Am2 pd.11

zad.1

Obliczyć z definicji pochodną kierunkową funkcji

y

x

y

x

f

3

)

,

(



w punkcie

)

2

,

1

(

0



P

w kierunku wersora

dwusiecznej pierwszej ćwiartki.
Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie

)

2

,

1

(

0



P

.

Zad.2

Obliczyć pochodną kierunkową funkcji





2

,

,

x

y

z

y

x

f

z



w punkcie

)

2

,

,

1

( e

P

w kierunku wektora





2

,

1

,

2





v

.

Wyznaczyć kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie

)

2

,

,

1

( e

P

.

zad.3 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach

a)

dxdy

y

x

D





2

2

1

]

1

,

0

[

]

2

,

1

[







D

b)

dxdy

y

x

xy

D



ln

]

2

,

1

[

]

,

1

[





e

D

zad.4 Zmienić kolejność całkowania, naszkicować obszar całkowania

a)

 







2

6

2

1

4

2

)

,

(

x

x

dy

y

x

f

dx

b)

 





0

2

0

4

2

)

,

(

y

dx

y

x

f

dy

c)









1

0

1

1

2

)

,

(

y

y

dx

y

x

f

dy

d)





 





3

1

2

/

)

3

(

0

1

0

0

)

,

(

)

,

(

2

x

x

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

e)





 









2

1

3

4

1

0

1

0

0

2

)

,

(

)

,

(

x

x

x

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

zad.5 Naszkicować obszar całkowania, zmienić kolejność całkowania

a)

 





0

1

)

,

(

x

e

e

x

dy

y

x

f

dx

, b)

 



1

1

1

ln

)

,

(

e

x

x

dy

y

x

f

dx

, c)

 

e

e

x

x

dy

y

x

f

dx

1

ln

)

,

(

.

zad.5 Obliczyć całki

a)



D

ydxdy

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

2

2

1

1

,

1

,

1

,

2

y

x

y

y

x

y

















.

Wskazówka:

=1, opisz obszar względem osi Oy.

b)





P

dxdy

y

x

x

)

,

min(

]

3

,

1

[

]

2

,

1

[







P

.

zad.6

Obliczyć średnią całkową funkcji

)

(

4

1

1

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f







w obszarze ograniczonym podanymi liniami

1

,

0

,

1

,

1











x

x

y

y

. Podać interpretację geometryczną otrzymanej średniej całkowej.

Zad.7

Obliczyć całkę









x

dy

y

x

dx

1

0

2

2

1

0

)

(

. Narysować bryłę, której objętość jest równa tej całce.

zad.8

Obliczyć całkę

dxdydz

x

z

V





4

2

gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami

1

2





y

z

,

0



z

,

0



x

,

2



x

. Naszkicować obszar całkowania V.

Zad.9

Am2 pd.11

Obliczyć całkę



V

ydxdydz gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami

2

1

,

,

0

x

y

y

z

z









. Naszkicować obszar całkowania V.

Odp.

zad.1

8

2

7

, kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie

)

2

,

1

(

0



P

wskazuje gradient funkcji w

tym punkcie













4

1

,

2

3

)

2

,

1

(

gradf

.

Oczywiście można podać wektor równoległy i zgodnie skierowany z gradientem .

Zad.2

)

1

(

3

2

)

2

,

,

1

(

e

e

e

i

f

v











kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie

)

2

,

,

1

(

0

e

P

wskazuje kierunek





2

2

,

2

,

2

)

2

,

,

1

(

e

e

e

e

gradf





.

Zad.3 a)

4

3



, b)

)

1

(

2

ln

4

3

2

2

e

e





.

Zad.4

a)









 

























8

0

2

1

2

0

1

1

2

1

2

2

6

2

1

4

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

y

y

y

y

x

x

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

;

b)

 

 













0

4

0

4

0

2

0

4

)

,

(

)

,

(

2

x

y

dy

y

x

f

dx

dx

y

x

f

dy

;

c)





 















2

1

2

0

1

0

0

1

0

1

1

2

2

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

x

x

y

y

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

dx

y

x

f

dy

;

d)









 









y

y

x

x

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

2

3

1

0

3

1

2

/

)

3

(

0

1

0

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

;

e)









 















1

0

2

2

2

1

3

4

1

0

1

0

0

2

2

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

y

y

x

x

x

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

.

Zad.5

a)

 

 

 











1

1

0

ln

1

0

0

0

1

)

,

(

)

,

(

)

,

(

e

y

e

ey

e

e

x

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

x

,

b)

 

 

 













e

y

e

e

e

e

x

x

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

y

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

ln

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

c)

 

 

 

 







e

y

x

e

e

e

y

e

e

e

e

e

x

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

f

dy

dx

y

x

f

dy

dy

y

x

f

dx

ln

1

1

1

0

1

1

ln

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

.

Zad.5 a)





7

3

3

15

2



wsk.



















2

1

1

2

1

1

y

y

D

ydx

dy

ydxdy

, b)

2

11

.

Am2 pd.11

Zad.6

6

5

Zad.7

6

1 , całka jest równa objętości bryły ograniczonej powierzchnią paraboloidy

2

2

y

x

z





i

płaszczyznami

x

y

z

y

x











1

,

0

,

0

,

0

.

Zad.8

15





Zad.9

105

32