AM2 pd.4 2011/12

Zadania z ćwiczeń i zadania domowe
Zad.1
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

x

x

f



)

(

w przedziale









,



.

Odp.

nx

n

x

x

x

x

x

n

n

sin

)

1

(

2

4

sin

2

1

3

sin

3

2

2

sin

sin

2

1

1

































,





x

Naszkicować wykres funkcji będącej sumą otrzymanego szeregu trygonometrycznego.

Odp.

nx

n

x

x

x

x

x

S

n

n

sin

)

1

(

2

4

sin

2

1

3

sin

3

2

2

sin

sin

2

)

(

1

1

























R

x



Zgodnie z twierdzeniem

)

(

)

2

(

x

S

x

S







R

x



x

x

f

x

S





)

(

)

(

w punktach ciągłości funkcji f czyli w przedziale









,



.































)

(

lim

)

(

lim

2

1

)

(

)

(

x

f

x

f

S

S

x

x































x

dla

x

dla

x

x

S

0

)

,

(

)

(

zad.2
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

2

)

(

x

x

f



w przedziale





1

,

1

.

Odp.

x

n

n

x

x

x

x

n

n

















cos

)

1

(

4

3

cos

9

4

2

cos

1

cos

4

3

1

1

2

2

2

2

2

2





























1

,

1

x

x

n

n

x

x

x

x

S

n

n

















cos

)

1

(

4

3

cos

9

4

2

cos

1

cos

4

3

1

)

(

1

2

2

2

2

2























)

(

)

2

(

x

S

x

S





R

x



zad. 3

Korzystając z zad.2 obliczyć sumę szeregu liczbowego







1

2

1

n

n

.

odp.wsk.

n

n

)

1

(

cos







;

6

1

2

1

2











n

n

zad.4
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

x

x

f

sin

)

(



w przedziale









,

.

Odp. funkcja f jest parzysta

0



n

b

,



4

0



a

,



















parzystych

n

dla

n

ych

nieparzyst

n

dla

a

n

1

4

0

2



nx

n

x

x

x

x

n

2

cos

1

4

1

4

2

6

cos

35

1

4

cos

15

1

2

cos

3

1

4

2

sin

1

2













































,

R

x



.

Wsk. Przyda się wzór





)

sin(

)

sin(

2

1

sin

sin

y

x

y

x

y

x









.

zad.5

Przygotowują p.Krajewski,Nowicki gr.1,2; P. Dąbrowski,p.Knapińska gr.3,4

Rozwinąć funkcję

2

4

)

(

x

x

f







dla

)

,

0

(





x

a) w szereg cosinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
b) w szereg sinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
Wsk. W szereg sinusów rozwijają się funkcje nieparzyste. Wystarczy zatem rozważyć w
przedziale

)

,

(







funkcję g, taką że g jest funkcją nieparzystą i na przedziale

)

,

0

(



równą

zadanej funkcji f.