EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH - WYKŁADY.

Wykład z dnia 22.03.2014 r.

Metody analizy dynamiki zjawisk masowych

Analizę dynamiki zjawisk masowych przeprowadza się na podstawie szeregów czasowych (inaczej dynamicznych, chronologicznych). Szeregiem dynamicznym nazywamy ciąg wartości badanego zjawiska obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu. W szeregach czasowych zmienną niezależną jest czas, natomiast zmienną zależną - wartości liczbowe badanego zjawiska.

y (t) = f (t)

gdzie f określa funkcje matematyczne gdzie

t = 1,2, … , n y₁ , y₂ , … , y_n

Zjawiska zmieniające się wolno są ujmowane w pewnych ściśle określonych momentach, noszą nazwę szeregów czasowych momentów . Szeregi czasowe zawierające informacje o rozmiarach zjawiska w pewnych okresach (np. rok, półrocze, kwartał) nazywamy szeregami czasowymi okresów. Przykładem szeregu czasowego okresów może być szereg przedstawiający wielkość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie w kolejnych miesiącach określonego roku. Przeciętny poziom zjawisk przedstawionych w postaci szeregów czasowych okresów - przy założeniu równości przyjętych przedziałów czasowych oblicza się za pomocą średniej arytmetycznej.

Do obliczania średniego poziomu zjawisk przedstawionych w formie szeregów czasowych momentów wykorzystujemy średnią chronologiczną, która ma postać:

Rozwój zjawisk przedstawiony za pomocą szeregów czasowych może być właściwie oceniony wówczas, gdy poszczególne wyrazy szeregów czasowych są wielkościami jednorodnymi i porównywalnymi.

Porównywalność danych statystycznych przedstawionych w formie szeregów czasowych jest możliwa, gdy spełnione są określone warunki, a mianowicie:

1. 
   Zjawiska przedstawione w szeregach czasowych powinny być wyrażone w tych samych jednostkach miar.

2. Szeregi czasowe okresów mogą być porównywane z szeregami czasowymi okresów  (a szeregi czasowe momentów z szeregami czasowymi momentów), przy czym muszą one dotyczyć tych samych momentów lub okresów.

3. Badane w czasie zjawiska powinny dotyczyć tego samego obszaru terytorialnego. Nie można porównywać liczby ludności zamieszkałej na terenie województwa lubelskiego 20 lipca 1960 r. z liczbą ludności tego zjawiska w latach 1986 gdy w dniu 1 czerwca 1975 r. nastąpiła zmiana podziału administracyjnego

4. W szeregach dynamicznych okresów przedziały czasowe powinny być jednakowe; problem ten jest szczególnie istotny przy porównywaniu szeregów, w których jednostkami czasu są miesiące lub kwartały.

Sprowadzenia wartości zjawisk do okresów porównywalnych (np. zawierających jednakową liczbę dni) dokonuje się według wzoru:

gdzie:

y_t0 - wielkość obserwowanego zjawiska przy założeniu, że wszystkie jednostki czasu (np. miesiące, kwartały) mają jednakową liczbę dni.

y_t - faktycznie zaobserwowane wielkości zjawiska w danej jednostce czasu

t₀ - liczba dni w danej jednostce czasu przyjęta za podstawę porównywalności (np. 30 dni dla miesięcy, 91 dni dla kwartałów)

Z -  rzeczywista liczba dni kalendarzowych w danej jednostce czasu

Proste metody badania zmian szeregu dynamicznego 

y ₁ , y ₂ , … , y _n

Przyrosty absolutne

Za podstawę porównań przyjmiemy wielkość y₁ i wtedy ciąg przyrostów absolutnych o podstawie stałej przedstawia się następująco :

y₁ - podstawa

Natomiast ciąg przyrostów łańcuchowych

Jak wynika z zapisu przyrosty absolutne informują o tym, o ile jednostek wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie) badanym w porównaniu z okresem (momentem) przyjętym za podstawę.

Przyrosty absolutne są wielkościami mianowanymi, wyrażonymi w tych samych jednostkach miary co badane zjawisko.

Istotnym zagadnieniem przy obliczaniu przyrostów absolutnych jednopodstawowych jest wybór podstawy porównań.

Przyrosty zmienne

Ciąg wartości przyrostów względnych o stałej podstawie  jest następujący:

Przyrosty względne najczęściej są wyrażone w procentach. Informują one o tym, o ile wyższy lub niższy jest poziom badanego zjawiska w danym okresie w stosunku do okresu bezpośrednio poprzedzającego .

Przyrosty względne mogą być wielkościami dodatnimi, ujemnymi lub równymi zero. Przyrosty względne określane są niekiedy mianem tempa przyrostu.

Wskaźniki dynamiki (indeksy)

Jeżeli poziom zjawiska w okresie badanym oznaczymy symbolem y₁ a poziom zjawiska w okresie podstawowym y₀ , to wzór na indeks przyjmuje postać :

W zależności od przyjętej podstawy porównań wyróżniamy indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe .

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna wyznacza średnie tempo zmian badanego zjawiska.

Indywidualny indeks cen wyznaczamy w sposób następujący:

P₁ - cena w badanym okresie

P₀ - cena w podstawowym okresie

Indywidualny indeks ilości:

q₁ - ilość wyprodukowanych wyrobów w badanym okresie

q₀ - ilość wyprodukowanych wyrobów w okresie podstawowym

Indywidualny indeks wartości :

p₁q₁ - wartość produkcji w okresie badanym

p₀q₀ - wartość produkcji w okresie podstawowym

Indeksy zespołowe

Agregatowy indeks wartości określonego zespołu artykułów (wyrobów, produktów) jest ilorazem sum wartości badanych dóbr w okresie badanym i w okresie podstawowym

Agregatowy indeks wartości wyraża zmiany, jakie nastąpiły w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym zarówno w ilościach określonego zespołu artykułów, jak i w ich cenach.

Konstrukcja agregatowych indeksów ilości i indeksów cen oparta jest na metodzie eliminacji zwanej standaryzacją wskaźników dynamiki.

Wybór okresu standaryzacji zależy od celu badania i posiadanych informacji statystycznych. Najczęściej jednak wykorzystywane są formuły standaryzacyjne Laspeyresa i Paaschego.

Standaryzacja według formuły Laspeyresa polega na unieruchomieniu ilości (przy obliczaniu agregatowego indeksu cen) lub cen (przy obliczaniu agregatowego indeksu ilości) na poziomie okresu podstawowego (bazowego).


Standaryzacja według formuły Paaschego polega na unieruchomieniu ilości w indeksie cen lub w indeksie ilości na poziomie okresu badanego (sprawozdawczego).

W zależności od przyjętej formuły standaryzacyjnej można więc wyróżnić dwa rodzaje agregatowych indeksów ilości i cen.

Agregatowy indeks ilości wg formuły Laspeyresa ma następującą postać:

Natomiast agregatowy indeks ilości typu Paaschego oblicza się wg wzoru:

Agregatowe indeksy ilości informują o tym, o ile - przeciętnie biorąc - wzrosła lub zmalała ilość określonego zbioru artykułów (wyrobów, produktów) w okresie badanym, w porównaniu z okresem podstawowym (przy odpowiednim założeniu przyjętym w formule standaryzacyjnej).

Agregatowy indeks cen jest ilorazem sumy wartości określonego zbioru artykułów w okresie badanym i sumy wartości tych samych artykułów w okresie podstawowym przy stałym "koszyku" ilości.

Przy obliczaniu agregatowych indeksów cen rolę wag spełniają ilości. Standaryzując ilości na poziomie roku podstawowego otrzymujemy agregatowy indeks cen typu Laspeyresa:

Gdy ustalamy jako niezmienne ilości na poziomie okresu badanego, otrzymujemy agregatowy indeks cen wg Paaschego

Interpretacja

• 
  Agregatowe indeksy cen odpowiadają na pytanie, jak zmieniły się przeciętnie biorąc - ceny danego zbioru artykułów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym, przy unieruchomieniu ilości w obu okresach, zgodnie z przyjętą formułą standaryzacyjną.

• 
  Agregatowe indeksy cen i ilości obliczone według formuł standaryzacyjnych Paaschego i Laspeyresa dla tego samego zespołu artykułów zwykle różnią się między sobą.

• 
  Powstaje zatem pytanie, która z tych formuł jest poprawniejsza. Przyjmuje się, że jeżeli układ wyjściowych informacji na to pozwala, wskazane jest obliczanie indeksów według obydwu formuł standaryzacyjnych.

• 
  Indeksy obliczone według formuł Paaschego i Laspeyresa wyznaczają bowiem granice zmian w dynamice badanego agregatu.

• 
  W przypadku niezbyt odległych okresów porównawczych (tzw. okresu podstawowego i badanego) obliczane są też agregatowe indeksy cen i ilości według formuły Fishera.

Agregatowy indeks typu Fishera jest szeregiem geometrycznym z indeksów standaryzowanych (cen lub ilości) według formuł Laspeyresa i Paaschego.

Agregatowy indeks wartości Fishera

Równość indeksowa dla indeksów agregatowych

Jeśli dysponujemy informacją o poziomach dwóch spośród trzech omawianych indeksów agregatowych zawsze możemy znaleźć wielkość trzeciego indeksu.

Przykład.

Przedsiębiorstwo wyprodukowało wyroby typu A, B, C w roku 2010 (podstawowy) i w roku 2013 (badany) w cenach i ilościach które są dane w tablicach.

typ	p0	q0	p1	q1
A	18	2100	19	2000
B	22	2300	23	2400
C	24	2600	25	2700

Obliczyć agregatowe indeksy według form standaryzacyjnych.

Metody statystyczne konstrukcji trendów

Metody statystyczne konstrukcji trendów socjalno-ekonomicznych szeregów czasowych warunkowo można podzielić na dwie grupy:

1. Są metody pod ogólną nazwą mechanicznego wygładzania. Podstawowa własność ich polega na tym, że pewne punkty trendu są określone na podstawie poprzednich ich następnych punktów. Przewaga tych metod jest ich prostotą.

Razem z tym te metody mają szereg uchybień:

1. Przy niewielkim obszarze badanego szeregu czasowego otrzymamy przy tej metodzie szereg czasowy, może bardzo różnić się od danego szeregu czasowego,

2. Wybór przedziału wygładzania zazwyczaj ciężko wyjaśnić a od tego zależy postać krzywej, która określa trend

3. Przy obliczaniu ruchomej średniej utracone są początkowe i końcowe średnie

4. Trend szeregu czasowego określony na podstawie ruchomej czyli łyżwowej średniej nie ma zapisu analitycznego w postaci jakiejś funkcji a więc nie można określić szybkości zmiany trendu

Metoda prostego wygładzania

Proste wygładzanie polega na otrzymaniu poziomu nowego szeregu czasowego. Prosty średni arytmetyczny danego szeregu czasowego, potem okres wygładzania jest zsuwany na jedną obserwację w prawo. I obliczanie średniej wartości jest powtórzone przy warunku, że okresy czy obliczenie średnich biorą się cały czas te same.

Przy wygładzaniu szeregu czasowego w obliczeniach biorą udział wszystkie poziomy danego szeregu. Czym większy jest przedział wygładzania tym gładszy okazuje się trend.

Jeśli liczba wyrazów przedziału jest nieparzysta to ruchoma średnia jest określona wzorem:

2m+1 - liczba wyrazów przedziału wygładzania

Jeśli liczba wyrazów wygładzania jest parzysta

↓ ↓

Wartość całkowita dodatnia liczba

ruchomej na podstawie której obliczamy

średniej przedział wygładzania (ilość wyrazów

przedziału wygładzania)

- cała część

2m+1 = 3 , m = 1

2m = 4 , m = 2

Przykład.

Zużycie węgla w kraju za ostatnie 10 lat.

yi
y1	160
y2	130
y3	140
y4	125
y5	131
y6	115
y7	120
y8	110
y9	113
y10	105

Obliczyć ruchome średnie dla ilości wartości wyrazów przedziału wygładzania.

Metoda wyważonych ruchomych średnich

Wyważone wygładzanie polega na określeniu wyważonych średnich gdy na przedziale ma miejsce nie liniowa tendencja.

Istotą tej metody jest to, że dla pierwszej grupy 2m+1 wyrazu szeregu wybierają wielomian p -tego rzędu.

I korzystają z niego przy określeniu trendu.

W m+1, średni przedział wygładzania.

---