Am2 2011/12 pd.6,7

6

Zad.1 Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy w punkcie (0,0) funkcja ma ekstremum lokalne

a)

y

x

y

x

f





sin

)

,

(

; b)

y

x

y

x

f

3

)

,

(



; c)

2

4

)

,

(

y

x

y

x

f



; d)

2

4

)

,

(

y

x

y

x

f





; e)

6

4

2

5

)

,

(

y

x

y

x

f







zad.2 Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej wzorem

a)

y

x

y

x

y

y

x

f

6

)

,

(

2









;

b)

1

6

8

3

3









xy

y

x

z

;

c)

2

2

4

4

2

4

2

)

,

(

y

xy

x

y

x

y

x

f











;

d)

y

x

xy

y

x

y

x

f

ln

10

ln

4

)

,

(

2

2











;

e)

)

2

5

(

)

,

(

2

y

x

e

y

x

f

y

x









,

f)

z

y

z

x

y

x

z

y

x

f

2

4

)

,

,

(

2

2









; w obszarze

0

,

0

,

0







z

y

x

;

P.Wolińska

g)

z

y

z

x

y

x

z

y

x

f

2

3

3

)

,

,

(









,

P.Więcek

Zad.3 Wyznaczyć ekstrema lokalne funcji

a)

xy

y

x

y

x

y

x

f







2

2

3

)

,

(

b)





y

x

y

x

y

x

f







12

)

,

(

2

3

P.Iżycki

c)





2

2

2

2

3

)

,

(

y

x

y

x

y

x

f









Zad.4 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na podanym zbiorze

a)

x

y

x

y

x

f







2

2

2

)

,

(

w zbiorze





0

,

1

:

)

,

(

2

2

2











y

y

x

R

y

x

A

;

b)

y

y

x

x

y

x

f

6

2

)

,

(

2

2









w zbiorze





4

:

)

,

(

2









y

x

R

y

x

A

;

c)

)

4

(

)

,

(

2

y

x

y

x

y

x

f







w trójkącie o wierzchołkach

)

6

,

0

(

),

0

,

6

(

),

0

,

0

(

C

B

A

.

d)

)

3

(

)

,

(

2

2

2

y

x

e

y

x

f

x







w trójkącie o wierzchołkach

)

2

,

2

(

),

0

,

2

(

),

0

,

0

(

C

B

A

.

e)

2

2

4

2

)

,

(

y

y

x

x

y

x

f







w zbiorze





4

:

)

,

(

2

2

2









y

x

R

y

x

A

;

Zad.5

Spośród prostopadłościanów o objętości 1 wybrać prostopadłościan o najmniejszym polu powierzchni.
odpowiedzi
Zad.1

a) nie; b) nie; c) w (0,0) minimum niewłaściwe, d) nie; e) maksimum właściwe
zad.2
a)

12

)

4

,

4

(

max





f

f

b)

0

)

2

1

,

1

(

min





z

z

;

c) minimum w punktach

)

2

,

2

(

1



P

)

2

,

2

(

2



P

równe -8;

d) minimum

2

ln

10

7

)

2

,

1

(





f

;

e) punkt stacjonarny

)

2

,

1

(



, brak ekstremum

f) minimum

4

)

1

,

1

,

(

2

1



f

;

g) punkty stacjonarne

































4

1

,

4

1

,

2

1

,

4

1

,

4

1

,

2

1

B

A

minimum lokalne właściwe

2

1

4

1

,

4

1

,

2

1

















f

Am2 2011/12 pd.6,7

7

maksimum lokalne właściwe

2

1

4

1

,

4

1

,

2

1



















f

Zad.3
a) punkty stacjonarne

)

1

,

1

(

),

0

,

1

(

),

0

,

0

(





C

B

A

, w żadnym punkcie nie ma ekstremum ( wyznacznik

stopnia drugiego jest ujemny)
b) punkty stacjonarne

)

4

,

6

(

A

,

R

x

x

B



)

0

,

(

,

R

y

y

C



)

,

0

(

w A maksimum lokalne właściwe

5

3

2

6

)

4

,

6

(



f

w

)

0

,

(x

B

dla

0



x

oraz

12



x

maksimum lokalne niewłaściwe równe 0,

w

)

0

,

(x

B

dla

12

0





x

minimum lokalne niewłaściwe równe 0,

brak ekstremum w punktach

)

0

,

12

(

oraz w punktach

R

y

y

C



)

,

0

(

c) maksimum lokalne właściwe

0

)

0

,

0

(



f

, minimum lokalne niewłaściwe równe –2 w punktach

okręgu

1

2

2





y

x

Zad.4

a) najmniejszą i największą wartość funkcji na półkolu należy wybrać spośród wartości funkcji f w

punktach













 















2

3

,

2

1

,

0

,

2

1

),

1

,

0

(

),

0

,

1

(

4

1

0

,

2

1

)

,

(

min

)

,

(





















f

y

x

f

A

y

x

4

1

2

2

3

,

2

1

)

,

(

max

)

,

(























f

y

x

f

A

y

x

b) najmniejszą i największą wartość funkcji na zadanym zbiorze należy wybrać spośród wartości
funkcji f w punktach

)

3

,

1

(

),

1

,

3

(

),

4

,

0

(

),

0

,

4

(

),

4

,

0

(

),

0

,

4

(









10

)

3

,

1

(

)

,

(

min

)

,

(











f

y

x

f

A

y

x

40

)

4

,

0

(

)

,

(

max

)

,

(









f

y

x

f

A

y

x

c) punkty, które należy uwzględnić obliczając wartość najmniejszą i największą to

)

1

,

2

(

),

0

,

6

(

),

6

,

0

(

),

0

,

0

(

64

)

2

,

4

(

)

,

(

min

)

,

(









f

y

x

f

A

y

x

4

)

1

,

2

(

)

,

(

max

)

,

(







f

y

x

f

A

y

x

d)

2

)

,

(

2

)

1

,

1

)

,

(

min

e

f

y

x

f

A

y

x









2

)

,

(

1

)

0

,

1

(

)

,

(

max

e

f

y

x

f

A

y

x







należy uwzględnić punkty

)

2

,

2

(

),

0

,

2

(

),

0

,

0

(

C

B

A

oraz

)

0

,

1

(

),

1

,

1

(

e) najmniejsza wartość 0, największa

16

289

.

zad.5 tym prostopadłościanem jest sześcian o boku 1