plik

dnim oznaczeniem pochodz¹cym z jêzyka
angielskiego jest OR.

Symbol elementu logicznego reali-

zuj¹cego t¹ funkcjê pokazuje rysunek 1b.
Tablica stanów ma postaæ nastêpuj¹c¹:

W dziedzinie elementów logicznych

wykorzystywany jest tak¿e element reali-
zuj¹cy  zmianê  wartoœci  na  przeciwn¹.
Wartoœæ  1  zastêpowana  jest  wartoœci¹  0
i  odwrotnie.  Operacja  ta  nazywana  jest
negacj¹. Z angielskiego oznaczana jest ja-
ko NOT. Przeciwne znaczenie wartoœci na-
zywane  jest  dope³nieniem  i  oznaczane
kresk¹ nad symbolem zmiennej.

Symbol elementu logicznego negacji

pokazany  jest  na  rysunek  1c.  Negacjê
oznacza  charakterystyczne  kó³ko  na  wyj-
œciuelementu. Znak kó³ka umieszczony na
wejœciu elementu logicznego oznacza ne-
gacjê  zmiennej  wejœciowej.  Umieszczo-
ny  na  wyjœciu  dotyczy  negacji  zmiennej
wyjœciowej.

Dla uproszczenia operowaliœmy tylko

dwoma zmiennymi wejœciowymi. Zmien-
nych wejœciowych realizuj¹cych iloczyn
lub sumê logiczn¹ mo¿e byæ wiêcej.

Zasadnicze znaczenie w analizie za-

le¿noœci logicznych (uk³adów logicznych)
ma twierdzenie de Morgana. Twierdzenie
to nazywane jest czêsto to¿samoœci¹ i opi-
suj¹ je nastêpuj¹ce zale¿noœci logiczne:

lub

Ilustracj¹ twierdzenia de Morgana

jest  rysunek  2  przedstawiaj¹cy  tzw.  ele-
menty  równowa¿ne.  Dzia³anie  elemen-
tów  logicznych  z  rysunku  2a  okreœla  na-
stêpuj¹ca tablica stanów:

Element taki nazywany jest elemen-

tem NIE–LUB (z angielskiego NOR).

Elementy z rysunekunek 2b funkcjo-

nuj¹ wed³ug kolejnej tablicy stanów:

Nazywane

s¹

elementami

NIE–I (NAND). Obie te operacje s¹ do-
pe³nieniami, odpowiednio operacji OR
czy AND.

Elementy logiczne NAND i NOR s¹

czêœciej  stosowane  ni¿  elementy  OR
i  AND  z  uwagi  na  prostsz¹  realizacjê
w technice uk³adów scalonych. Wszystkie
z³o¿one funkcje logiczne mog¹ byæ reali-
zowane  za  pomoc¹  prostych  elementów
NAND lub NOR.

Opiszemy prost¹ sytuacjê korzystaj¹c

z  jêzyka  zmiennych  cyfrowych  i  operacji
logicznych.  Chcemy  napiæ  siê  kawy  lub
herbaty w zak³adowym (szkolnym) barku.
Wykorzystuj¹c zale¿noœci logiczne rozwa-
¿ymy  warunki  realizacji  tego  zamiaru.
Rozpoczniemy  od  ustalenia  zmiennych
wejœciowych X i zmiennej wyjœciowej Y:
X1  =  1  (jest  kawa),  X1  =  0  (nie  ma
kawy),

X2 = 1 (jest herbata), X1 = 0 (nie ma
herbaty),
X3 = 1 (barek jest otwarty), X3 = 0
(barek jest zamkniêty),
Y = 1 (otrzymaliœmy napój), Y = 0 (nic
z tego).

Wyra¿enie opisuj¹ce t¹ sytuacjê ma

nastêpuj¹c¹ postaæ: jeœli jest herbata lub
kawa i barek jest otwarty to siê napijemy.
W formie zale¿noœci logicznej:

Uk³ady logiczne realizuj¹ce t¹ funkcjê

pokazane s¹ na rysunku. 3.

Uk³ady te wykorzystuj¹ elementy lo-

giczne AND i OR. Spróbujmy to samo zre-
alizowaæ korzystaj¹c z elementów z nega-
cj¹ (NAND i NOR). Odpowiednie uk³ady
logiczne pokazuje rysunek 4. Ich analizê
pozostawiam Czytelnikom.

Zwarcie wejœæ bramki NAND lub

NOR przekszta³ca jej dzia³anie do bramki
NOT (rys. 4a).

W rozpatrzonym przyk³adzie mieli-

œmy  doczynienia  z  prostymi  sytuacjami,
które  mo¿na  by³o  przedstawiæ  jako  dwa
stany (jest lub nie ma – 1 albo 0). Czêsto
jednak  wielkoœci  wejœciowe  mog¹  przyj-
mowaæ  wiele  dyskretnych  (stopniowych)
wartoœci  np.  liczb  dziesiêtnych.  Do  ich
rozró¿nienia  niezbêdne  oka¿e  siê  wyko-
rzystanie wiêkszej liczby zmiennych dwu-
stanowych  (0  lub  1).  Nazywanych  tak¿e
binarnymi lub dwójkowymi.

Spróbujemy przedstawiæ kolejne cy-

fry  dziesiêtne  od  0÷9  za  pomoc¹  liczb
dwójkowych.  Jedna  cyfra  przyjmuj¹ca
stan 0 lub 1 mo¿e przedstawiæ dwie war-
toœci.  Dwie  cyfry  dwójkowe  umo¿liwiaj¹

Y=X1

Y=X1 . X2

Y=X1

Rys. 2 Elementy logiczne równowa¿ne

Przyk³ady realizacji funkcji
logicznej

. X3

X1 X3

. X3

X1+X2

Y=(X1+X2) X3

Rys. 3 Realizacja funkcji za pomoc¹

elementów OR i AND

Kodowanie i dekodowanie –

liczby dwójkowe

11/98

uzyskanie 2×2 = 4 kombinacji i tym sa-
mym przedstawienie 4 wartoœci. Dodanie
kolejnej  cyfry  dwójkowej  zwiêksza  dwu-
krotnie  iloœæ  mo¿liwych  wartoœci.  Zapis
sk³adaj¹cy siê z n cyfr dwójkowych umo¿-
liwia  przedstawienie    2n wartoœci.  Trzy
cyfry  umo¿liwiaj¹  przedstawienie  8  war-
toœci.  Chc¹c  uzyskaæ  nasze  10  wartoœci
musimy wykorzystaæ cztery cyfry dwójko-
we,  chocia¿  za  ich  pomoc¹  mo¿emy
przedstawiæ  a¿  16  wartoœci.  Cyfry  te
oznaczymy kolejno n0, n1, n2, n3.

Proces przedstawienia kolejnych war-

toœci  liczby  dziesiêtnej  za  pomoc¹  odpo-
wiedniego  zestawu  0  i  1  cyfr  binarnych
nazywa siê kodowaniem. Kodem nazwie-
my tablicê, w której ka¿dej liczbie zmien-
nej  dyskretnej  przypisuje  siê  kombinacjê
cyfr dwójkowych.

Istniej wiele kodów stworzonych do

ró¿nych  celów.  Najbardziej  popularnym
jest tzw. naturalny kod dwójkowy. W ko-
dzie tym poszczególne pozycje cyfr posia-
daj¹  tzw.  wagê.  Wag¹  nazwiemy  cyfrê  2
podniesion¹  do  potêgi  odpowiadaj¹cej
pozycji cyfry. Potêgi te zaczynaj¹ siê od 0.
Na pozycji skrajnej prawej zawsze wystê-
puj¹ jednoœci (20 = 1). Waga tej pozycji

wynosi 1. Jedynka binarna na tej pozycji
odpowiada 1 dziesiêtnej. Zero odpowia-
da 0 dziesiêtnemu. Kolejna pozycja ma
wagê

(21

2),

nastêpna

22 = 4, kolejna 23 = 8 itd. Pojêcie wagi
pomaga przy zamianie liczb dwójkowych
na dziesiêtne np.:

Kod zawarty w powy¿szej tablicy pre-

zentuje kod binarny dla pierwszych dzie-
siêciu cyfr dziesiêtnych. Jest on czêsto wy-
korzystywany do przedstawiania cyfr
dziesiêtnych i nazywany jest kodem bi-
narno – dziesiêtnym, kodem BCD.

Na liczbach binarnych mo¿na reali-

zowaæ  operacje  arytmetyczne  wykorzy-
stuj¹c  te  same  zasady  co  przy  liczbach
dziesiêtnych. Operacje na liczbach dwój-
kowych  wykonuj¹  w³aœnie  komputery.
Zauwa¿my,  ¿e  w  systemie  dwójkowym
1 + 1 = 10, a 10 - 1 = 1.

Podobnie jak przy liczbach dziesiêt-

nych suma sk³ada siê liczby S na tej samej
pozycji i tzw. przeniesienia C na wy¿sz¹
pozycjê.

Przedstawimy

sumowanie

dwóch zmiennych X1 i X2 w postaci tabli-
cy stanów.

Uk³ad realizuj¹cy operacje dodawa-

nia  dwóch  cyfr  binarnych  nazywany  jest
pó³sumatorem. Trzeba podkreœliæ, ¿e do-
dawanie  nie  jest  równowa¿ne  z  funkcj¹
logiczn¹  OR.  Dodawanie  dwóch  cyfr  1
daje sumê S = 0 i przeniesienie C = 1.

Suma logiczna da wynik 1. Na podstawie
tablicy stanów pó³sumatora mo¿na okre-
œliæ jego funkcje logiczn¹.

Dwie realizacje tej funkcji przedsta-

wiono na rysunku 5.

Proponujê samodzielne sprawdzenie

poprawnoœci tych uk³adów.

Funkcja S opisana podanym wy¿ej

równaniem jest czêsto wykorzystywana w
praktyce i nazywana jest ró¿nic¹
symetryczn¹ lub XOR. Okreœlona jest
nastêpuj¹c¹ tablic¹ stanów:

Zabieg odwrotny do kodowania, czy-

li  realizuj¹cy  ponowne  odzyskanie  zako-
dowanej liczby nazywany jest dekodowa-
niem.  Dekodowanie  mo¿e  byæ  przedsta-
wione  w  postaci  wyra¿eñ  logicznych
i  zrealizowane  na  elementach  logicz-
nych.  Uk³ady  dekoduj¹ce  nazywane  s¹
dekoderami.

Jako przyk³ad rozwa¿ymy funkcjê

i uk³ad dekodera wykrywaj¹cego kombi-
nacjê cyfr binarnych (0101) odpowiada-
j¹c¹ liczbie dziesiêtnej 5. Kolejnym pozy-
cjom liczby binarnej od n_0 do n_3 przy-
piszemy zmienne X1 do X4. Wyst¹pienie
podanej kombinacji po-winno na wyjœciu
uk³adu dawaæ stan Y = 1. Zadanie to re-
alizuje równanie logiczne o postaci:

Odpowiedni zaœ uk³ad logiczny deko-

dera pokazuje rysunek 6.

Uk³ad ten zawiera dwa inwertery

(NOT) i czterowejœciow¹ bramkê NOR.
Tak¿e proponujê Czytelnikom sprawdze-
nie poprawnoœci dzia³ania tego uk³adu.

n n n

Rys. 5 Realizacje pó³sumatora

Rys. 6 Uk³ad logiczny dekodera

Liczba dziesiêtna Kod 1248

R.K.

X2 X3

+ X2 X3

X1 X3

. X3

X2
X3

X1 + X2

(X1+X2) X3

Rys. 4 Realizacja funkcji z wykorzystaniem

elementów NOR i NAND

11/98