr˛egu o ´srednicy AB (tak jak na rysunku). K ˛
at α ma miar˛e
A
B
C
O
120
o
α
A) 40
◦
B) 50
◦
C) 60
◦
D) 80
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
at BOC jest równoramienny, wi˛ec
α
=
]OCB
=
]OBC
=
180
◦
−
]BOC
2
=
120
◦
2
=
60
◦
.
Sposób II
Korzystaj ˛
ac z twierdzenia o k ˛
atach wpisanym i ´srodkowym, mamy
α
=
]OCB
=
]OBC
=
1
2
]AOC
=
60
◦
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Który wyraz ci ˛
agu
(
a
n
)
o wyrazie ogólnym a
n
=
3n
2
−
5
1
−
2n
2
jest równy
−
10
7
?
A) pi ˛
aty
B) dwudziesty pi ˛
aty
C) siódmy
D) dziewi ˛
aty
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
3n
2
−
5
1
−
2n
2
= −
10
7
/
·
7
(
1
−
2n
2
)
21n
2
−
35
= −
10
+
20n
2
n
2
=
25
⇒
n
=
5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Poni ˙zej zamieszczono fragment tabeli warto´sci funkcji liniowej
x
1
2
4
f
(
x
)
4
1
W pustym miejscu w tabeli powinna znajdowa´c si˛e liczba:
A)
−
5
B) 5
C)
−
2
D) 2
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli f
(
x
) =
ax
+
b to wiemy, ˙ze
(
4
=
a
+
b
1
=
2a
+
b.
Odejmuj ˛
ac od drugiego równania pierwsze mamy a
= −
3. St ˛
ad b
=
4
−
a
=
7 i f
(
x
) =
−
3x
+
7. Zatem
f
(
4
) = −
12
+
7
= −
5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Dany jest trójk ˛
at o wierzchołkach A
= (
4,
−
3
)
, B
= (
4, 1
)
, C
= (−
6,
−
2
)
. Długo´s´c ´srodkowej
poprowadzonej z wierzchołka C jest równa
A)
√
101
B)
√
102
C) 10
D)
√
10
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku
x
4
y
6
3
0
-2
-3
A
-4
B
C
S
Liczymy współrz˛edne ´srodka odcinka AB
S
=
4
+
4
2
,
−
3
+
1
2
= (
4,
−
1
)
.
Obliczamy długo´s´c odcinka CS
|
CS
| =
q
(
4
+
6
)
2
+ (−
1
+
2
)
2
=
√
101.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Prostok ˛
at o bokach 3 i 5 obracaj ˛
ac si˛e dookoła prostej zawieraj ˛
acej dłu ˙zszy bok wyznacza
brył˛e o obj˛eto´sci równej
A) 45π
B) 15π
C) 180π
D) 90π
R
OZWI ˛
AZANIE
Z obrazka wida´c, ˙ze w wyniku opisanej operacji otrzymamy walec o promieniu podstawy
r
=
3 i wysoko´sci H
=
5.
3
5
3
Zatem obj˛eto´s´c jest równa
V
=
πr
2
·
H
=
9π
·
5
=
45π.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
´Srednia arytmetyczna zestawu danych: 2, 3, x, 9, 4, 5, 1, 5 wynosi 4,5. Wynika z tego, ˙ze:
A) x
=
6
B) x
=
3
C) x
=
7
D) x
=
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
2
+
3
+
x
+
9
+
4
+
5
+
1
+
5
8
=
4, 5
/
·
8
29
+
x
=
36
x
=
7.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze w rzucie dwiema symetrycznymi kostkami do gry otrzy-
mamy iloczyn oczek równy 4, wynosi
A)
1
4
B)
1
9
C)
1
12
D)
1
18
R
OZWI ˛
AZANIE
Wyniki rzutów b˛edziemy zapisywa´c jako pary
(
k, n
)
, gdzie k jest wynikiem na pierwszej
kostce, a n wynikiem na drugiej. Najpierw obliczamy ile jest zdarze ´n elementarnych
|
Ω
| =
6
·
6
=
36.
Wypiszmy zdarzenia sprzyjaj ˛
ace
(
1, 4
)
,
(
2, 2
)
,
(
4, 1
)
.
Zatem prawdopodobie ´nstwo wynosi
3
36
=
1
12
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i cos α
=
√
3
3
. Wtedy warto´s´c wyra ˙zenia 2
−
sin
2
α
jest równa
A) 0
B)
2
3
C)
4
3
D) 1
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
mamy
2
−
sin
2
α
=
2
− (
1
−
cos
2
α
) =
1
+
cos
2
α
=
1
+
1
3
=
4
3
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
Równania 9
−
5y
=
0 i 3x
+
7
=
0 opisuj ˛
a proste w układzie współrz˛ednych, które
A) s ˛
a prostopadłe
B) s ˛
a równoległe
C) przecinaj ˛
a si˛e pod k ˛
atem 60
◦
D) przecinaj ˛
a si˛e pod k ˛
atem 45
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwsza prosta to pozioma prosta y
=
9
5
, a druga to pionowa prosta x
= −
7
3
.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Proste te s ˛
a wi˛ec prostopadłe.
Odpowied´z: A
Zadania otwarte
Z
ADANIE
25
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie 6x
3
−
8x
2
−
9x
+
12
=
0.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Gdy si˛e przyjrzymy równaniu to mo ˙zna zauwa ˙zy´c, ˙ze mo ˙zemy łatwo wył ˛
aczy´c
(
3x
−
4
)
przed nawias.
6x
3
−
8x
2
−
9x
+
12
=
0
2x
2
(
3x
−
4
) −
3
(
3x
−
4
) =
0
(
2x
2
−
3
)(
3x
−
4
) =
0
6
x
−
r
3
2
!
x
+
r
3
2
!
x
−
4
3
=
0.
Zatem x
∈
n
−
√
6
2
,
√
6
2
,
4
3
o
.
Odpowied´z: x
∈
n
−
√
6
2
,
√
6
2
,
4
3
o
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia 2 sin
2
α
+
1
−
tg
2
α
1
+
tg
2
α
, gdzie α jest k ˛
atem ostrym.
R
OZWI ˛
AZANIE
Skorzystamy z definicji tangensa
tg α
=
sin α
cos α
i jedynki trygonometrycznej
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1.
Liczymy
2 sin
2
α
+
1
−
tg
2
α
1
+
tg
2
α
=
2 sin
2
α
+
1
−
sin
2
α
cos
2
α
1
+
sin
2
α
cos
2
α
=
=
2 sin
2
α
+
cos
2
α
−
sin
2
α
cos
2
α
+
sin
2
α
=
2 sin
2
α
+
cos
2
α
−
sin
2
α
=
=
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1.
Odpowied´z: 1
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Punkt S jest ´srodkiem okr˛egu opisanego na trójk ˛
acie rozwartok ˛
atnym ABC. K ˛
at CAB jest
dwa razy wi˛ekszy od k ˛
ata BAS, a k ˛
at CBA jest o 10
◦
wi˛ekszy od k ˛
ata BAS. Oblicz k ˛
aty
trójk ˛
ata ABC.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
C
S
R
OZWI ˛
AZANIE
Oznaczmy α
=
]BAS.
α
A
B
C
S
α
2α
3α
180
o
-6α
90
o
-3α
90
o
-2α
Trójk ˛
aty ABS, BSC i ASC s ˛
a równoramienne, wi˛ec z podanych informacji mamy
]ABS
=
]BAS
=
α
]CAB
=
2α
]ACS
=
]CAS
=
3α.
Suma k ˛
atów trójk ˛
ata ASC jest równa 180
◦
, wi˛ec
]ASC
=
180
◦
−
6α.
Teraz korzystamy z własno´sci k ˛
atów wpisanych i ´srodkowych opisanych na tym samym
łuku.
]ABC
=
1
2
]ASC
=
90
◦
−
3α.
Trójk ˛
at CSB jest równoramienny, wi˛ec
]SCB
=
]SBC
=
90
◦
−
2α.
Z drugiej strony wiemy, ˙ze ]CBA
=
α
+
10
◦
. Mamy zatem
90
◦
−
3α
=
α
+
10
◦
80
◦
=
4α
⇒
α
=
20
◦
.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W takim razie k ˛
aty trójk ˛
ata ABC maj ˛
a miary
]A
=
2α
=
40
◦
]B
=
90
◦
−
3α
=
30
◦
]C
=
90
◦
+
α
=
110
◦
.
Odpowied´z: 40
◦
, 30
◦
, 110
◦
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
W tabeli przedstawiono oceny ze sprawdzianu z matematyki w klasie 1B.
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba ocen
3
3
6
x
4
2
´Srednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,48. Oblicz liczb˛e x ocen dobrych (4) otrzyma-
nych przez uczniów na tym sprawdzianie.
R
OZWI ˛
AZANIE
Wszystkich ocen jest 3
+
3
+
6
+
x
+
4
+
2
=
x
+
18, wi˛ec z podanej ´sredniej mamy równanie
1
·
3
+
2
·
3
+
3
·
6
+
4
·
x
+
5
·
4
+
6
·
2
x
+
18
=
3, 48
/
· (
x
+
18
)
3
+
6
+
18
+
4x
+
20
+
12
=
3, 48x
+
62, 64
0, 52x
=
3, 64
⇒
x
=
3, 64
0, 52
=
7.
Odpowied´z: x
=
7
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze 7
16
−
1 jest liczb ˛
a podzieln ˛
a przez 2
7
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru a
2
−
b
2
= (
a
−
b
)(
a
+
b
)
7
16
−
1
= (
7
8
−
1
)(
7
8
+
1
) = (
7
4
−
1
)(
7
4
+
1
)(
7
8
+
1
) =
= (
7
2
−
1
)(
7
2
+
1
)(
7
4
+
1
)(
7
8
+
1
) =
=
48
(
7
2
+
1
)(
7
4
+
1
)(
7
8
+
1
)
.
Zauwa ˙zmy teraz, ˙ze 48 dzieli si˛e przez 2
4
=
16, a liczby w pozostałych nawiasach to liczby
parzyste. Zatem 7
16
−
1 jest liczb ˛
a podzieln ˛
a przez
2
4
·
2
·
2
·
2
=
2
7
.
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a
>
1, to
a
4
+
a
2
+
1
2
>
a
3
−
1
a
2
−
1
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształcamy równowa ˙znie dan ˛
a nierówno´s´c
a
4
+
a
2
+
1
2
>
a
3
−
1
a
2
−
1
/
·
2
(
a
2
−
1
)
(
a
4
+
a
2
+
1
)(
a
2
−
1
)
> 2a
3
−
2
a
6
+
a
4
+
a
2
−
a
4
−
a
2
−
1 > 2a
3
−
2
a
6
−
2a
3
+
1 > 0
(
a
3
−
1
)
2
> 0.
Otrzymana nierówno´s´c jest oczywi´scie spełniona, a przekształcali´smy przy pomocy równo-
wa ˙zno´sci, wi˛ec wyj´sciowa nierówno´s´c równie ˙z musi by´c prawdziwa.
Z
ADANIE
31
(4
PKT
)
Podstaw ˛
a graniastosłupa ABCDEFGH jest prostok ˛
at ABCD (zobacz rysunek), którego dłu ˙z-
szy bok ma długo´s´c 6. Przek ˛
atna prostok ˛
ata ABCD tworzy z jego krótszym bokiem k ˛
at 60
◦
.
Przek ˛
atna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzn ˛
a jego podstawy k ˛
at 45
◦
stopni. Oblicz
obj˛eto´s´c tego graniastosłupa.
A
B
C
D
E
F
G
H
R
OZWI ˛
AZANIE
Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku podanych k ˛
atów.
A
B
C
D
E
F
G
H
6
6
60
o
45
o
a
h
h
a
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego ABD obliczamy długo´s´c a drugiej kraw˛edzi podstawy.
6
a
=
tg 60
◦
=
√
3
⇒
a
=
6
√
3
=
2
√
3.
Obliczmy jeszcze długo´s´c przek ˛
atnej podstawy
DB
=
q
6
2
+ (
2
√
3
)
2
=
√
36
+
12
=
√
48
=
4
√
3.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego DBH obliczamy długo´s´c wysoko´sci graniastosłupa.
h
DB
=
tg 45
◦
=
1
⇒
h
=
4
√
3.
Pozostało obliczy´c obj˛eto´s´c graniastosłupa.
V
=
6
·
2
√
3
·
4
√
3
=
12
·
4
·
3
=
144.
Odpowied´z: 144
Z
ADANIE
32
(5
PKT
)
Punkty A
= (−
1,
−
5
)
, B
= (
5, 1
)
, C
= (
1, 3
)
, D
= (−
2, 0
)
s ˛
a kolejnymi wierzchołkami
trapezu ABCD. Oblicz pole tego trapezu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
A
C
D
h
B
E
Aby obliczy´c pole trapezu musimy zna´c długo´sci jego podstaw oraz długo´s´c wysoko´sci.
Długo´sci podstaw łatwo obliczy´c.
AB
=
q
(
5
+
1
)
2
+ (
1
+
5
)
2
=
√
36
+
36
=
6
√
2
CD
=
q
(−
2
−
1
)
2
+ (
0
−
3
)
2
=
√
9
+
9
=
3
√
2.
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Napiszmy teraz równanie prostej AB. Szukamy prostej w postaci y
=
ax
+
b. Podstawiamy
współrz˛edne punktów A i B.
(
−
5
= −
a
+
b
1
=
5a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a
=
6, czyli a
=
1. St ˛
ad b
= −
5
+
a
=
−
4 i prosta AB ma równanie: y
=
x
−
4.
Dalsz ˛
a cz˛e´s´c rozwi ˛
azania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Wysoko´s´c trapezu mo ˙zemy łatwo obliczy´c ze wzoru na odległo´s´c punktu P
= (
x
0
, y
0
)
od
prostej Ax
+
By
+
C
=
0:
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
√
A
2
+
B
2
.
W naszej sytuacji mamy P
=
D
= (−
2, 0
)
, a prosta to: x
−
y
−
4
=
0. Mamy zatem
h
=
| −
2
−
4
|
√
1
+
1
=
6
√
2
.
Pole trapezu jest wi˛ec równe
P
=
AB
+
CD
2
·
h
=
6
√
2
+
3
√
2
2
·
6
√
2
=
27.
Sposób II
Je ˙zeli kto´s nie chce korzysta´c ze wzoru na odległo´s´c punktu od prostej, to wysoko´s´c trapezu
mo ˙zemy wyznaczy´c bardziej wprost, wyznaczaj ˛
ac równanie wysoko´sci DE opuszczonej z
wierzchołka D na bok AB.
Prosta DE jest prostopadła do prostej AB, wi˛ec ma równanie postaci y
= −
x
+
b. Współ-
czynnik b wyznaczamy podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu D.
0
=
2
+
b
⇒
b
= −
2.
Szukamy teraz punku wspólnego prostych AB i DE.
(
y
=
x
−
4
y
= −
x
−
2.
Odejmuj ˛
ac od pierwszego równania drugie ( ˙zeby skróci´c y), mamy 0
=
2x
−
2, czyli x
=
1 i
y
=
x
−
4
= −
3. Zatem E
= (
1,
−
3
)
i
h
=
DE
=
q
(
1
+
2
)
2
+ (−
3
−
0
)
2
=
√
9
+
9
=
3
√
2.
Pole trapezu jest równe
P
=
AB
+
CD
2
·
h
=
6
√
2
+
3
√
2
2
·
3
√
2
=
27.
Odpowied´z: 27
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Pole ka ˙zdej z dwóch prostok ˛
atnych działek jest równe 2400 m
2
. Szeroko´s´c pierwszej działki
jest o 8 m wi˛eksza od szeroko´sci drugiej, ale jej długo´s´c jest o 10 m mniejsza. Oblicz szeroko´s´c
i długo´s´c ka ˙zdej z działek.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech x oznacza szeroko´s´c pierwszej działki, a y jej długo´s´c. W takim razie druga działka
ma szeroko´s´c x
−
8 i długo´s´c y
+
10. Podane pola powierzchni daj ˛
a układ równa ´n.
(
xy
=
2400
(
x
−
8
)(
y
+
10
) =
2400.
Podstawmy y
=
2400
x
z pierwszego równania do drugiego.
(
x
−
8
)
2400
x
+
10
=
2400
/
·
x
10
(
x
−
8
)(
240
+
x
) =
240x
240x
+
x
2
−
1920
−
8x
=
240x
x
2
−
8x
−
1920
=
0
∆
=
64
+
7680
=
7744
=
88
2
x
=
8
−
88
2
<
0
∨
x
=
8
+
88
2
=
48.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy x
=
48. St ˛
ad y
=
2400
x
=
50. Druga działka ma
wymiary x
−
8
=
40 i y
+
10
=
60.
Odpowied´z: 48 m
×
50 m oraz 40 m
×
60 m
Materiał pobrany z serwisu
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 22.03.2014, IV rok, Wykłady, Ekonometria i progno
2014 Matura 15.03.2014
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 22.03.2014, IV rok, Ćwiczenia, Ekonometria i prog
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 08 03 2014
2014 Matura 01 03 2014
TomaszGrabowski sprawozdanie(22 03 2014)
więcej podobnych podstron