www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
1
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Wska ˙z rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci 4
(
x
−
1
) >
3x.
4
x
1
x
x
x
A)
B)
C)
D)
4
1
4
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy dan ˛
a nierówno´s´c
4
(
x
−
1
) >
3x
4x
−
4
>
3x
x
>
4.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
´
Cwier´c liczby a zwi˛ekszono o 40%. Otrzymano
A) 3, 5a
B) 35%
·
a
C) 65%
·
a
D) 0, 25a
+
40%
·
a
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
0, 25a
+
40%
·
0, 25a
=
0, 25a
+
0, 4
·
0, 25a
=
0, 25a
+
0, 1a
=
0, 35a
=
35%
·
a.
Mogli´smy te ˙z liczy´c tak
1, 4
·
0, 25a
=
0, 35a
=
35%
·
a.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Wska ˙z zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
p
(
3
+
x
)
2
6 3.
A) x
∈ h−
6, 0
i
B) x
∈ h
0, 6
i
C) x
∈ h−
3, 3
i
D) x
∈ h−
3, 0
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapisujemy nierówno´s´c w postaci nierówno´sci z warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a
|
3
+
x
|
6 3
|
x
− (−
3
)|
6 3.
Rozwi ˛
azaniem tej nierówno´sci jest zbiór liczb, które s ˛
a odległe od
−
3 o nie wi˛ecej ni ˙z 3, czyli
przedział
h−
3
−
3,
−
3
+
3
i = h−
6, 0
i
.
Odpowied´z: A
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Je´sli a
=
log
√
3
9 i b
=
log
3
√
21
−
log
3
√
7 to:
A) a
=
b
B) a
<
b
C) a
>
b
D) a
2
=
b
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
a
=
log
√
3
9
=
log
√
3
(
√
3
)
4
=
4
b
=
log
3
√
21
−
log
3
√
7
=
log
3
√
21
√
7
=
log
3
√
3
=
log
3
3
1
2
=
1
2
.
Zatem a
>
b.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Liczb ˛
a, która nie nale ˙zy do zbioru warto´sci funkcji f
(
x
) =
10
−
2
x
−
3
jest
A) 10
B) 3
C)
−
3
D) 0
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Wykresem funkcji f jest hiperbola y
= −
2
x
przesuni˛eta o 3 jednostki w prawo i o 10 jednostek
do góry.
-5
-1
+3
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
y=10
Gdy j ˛
a naszkicujemy wida´c, ˙ze nie ma ona punktów wspólnych z poziom ˛
a prost ˛
a y
=
10.
Sposób II
Ułamek
2
x
−
3
oczywi´scie nigdy (tj. dla ˙zadnej warto´sci x) nie mo ˙ze by´c równy 0, wi˛ec funkcja
f
(
x
) =
10
−
2
x
−
3
nie przyjmuje warto´sci 10.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Punkt A
= (
2, 1
)
le ˙zy na wykresie funkcji liniowej f
(
x
) = (
m
−
3
)
x
+
m
−
2. St ˛
ad wynika,
˙ze
A) m
=
1
B) m
=
7
2
C) m
=
3
D) m
=
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy w danym wzorze współrz˛edne punktu A.
1
=
2m
−
6
+
m
−
2
⇒
3m
=
9
⇒
m
=
3.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Liczba
(
1
+
√
2
)
3
jest równa
A) 7
−
5
√
2
B) 7
+
√
2
C) 1
+
√
8
D) 7
+
5
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy korzystaj ˛
ac ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3ab
2
+
b
3
.
Mamy wi˛ec
(
1
+
√
2
)
3
=
1
3
+
3
·
1
2
·
√
2
+
3
·
1
· (
√
2
)
2
+ (
√
2
)
3
=
=
1
+
3
√
2
+
6
+
2
√
2
=
7
+
5
√
2.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Ka ˙zdy bok trójk ˛
ata prostok ˛
atnego o bokach 3, 4, 5 kolorujemy jednym z 6 kolorów tak, aby
˙zadne dwa boki nie były pokolorowane tym samym kolorem. Ile jest takich pokolorowa ´n?
A) 15
B) 120
C) 216
D) 20
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwszy bok trójk ˛
ata mo ˙zemy pokolorowa´c na 6 sposobów, drugi na 5 (bo ma mie´c inny
kolor ni ˙z pierwszy), a trzeci na 4 sposoby. W sumie jest wi˛ec
6
·
5
·
4
=
120
sposobów.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Wierzchołek paraboli y
= (
2x
+
1
)
2
+
1
6
le ˙zy na prostej o równaniu
A) y
= −
1
3
x
B) y
=
1
3
x
C) y
=
3x
D) y
= −
1
6
x
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przypomnijmy, ˙ze postaci ˛
a kanoniczn ˛
a funkcji kwadratowej jest
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
,
gdzie
(
x
w
, y
w
)
s ˛
a współrz˛ednymi wierzchołka. Zatem podany wzór nie jest postaci ˛
a kano-
niczn ˛
a, ale łatwo go do niej sprowadzi´c.
y
= (
2x
+
1
)
2
+
1
6
=
4
x
+
1
2
2
+
1
6
.
Wierzchołek ma wi˛ec współrz˛edne
−
1
2
,
1
6
, które spełniaj ˛
a y
w
= −
1
3
x
w
.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Mo ˙zemy te ˙z znale´z´c współrz˛edne wierzchołka ze wzoru
(
x
w
, y
w
) =
−
b
2a
,
−
∆
4a
.
Liczymy
(
2x
+
1
)
2
+
1
6
=
4x
2
+
4x
+
1
+
1
6
=
4x
2
+
4x
+
7
6
∆
=
16
−
4
·
4
·
7
6
=
16
1
−
7
6
=
16
·
−
1
6
= −
8
3
(
x
w
, y
w
) =
−
b
2a
,
−
∆
4a
=
−
4
8
,
8
3
16
!
=
−
1
2
,
1
6
.
Jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze y
w
= −
1
3
x
w
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Korzystaj ˛
ac z danego wykresu funkcji f , wska ˙z nierówno´s´c prawdziw ˛
a
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
A) f
(−
1
) <
f
(
1
)
B) f
(
2
) <
f
(
3
)
C) f
(−
3
) >
f
(
4
)
D) f
(
3
) <
f
(
1
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Odczytujemy z wykresu.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
mx
+
1 jest prostopadła do prostej o równaniu x
=
ny
+
1. St ˛
ad
wynika, ˙ze
A) m
=
n
B) mn
= −
1
C) m
+
n
= −
1
D) m
+
n
=
0
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste y
=
ax
+
b i y
=
cx
+
d s ˛
a prostopadłe je ˙zeli ac
= −
1. Drug ˛
a z danych prostych
mo ˙zemy zapisa´c w postaci
y
=
1
n
x
−
1
n
Mamy zatem
m
·
1
n
= −
1
m
= −
n
m
+
n
=
0.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Dane s ˛
a wielomiany: W
(
x
) =
2x
6
−
3x
3
+
5x
+
4 i P
(
x
) = −
4x
4
−
12x
2
+
5. Stopie ´n wielo-
mianu W
(
x
) ·
P
(
x
)
jest równy:
A) 24
B) 10
C) 9
D) 6
R
OZWI ˛
AZANIE
Aby ustali´c jaki b˛edzie stopie ´n wielomianu W
(
x
) ·
P
(
x
)
mno ˙zymy najwy ˙zsze pot˛egi x-a z
obu wielomianów
2x
6
· (−
4x
4
) = −
8x
6
+
4
= −
8x
10
.
Zatem W
(
x
) ·
P
(
x
)
jest wielomianem stopnia 10.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Liczby x, x
+
2, x
+
5 tworz ˛
a ci ˛
ag geometryczny. Wynika st ˛
ad, ˙ze
A) x
=
16
B) x
=
4
C) x
=
√
6
−
2
D) x
=
7
2
R
OZWI ˛
AZANIE
W ci ˛
agu geometrycznym kwadrat ka ˙zdego wyrazu (z wyj ˛
atkiem pierwszego) jest iloczynem
wyrazów s ˛
asiednich. Mamy wi˛ec
a
1
a
3
=
a
2
2
x
(
x
+
5
) = (
x
+
2
)
2
x
2
+
5x
=
x
2
+
4x
+
4
x
=
4.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Na rysunku zaznaczono długo´sci niektórych odcinków w rombie oraz k ˛
at α.
18
15
α
Wtedy
A) sin α
=
3
4
B) cos α
=
4
5
C) sin α
=
4
5
D) sin α
=
3
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy drug ˛
a przek ˛
atn ˛
a.
15
α
9
9
12
12
Przek ˛
atne rombu dziel ˛
a si˛e na połowy i s ˛
a prostopadłe, wi˛ec otrzymali´smy 4 przystaj ˛
ace
trójk ˛
aty prostok ˛
atne o przyprostok ˛
atnych długo´sci 9 i
p
15
2
−
9
2
=
√
144
=
12.
Zatem
cos α
=
9
15
=
3
5
sin α
=
12
15
=
4
5
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
2
−
1. Warto´s´c wyra ˙zenia
cos
4
α
4
jest równa
A)
√
2
−
1
B) 2
√
2
−
2
C) 3
+
2
√
2
D) 3
−
2
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Z podanego sinusa i jedynki trygonometrycznej wyliczamy kwadrat cosinusa.
cos
2
α
=
1
−
sin
2
α
=
1
− (
√
2
−
1
)
2
=
1
− (
2
−
2
√
2
+
1
) =
2
√
2
−
2.
Zatem
cos
4
α
4
=
cos
2
α
2
2
= (
√
2
−
1
)
2
=
2
−
2
√
2
+
1
=
3
−
2
√
2.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 40
◦
(tak jak na rysunku).
α
A
B
D
M
C
S
40
o
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 80
◦
B) 40
◦
C) 30
◦
D) 20
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Miara k ˛
ata α
=
]DMB jest równa połowie miary k ˛
ata ´srodkowego ]DSB, a ten k ˛
at z kolei
jest równy k ˛
atowi k ˛
atowi ]ASC. Zatem
α
=
1
2
·
40
◦
=
20
◦
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Krótsza przek ˛
atna sze´sciok ˛
ata foremnego ma długo´s´c 8. Wówczas pole koła wpisanego w
ten sze´sciok ˛
at jest równe
A) 4π
B) 8π
C) 16π
D) 64π
R
OZWI ˛
AZANIE
Robimy szkicowy rysunek
4
4
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z rysunku wida´c, ˙ze długo´s´c krótszej przek ˛
atnej sze´sciok ˛
ata jest równa ´srednicy koła
wpisanego w ten sze´sciok ˛
at. Zatem pole tego koła jest równe
π
·
4
2
=
16π.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Równanie okr˛egu wpisanego w romb o wierzchołkach A
= (
0,
−
2
)
, B
= (
4, 1
)
, C
= (
4, 6
)
, D
=
(
0, 3
)
ma posta´c
A)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
+
2
)
2
=
4
B)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
2
C)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
4
D)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
+
2
)
2
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy romb, to jest jasne, ˙ze ´srodkiem okr˛egu wpisanego jest ´srodek przek ˛
atnej
AC (czyli punkt przeci˛ecia przek ˛
atnych).
-1
x
-1
+1
+5
+10
y
A
B
C
D
S
Zatem
S
=
0
+
4
2
,
−
2
+
6
2
= (
2, 2
)
.
Promie ´n okr˛egu wpisanego jest równy odległo´sci punktu S od osi Oy (bo zawiera ona bok
AD) rombu, czyli jest równy 2. Zatem szukane równanie ma posta´c
(
x
−
2
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
4
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y
=
f
(
x
)
.
x
y
1
2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-3
W którym z przedziałów, funkcja przyjmuje warto´s´c 1?
A)
h
0, 1
i
B)
(−
3, 0
)
C)
(
0, 2
)
D)
h−
1, 0
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Z rysunku wida´c, ˙ze funkcja f przyjmuje warto´s´c 1 dwa razy: raz pomi˛edzy
−
2 i
−
1, a drugi
raz w punkcie x
=
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Liczba wszystkich kraw˛edzi graniastosłupa jest o 12 wi˛eksza od liczby wszystkich jego ´scian
bocznych. St ˛
ad wynika, ˙ze podstaw ˛
a tego graniastosłupa jest
A) czworok ˛
at
B) pi˛eciok ˛
at
C) sze´sciok ˛
at
D) dziesi˛eciok ˛
at
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛
at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n ´scian bocz-
nych.
Mamy wi˛ec równanie
3n
=
n
+
12
2n
=
12
n
=
6.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Liczby x
−
1, x
+
3, 2x
−
4 w podanej kolejno´sci tworz ˛
a ci ˛
ag arytmetyczny. Wtedy x jest rów-
ne
A) x
=
2
B) x
=
1
C) x
=
4
D) x
=
11
R
OZWI ˛
AZANIE
´Srodkowy wyraz w ci ˛agu arytmetycznym jest ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a wyrazów s ˛asiednich,
wi˛ec
2
(
x
+
3
) = (
x
−
1
) + (
2x
−
4
)
6
=
x
−
1
−
4
11
=
x.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Jak ˛
a liczb˛e mo ˙zna wstawi´c pomi˛edzy
−
27
16
, a
−
1
3
, aby z danymi liczbami tworzyła ci ˛
ag geo-
metryczny?
A)
3
4
B)
−
4
3
C)
4
3
D)
−
9
16
R
OZWI ˛
AZANIE
Kwadrat wstawionej liczby musi by´c iloczynem liczb s ˛
asiednich, czyli
x
2
=
−
27
16
·
−
1
3
=
9
16
x
= ±
3
4
.
W´sród podanych odpowiedzi nie ma
−
3
4
, wi˛ec musi by´c x
=
3
4
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
´Srednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie cz˛esto´sci jest równa
częstość w %
wartość
0
10
20
30
40
1
2
3
0
50
A) 2
B) 1
C) 1,5
D) 1,8
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
s
=
0
·
0, 2
+
1
·
0, 1
+
2
·
0, 2
+
3
·
0, 5
0, 2
+
0, 1
+
0, 2
+
0, 5
=
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego o wysoko´sci 7 jest równa 63
√
3. Długo´s´c
kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) 4
B) 3
C) 6
D) 36
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy graniastosłup.
a
a
a
h
Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi podstawy graniastosłupa to pole podstawy
jest równe
P
p
=
a
2
√
3
4
i z podanej obj˛eto´sci otrzymujemy równanie
63
√
3
=
a
2
√
3
4
·
7
/
·
4
7
√
3
36
=
a
2
⇒
a
=
6.
Odpowied´z: C
Zadania otwarte
Z
ADANIE
25
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
−
36
=
12x
−
3x
2
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przenosimy wszystkie składniki na jedn ˛
a stron˛e i wył ˛
aczamy
(
x
+
3
)
przed nawias.
0
=
x
3
+
3x
2
−
12x
−
36
=
x
2
(
x
+
3
) −
12
(
x
+
3
) =
= (
x
+
3
)(
x
2
−
12
) = (
x
+
3
)(
x
−
√
12
)(
x
+
√
12
) =
= (
x
+
3
)(
x
−
2
√
3
)(
x
+
2
√
3
)
.
Odpowied´z: x
∈ {−
2
√
3,
−
3, 2
√
3
}
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 3x
2
+
x
−
14 6 0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu 3x
2
+
x
−
14.
∆
=
1
2
+
4
·
3
·
14
=
1
+
168
=
169
=
13
2
x
1
=
−
1
−
13
6
= −
14
6
= −
7
3
x
2
=
−
1
+
13
6
=
2.
Poniewa ˙z współczynnik przy x
2
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛
a o ramio-
nach skierowanych w gór˛e.
-5
-1
+3
+5
x
-10
-2
+2
+10
y
Otrzymujemy st ˛
ad rozwi ˛
azanie nierówno´sci
−
7
3
, 2
.
Odpowied´z:
−
7
3
, 2
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
1
3
. Oblicz tg α.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Poniewa ˙z mamy obliczy´c tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos α.
1
3
=
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
sin α
cos α
−
cos α
cos α
sin α
cos α
+
cos α
cos α
=
tg α
−
1
tg α
+
1
.
tg α
+
1
=
3 tg α
−
3
4
=
2 tg α
⇒
tg α
=
2.
Sposób II
Przekształcamy dan ˛
a równo´s´c tak, aby otrzyma´c tg α.
sin α
−
cos α
sin α
+
cos α
=
1
3
3 sin α
−
3 cos α
=
sin α
+
cos α
2 sin α
=
4 cos α
/ : 2 cos α
sin α
cos α
=
2
tg α
=
2.
Odpowied´z: tg α
=
2
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
W 8 pudełkach umieszczamy 5 ponumerowanych kulek tak, aby w ˙zadnym pudełku nie
było wi˛ecej ni ˙z jednej kulki. Na ile sposobów mo ˙zemy to zrobi´c?
R
OZWI ˛
AZANIE
Ka ˙zdej kulce musimy przyporz ˛
adkowa´c unikalny numer pudełka. Mo ˙zna to zrobi´c na
8
·
7
·
6
·
5
·
4
=
6720
sposobów (pierwsza trafia do dowolnego z pudełek, druga nie mo ˙ze znale´z´c si˛e w tym co
pierwsza, trzecia musi by´c w innym ni ˙z dwie pierwsze itd.).
Odpowied´z: 6720
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Wyznacz współrz˛edne punktu P, który dzieli odcinek o ko ´ncach A
= (
19, 17
)
i B
= (−
9, 33
)
w stosunku
|
AP
|
:
|
PB
| =
1 : 3.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli zrobimy obrazek, to łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze aby otrzyma´c punkt P musimy podzieli´c
odcinek AB na 4 cz˛e´sci i punkt P to koniec pierwszego odcinka.
A
B
S
P
Innymi słowy, musimy wyznaczy´c ´srodek S odcinka AB, a punkt P jest ´srodkiem odcinka
AS. Liczymy
S
=
A
+
B
2
=
19
−
9
2
,
17
+
33
2
= (
5, 25
)
P
=
A
+
S
2
=
19
+
5
2
,
17
+
25
2
= (
12, 21
)
.
Sposób II
Zadanie łatwo te ˙z rozwi ˛
aza´c u ˙zywaj ˛
ac wektorów. Szukany punkt P otrzymamy przesuwa-
j ˛
ac punkt A o
1
4
wektora
−→
AB. Zatem
P
=
A
+
1
4
−→
AB
= (
19, 17
) +
1
4
[−
28, 16
] = (
19, 17
) + [−
7, 4
] = (
12, 21
)
.
Odpowied´z: P
= (
12, 21
)
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Na bokach AD, AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K, L i M w ten sposób, ˙ze
KL
k
DB i LM
k
AC. Uzasadnij, ˙ze
|
LK
| + |
LM
| = |
AC
|
.
A
B
C
D
K
L
M
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Oznaczmy AL
=
x i LB
=
y. Trójk ˛
aty ALK i LBM s ˛
a prostok ˛
atne i maj ˛
a k ˛
aty ostre równe
45
◦
, wi˛ec s ˛
a to trójk ˛
aty równoramienne.
A
B
C
D
K
L
M
x
y
y
x
A
B
C
D
K
L
M
x
y
y
x
P
R
S
T
Zatem BM
=
y i mamy
LK
+
LM
=
p
x
2
+
x
2
+
q
y
2
+
y
2
=
x
√
2
+
y
√
2
= (
x
+
y
)
√
2
=
AB
√
2
=
AC.
Sposób II
Poprowad´zmy przez punkty K, L i M proste równoległe do boków kwadratu (prawy rysu-
nek). Otrzymane czworok ˛
aty ALPK, SRTD i LBMR s ˛
a kwadratami, w dodatku kwadraty
ALPK i SRTD s ˛
a przystaj ˛
ace. Zatem
LK
+
LM
=
RD
+
BR
=
BD
=
AC.
Z
ADANIE
31
(4
PKT
)
Ci ˛
ag
(
4, a, b, c, d, 8
)
jest geometryczny. Oblicz a, b, c i d.
R
OZWI ˛
AZANIE
Szukamy ci ˛
agu postaci a
n
=
a
1
q
n
−
1
, w którym a
1
=
4 i
8
=
a
6
=
a
1
q
5
=
4q
5
2
=
q
5
⇒
q
=
5
√
2.
Zatem
a
=
a
2
=
a
1
q
=
4
5
√
2
b
=
a
3
=
a
1
q
2
=
4
5
√
4
c
=
a
4
=
a
1
q
3
=
4
5
√
8
d
=
a
5
=
a
1
q
4
=
4
5
√
16.
Odpowied´z:
(
a, b, c, d
) = (
4
5
√
2, 4
5
√
4, 4
5
√
8, 4
5
√
16
)
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
32
(5
PKT
)
Poci ˛
ag towarowy pokonał tras˛e długo´sci 208 km. Gdyby ´srednia pr˛edko´s´c poci ˛
agu była
wi˛eksza o 13 km/h to t˛e sam ˛
a tras˛e poci ˛
ag pokonałby w czasie o 48 minut krótszym. Oblicz
´sredni ˛
a pr˛edko´s´c z jak ˛
a poci ˛
ag pokonał t˛e tras˛e.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech t i v oznaczaj ˛
a odpowiednio czas przejazdu oraz ´sredni ˛
a pr˛edko´s´c poci ˛
agu. Z zało ˙ze ´n
mamy
(tv
=
208
(
v
+
13
)
t
−
4
5
=
208.
Podstawiamy t
=
208
v
z pierwszego równania do drugiego.
(
v
+
13
)
208
v
−
4
5
=
208
/
·
5v
4
(
v
+
13
)(
260
−
v
) =
260v
−
v
2
+
260v
−
13v
+
3380
=
260v
v
2
+
13v
−
3380
=
0
∆
=
13
2
+
4
·
3380
=
13689
=
117
2
v
=
−
13
−
117
2
<
0
∨
v
=
−
13
+
117
2
=
104
2
=
52.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy v
=
52 km/h.
Odpowied´z: 52 km/h
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego czworok ˛
atnego ABCDS o podstawie ABCD jest równa
224, a promie ´n okr˛egu opisanego na podstawie ABCD jest równy 2
√
14. Oblicz cosinus k ˛
ata
mi˛edzy wysoko´sci ˛
a tego ostrosłupa i jego ´scian ˛
a boczn ˛
a.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
S
F
α
E
a
a
H
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Promie ´n okr˛egu opisanego na kwadracie w podstawie to po prostu połowa długo´sci
przek ˛
atnej, czyli
a
√
2
2
=
2
√
14
⇒
a
=
4
√
14
√
2
=
4
√
7.
Z danej obj˛eto´sci obliczamy wysoko´s´c ostrosłupa.
224
=
V
=
1
3
a
2
·
H
H
=
224
·
3
a
2
=
224
·
3
112
=
6.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego SFE obliczamy wysoko´s´c SF ´sciany bocznej.
SF
=
p
SE
2
+
EF
2
=
√
36
+
28
=
√
64
=
8.
Pozostało obliczy´c interesuj ˛
acy nas cosinus k ˛
ata mi˛edzy wysoko´sci ˛
a ostrosłupa, a ´scian ˛
a
boczn ˛
a.
cos α
=
SE
SF
=
6
8
=
3
4
.
Odpowied´z:
3
4
Materiał pobrany z serwisu
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 15.03.2014
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 08 03 2014
2014 Matura 25 02 2014 odp II
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 01 03 Zabawki płciowo neutralne
więcej podobnych podstron