AM2 pd.5 2011/12

Zad.1 Naszkicować wykresy funkcji

a)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f





, b)

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

f







,

c)

2

2

)

1

(

)

,

(







y

x

y

x

f

,

d)

)

(

4

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f







,

e)

2

2

4

2

1

)

,

(

y

y

x

x

y

x

f











.

Zad.2 Wykazać, że nie istnieje granica

2

2

0

0

2

lim

y

x

xy

y

x







.

Zad.3 Obliczyć granicę

1

1

lim

)

0

,

0

(

)

,

(







xy

xy

y

x

.

Zad.4 Wykazać, że

0

lim

2

2

)

0

,

0

(

)

,

(







y

x

xy

y

x

.

Zad.5 Wyznaczyć warstwice funkcji

y

x

y

x

f





2

)

,

(

, a następnie najmniejszą i największą wartość

tej funkcji na zbiorze A, gdzie

}

2

3

,

4

1

:

)

,

{(

2

















y

x

R

y

x

A

.

Zad.6 Wyznaczyć warstwice funkcji

x

ye

y

x

f





)

,

(

, a następnie najmniejszą i największą wartość tej

funkcji na zbiorze T, gdzie





2

2

1

1

:

)

,

(

2

















x

y

y

x

R

y

x

T

,

Zad.7 Dla funkcji

2

2

4

2

)

,

(

y

y

x

x

y

x

f







wyznaczyć warstwice, a następnie najmniejszą i

największą wartość na zbiorze





4

:

)

,

(

2

2

2









y

x

R

y

x

K

.

Zad.8

Zbadać ciągłość funkcji

a)

























0

,

0

0

1

)

1

ln(

)

,

(

y

R

x

dla

x

y

xy

dla

y

xy

y

x

f

b)

















)

0

,

0

(

)

,

(

0

)

0

,

0

(

)

,

(

)

,

(

4

2

4

y

x

dla

y

x

dla

y

x

xy

y

x

f

.

ODP.

Zad.1 d) dolna półsfera o środku

)

1

,

2

,

1

(

i promieniu

5

Sfera o środku

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

i promieniu R ma równanie



 

 



2

2

0

2

0

2

0

R

z

z

y

y

x

x













(Zbiór punktów, których odległość od punktu

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

jest równa R.)

Zatem

górna półsfera



 



2

0

2

0

2

0

y

y

x

x

R

z

z













dolna półsfera



 



2

0

2

0

2

0

y

y

x

x

R

z

z













2

2

2

2

)

2

(

)

1

(

5

1

4

2

1

)

,

(























y

x

y

y

x

x

y

x

f

Zad.3 2

Zad.5

R

R

f

na



2

:

Jeżeli

R

c



, to

c

y

x

f



)

,

(

gdy

c

x

y





2

.

4

)

2

,

1

(

)

,

(

min

)

,

(











f

y

x

f

A

y

x

,

11

)

3

,

4

(

)

,

(

max

)

,

(









f

y

x

f

A

y

x

Zad.6

R

R

f

na



2

:

. Jeżeli

R

c



, to

c

y

x

f



)

,

(

gdy

x

ce

y



.

1

)

,

(

)

1

,

1

(

)

,

(

min









e

f

y

x

f

T

y

x

,

2

)

2

,

0

(

)

,

(

max

)

,

(







f

y

x

f

T

y

x

zad.7

AM2 pd.5 2011/12

0

)

(

)

,

(

2

2







y

x

y

x

f

,

)

,

0

:

2







na

R

f

.

Jeżeli

0



c

, to

c

y

x

f



)

,

(

gdy

c

x

y





2

.

0

)

,

(

min

)

,

(





y

x

f

K

y

x

,

16

1

18

)

,

(

max

)

,

(





y

x

f

K

y

x

Zad.8

a) funkcja ciągła we wszystkich punktach dziedziny.
Zauważ, że dla

0

0



x

otrzymujemy

)

0

,

(

1

)

1

ln(

lim

)

1

ln(

lim

)

,

(

lim

0

0

0

)

0

,

(

)

,

(

)

0

,

(

)

,

(

)

0

,

(

)

,

(

0

0

0

x

f

x

x

x

xy

xy

y

xy

y

x

f

x

y

x

x

y

x

x

y

x

























Wykorzystano

1

1

1

lim

)

1

ln(

lim

0

0

0

0





















t

t

t

t

H

t

b) funkcja ciągła
W punktach

)

0

,

0

(

)

,

(



y

x

funkcja jest ciągła (uzasadnij dlaczego?). Pokażemy, że jest ciągła również

w punkcie (0,0), ponieważ

)

0

,

0

(

0

lim

4

2

4

0

0

f

y

x

xy

y

x











.

Z definicji Cauchy’ego, pokażemy że

0

lim

4

2

4

0

0









y

x

xy

y

x

Korzystamy z nierówności (odpowiednik

0

2

)

(

2

2

2











ab

b

a

b

a

)





0

2

2

4

2

2

2











y

x

y

x

y

x

,

skąd dostajemy oszacownie

2

1

4

2

2





y

x

y

x

.

Niech



będzie dowolną dodatnią liczbą. Weźmy punkty należące do sąsiedztwa punktu

)

0

,

0

(

o

promieniu





2



, czyli





2

0

2

2









y

x

a zatem zachodzą nierówności



2



y

czyli



2

2



y

.

Stąd dla

)

0

,

0

(

)

,

(



y

x























2

2

1

2

1

0

0

)

,

(

2

4

2

4

4

2

4

y

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

f

.