AM2 wykład 8 2011/12

18.04.2012

23

N

AJWIĘKSZA

,

NAJMNIEJSZA WARTOŚĆ FUNKCJI NA ZADANYM ZBIORZE

Tw (Weierstrassa 1815-1897)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym, to istnieją w tym zbiorze punkty, w
których funkcja przyjmuje swoje kresy.

R

D

f



:

,

n

R

D



D

x

x





2

1

,

)

(

inf

)

(

1

x

f

x

f

D

x





,

)

(

sup

)

(

2

x

f

x

f

D

x





.

Tzn. istnieją punkty

D

x

x



2

1

,

, takie że

D

x

dla

x

f

x

f





)

(

)

(

1

D

x

dla

x

f

x

f





)

(

)

(

2

.

Jeżeli w punkcie

1

x

funkcja f osiąga wartość najmniejszą, to

albo
1) punkt

1

x

należy do wnętrza zbioru D i wówczas funkcja f osiąga w punkcie

1

x

ekstremum

lokalne
albo
2) punkt

1

x

jest punktem brzegowym zbioru D.

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla punktu

2

x

.

Wnioskujemy stąd, że
wartości największą oraz najmniejszą funkcji na zadanym zbiorze poszukujemy wśród punktów, w
których funkcja osiąga ekstrema lokalne lub wśród punktów leżących na brzegu zbioru.

Przykład
Wyznaczyć wartość największą oraz najmniejszą funkcji

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f





na domkniętym trójkącie o wierzchołkach

)

1

,

1

(

),

1

,

3

(

),

3

,

1

(









C

B

A

.

E

KSTREMUM WARUNKOWE

Niech

R

D

f



:

,

n

R

D



. Będziemy szukać ekstremów funkcji f na zbiorze

D

M



.

Niech będą dane funkcje n zmiennych określone na zbiorze otwartym D,

n

R

D



R

D

f



:

,

R

D

g

i



:

,

m

i

,

,

2

,

1





n

m





1

.

Określmy zbiór





m

i

x

g

D

x

M

i

,...

2

,

1

,

0

)

(

:









.

Zakładamy, że zbiór M jest niepusty.

D

EF

:

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

0

x e kstremum warunkowe związane warunkiem M, jeżeli funkcja f

rozważana na zbiorze M (

M

f

) ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne.

Przykład

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f





,

2

)

,

(







y

x

y

x

g

rozwiązanie analitycznie





x

x

f

x

g





2

,

)

(

AM2 wykład 8 2011/12

18.04.2012

24

M

ETODA MNOŻNIKÓW

L

AGRANGE

’

A

Funkcję

R

D

L



:

określoną wzorem

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

x

g

x

g

x

g

x

f

x

L

m

m

















nazywamy funkcją Lagrange’a dla problemu ekstremum warunkowego zadanego funkcjami f oraz

m

g

g

g

,

,

,

2

1



. Stałe

R

i





,

m

i

,

,

2

,

1





nazywamy mnożnikami Lagrange’a.

T

W

warunek konieczny

Zakładamy, że
funkcje

m

g

g

g

f

,

,

,

,

2

1



są klasy

1

C w pewnym otoczeniu punktu

0

x ,

0

)

(

0



x

gradf

,

m

x

x

g

rz

mxn

j

i























)

(

0

lub równoważnie wektory

)

(

,

),

(

),

(

0

0

2

0

1

x

gradg

x

gradg

x

gradg

m



są liniowo

niezależne.

Jeżeli

f ma w

M

x



0

ekstremum lokalne warunkowe, to istnieją liczby

m







,

,

,

2

1



, takie, że

0

)

(

0



x

gradL

.

W

NIOSEK

Ekstremum warunkowego należy poszukiwać wśród punktów, które spełniają układ

m

n



równań

































0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

)

(

1

1

x

g

x

g

x

L

x

L

m

x

x

n































































M

x

x

g

x

g

x

gradL

x

L

x

L

m

x

x

n

0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

)

(

1

1





z

m

n



niewiadomymi

m

n

x

x

x







,

,

,

,

,

,

,

2

1

,

2

1





.

AM2 wykład 8 2011/12

18.04.2012

25

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY

T

W WARUNEK WYS TARCZAJĄCY

Jeżeli funkcje

m

g

g

g

f

,

,

,

,

2

1



jest klasy

)

(

2

D

C

,

w punkcie

0

x

spełnione są warunki konieczne

istnienia ekstremum warunkowego oraz

0

)

)(

(

0

2



h

x

L

d























0

)

)(

(

0

2

h

x

L

d

dla

0



h

i takich, że

























































0

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

1

0

1

0

1

2

0

2

1

1

0

1

1

n

n

m

m

m

n

n

h

x

x

g

h

x

x

g

h

x

x

g

h

x

x

g

h

x

x

g

h

x

x

g







***

to w punkcie

0

x

jest lokalne minimum warunkowe funkcji f (

lokalne maksimum warunkowe

).

Wyznaczyć

h spełniające układ

(***) to wyznaczyć jądro przekształcenia liniowego o macierzy

mxn

j

i

x

x

g





















)

(

0

.

W

ARUNEK WYKLUCZAJĄCY

Jeżeli różniczka

)

)(

(

0

2

h

x

L

d

przyjmuje wartości dodatnie i ujemne (jest nieokreślona) dla h spełniających warunek ***, to
funkcja f nie ma ekstremum warunkowego w punkcie

0

x

.

ZAD

R

OZWIĄZAĆ METODĄ

L

AGRANGE

’

A

1.Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

y

x

y

x

f

3

4

6

)

,

(







przy warunku

1

2

2





y

x

.

2. Dodatnią liczbę a przedstawić w postaci sumy 3 dodatnich składników, tak aby ich iloczyn był
jak największy.