MAP1149 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A
MAP1150 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B
Listy zadań
Lista 1
1.1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
a) f (x, y) =
3x
2x − 5y
;
b) f (x, y) =
sin x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
;
c) f (x, y) =
x
2
y
px
2
+ y
2
− 25
;
d) f (x, y) = ln
x
2
+ y
2
− 4
9 − x
2
− y
2
;
e) f (x, y, z) =
√
x +
py − 1 +
√
z − 2;
f) f (x, y, z) = arc sin x
2
+ y
2
+ z
2
− 2
.
1.2. Wykresy (rys. a)–c)) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys. A)–C)) wykonanymi dla h =
2,
3
2
, 1,
1
2
, 0:
a)
x
y
z
z
=
√
x
2
+y
2
b)
x
y
z
z
=
√
4−(x
2
+y
2
)
c)
x
y
z
z
=
1
2
(
x
2
+y
2
)
A)
x
y
2
B)
x
y
2
C)
x
y
2
1.3. Naszkicować wykresy funkcji:
a) f (x, y) = 1 −
px
2
+ y
2
;
b) f (x, y) =
p3 + 2x − x
2
− y
2
;
c) f (x, y) = x
2
− 2x + y
2
+ 2y + 3;
d) f (x, y) = sin y;
e) f (x, y) = x
2
− 1;
f) f (x, y) = 1 − |x|.
1.4. Uzasadnić, że nie istnieją granice funkcji:
a)
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
y
2
x
4
+ y
4
;
b)
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
y
x
4
+ y
2
;
c)
lim
(x,y)→(π,0)
sin
2
x
y
2
;
d)
lim
(x,y)→(1,1)
x + y − 2
x
2
+ y
2
− 2
.
1.5. Obliczyć granice funkcji:
a)
lim
(x,y)→(0,0)
1 − cos x
2
+ y
2
(x
2
+ y
2
)
2
;
b)
lim
(x,y)→(0,0)
xy
2
x
2
+ y
2
;
c)
lim
(x,y)→(0,0)
x
4
− y
4
x
2
− y
2
;
d)
lim
(x,y)→(1,2)
x
2
y
2
− 4x
2
− y
2
+ 4
xy − 2x − y + 2
;
e)
lim
(x,y)→(0,0)
tg x
3
− y
3
x − y
;
f)
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
+ y
2
sin
1
xy
.
1
1.6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x, y) = x
2
− xy + 1, (0, 1);
b) f (x, y) =
x + y
x
, (1, 1);
c) f (x, y) =
x
3
+ y
3
px
2
+ y
2
dla
(x, y) 6= (0, 0)
0 dla
(x, y) = (0, 0)
, (0, 0);
d) f (x, y, z) =
xy
2
z
, (0, 1, 1);
e) f (x, y, z) = y
r z
x
, (1, 1, 1).
1.7. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
a) f (x, y) =
x
2
+ y
2
xy
;
b) f (x, y) = arc tg
1 − xy
x + y
;
c) f (x, y) = e
sin
y
x
;
d) f (x, y, z) = x
2
+
xz
y
+ yz
3
;
e) f (x, y, z) =
x
x
2
+ y
2
+ z
2
;
f) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).
1.8. Sprawdzić czy podana funkcja spełnia wskazane równanie:
a) f (x, y) = ln x
2
+ xy + y
2
,
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 2;
b) f (x, y) =
√
x sin
y
x
,
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
=
f
2
.
Lista 2
2.1. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząst-
kowe mieszane są równe:
a) f (x, y) = sin x
2
+ y
2
;
b) f (x, y) = xe
xy
;
c) f (x, y) = x +
y
x
;
d) f (x, y) = y ln xy;
e) f (x, y, z) =
1
px
2
+ y
2
+ z
2
;
f) f (x, y, z) = ln x
2
+ y
4
+ z
6
+ 1
.
2.2. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe funkcji:
a)
∂
3
f
∂x∂y
2
, f (x, y) = sin xy;
b)
∂
4
f
∂y
2
∂x∂y
, f (x, y) =
x + y
x − y
;
c)
∂
3
f
∂x∂y∂z
, f (x, y, z) =
x
2
y
3
z
;
d)
∂
5
f
∂x∂y
2
∂z
2
,
f (x, y, z) = e
xy
+z
.
2.3. Sprawdzić, że funkcje:
a) z = arc tg
y
x
;
b)z = x +
r
x
y
;
c)z = x + ln
1 +
y
x
;
d)z = x +
√
xy
spełniają warunek
x
2
∂
2
z
∂x
2
+ 2xy
∂
2
z
∂x∂y
+ y
2
∂
2
z
∂y
2
= 0,
gdzie x, y > 0.
2.4. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
a) z = x
2
py + 1, (x
0
, y
0
, z
0
) = (1, 3, z
0
);
b) z = e
x
+2y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) = (2, −1, z
0
);
c) z =
arc sin x
arc cos y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) =
−
1
2
,
√
3
2
, z
0
!
;
d) z = x
y
,
(x
0
, y
0
, z
0
) = (2, 4, z
0
).
2.5. a) Na wykresie funkcji z = arc tg
x
y
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
płaszczyzny x + y − z = 5.
b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg
1 − xy
x + y
, która jest prostopadła do
prostej x =
t
2
, y =
t
2
, z = t, gdzie t ∈ R.
2
2.6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierun-
kach:
a) f (x, y) = 2|x| + |y|,
(x
0
, y
0
) = (0, 0),
~v =
√
2
2
,
√
2
2
!
;
b) f (x, y) =
3
√
xy,
(x
0
, y
0
) = (1, 0),
~v =
√
3
2
,
1
2
!
;
c) f (x, y, z) = x
2
+ yz,
(x
0
, y
0
, z
0
) = (−1, 0, 1),
~v =
3
13
,
4
13
,
12
13
.
2.7. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
a) f (x, y) = x
2
+ y
2
, (x
0
, y
0
) = (−3, 4), ~v =
12
13
,
5
13
;
b) f (x, y) = x −
y
x
2
+ y, (x
0
, y
0
) = (1, 1), ~v =
3
5
, −
4
5
;
c) f (x, y, z) = a − e
xyz
, (x
0
, y
0
, z
0
) = (−1, 1, −1), ~v =
1
2
, −
3
4
,
√
3
4
!
;
d) f (x, y, z) = sin yz + cos xz − sin (cos xy), (x
0
, y
0
, z
0
) = (0, 0, 0), ~v =
2
3
,
1
3
, −
2
3
.
2.8. a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x
2
+ 2 ln(xy). w punkcie
−
1
2
, −1
w kierunku
wersora ~v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α, pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
b) Wyznaczyć wersory ~v, w kierunku których funkcja f (x, y) =
√
e
x
x + y
2
w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
Lista 3
3.1. Znaleźć ekstrema funkcji:
a) f (x, y) = 3(x − 1)
2
+ 4(y + 2)
2
;
b) f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3xy;
c) f (x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 51x − 24y;
d) f (x, y) = e
−
(
x
2
+y
2
+2x
);
e) f (x, y) = xy
2
(12 − x − y), gdzie x, y > 0;
f) f (x, y) =
8
x
+
x
y
+ y; gdzie x, y > 0.
3.2. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
a) f (x, y) = x
2
+ y
2
, 3x + 2y = 6;
b) f (x, y) = x
2
+ y
2
− 8x + 10, x − y
2
+ 1 = 0;
c) f (x, y) = x
2
y − ln x, 8x + 3y = 0;
d) f (x, y) = 2x + 3y, x
2
+ y
2
= 1.
3.3. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a) f (x, y) = 2x
3
+ 4x
2
+ y
2
− 2xy, D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
¬ y ¬ 4
;
b) f (x, y) = x
2
+ y
2
− 6x + 4y, D =
(x, y) ∈ R
2
: x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x 0, y 0
;
c) f (x, y) = x
2
+ y
2
, D =
(x, y ∈ R
2
: |x| + |y| ¬ 2
;
d) f (x, y) = xy
2
+ 4xy − 4x, D =
(x, y) ∈ R
2
: −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0
;
e) f (x, y) = x
4
+ y
4
, D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ 9
;
f*) f (x, y) =
x
2
− 1
y
2
− 1
(x
2
+ y
2
+ 2)
2
, D = R
2
.
3.4. a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x
0
, y
0
), dla
którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
3
c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
k :
x + y − 1 = 0,
z + 1
= 0,
l :
x − y + 3 = 0,
z − 2
= 0.
d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m
3
. Do budowy ścian magazynu używane są płyty
w cenie 30 zł/m
2
, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m
2
, a sufitu w cenie 20 zł/m
2
. Znaleźć długość a, szerokość
b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
f) Firma produkuje 32 i 40 calowe telewizory plazmowe w cenach zbytu odpowiednio 400 e i 600 e za sztukę.
Koszty wyprodukowania x sztuk telewizorów 32 calowych i y 40 calowych wynoszą
K(x, y) =
1
2
x
2
+ xy + y
2
e
.
Ile sztuk telewizorów 32 i 40 calowych powinna wyprodukować firma aby osiągnąć jak największy zysk?
Lista 4
4.1. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
a)
ZZ
R
x + xy − x
2
− 2y
dxdy, gdzie R = [0, 1] × [0, 1]; b)
ZZ
R
dxdy
(x + y + 1)
3
, gdzie R = [0, 2] × [0, 1];
c)
ZZ
R
x sin xy dxdy, gdzie R = [0, 1] × [π, 2π];
d)
ZZ
R
e
2x−y
dxdy , gdzie R = [0, 1] × [−1, 0].
4.2. Całkę podwójną
ZZ
D
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi
o równaniach:
a) x
2
+ y = 2, y
3
= x
2
;
b) x
2
+ y
2
= 4, y = 2x − x
2
, x = 0 (x, y 0);
c) x
2
− 4x + y
2
+ 6y − 51 = 0;
d) x
2
− y
2
= 1, x
2
+ y
2
= 3 (x < 0).
4.3. Obliczyć całki iterowane:
a)
4
Z
1
dx
x
2
Z
x
y
x
2
dy;
b)
4
Z
1
dx
2x
Z
x
x
2
√
y − x dy;
c)
2
Z
−2
dx
√
4−x
2
Z
0
x
3
+ y
3
dy;
d)
3
Z
0
dy
y
Z
0
py
2
+ 16 dx.
Narysować obszary całkowania.
4.4. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
a)
1
Z
−1
dx
|x|
Z
0
f (x, y) dy;
b)
1
Z
−1
dx
0
Z
−
√
1−x
2
f (x, y) dy;
c)
4
Z
0
dx
2
√
x
Z
√
4x−x
2
f (x, y) dy;
d)
√
2
Z
−
√
2
dy
y
2
2
Z
y
2
−1
f (x, y) dx;
e)
π
Z
π
2
dx
sin x
Z
cos x
f (x, y) dy;
f)
e
Z
1
dx
1
Z
ln x
f (x, y) dy.
4.5. Obliczyć podane całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
a)
ZZ
D
xy
2
dxdy, D : y = x, y = 2 − x
2
;
b)
ZZ
D
x
2
y dxdy, D : y = −2, y =
1
x
, y = −
√
−x;
c)
ZZ
D
(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x
2
(x 0);
d)
ZZ
D
xy + 4x
2
dxdy, D : y = x + 3, y = x
2
+ 3x + 3;
e)
ZZ
D
(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y;
f)
ZZ
D
e
x
y
dxdy, D : y =
√
x, x = 0, y = 1;
g)
ZZ
D
e
x
2
dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =
√
ln 3;
h)
ZZ
D
x
2
e
xy
dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0.
4
Lista 5
* 5.1. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
ZZ
D
min(x, y) dxdy, gdzie D = [0, 1]×[0, 2];
b)
ZZ
D
⌊x + y⌋ dxdy, gdzie D = [0, 2]×[0, 2];
c)
ZZ
D
|x − y| dxdy, gdzie D =
(x, y) ∈ R
2
: x 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x
;
d)
ZZ
D
sgn x
2
− y
2
+ 2
dxdy, gdzie D = (x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ 4
.
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.
5.2. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
a) f (x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, π] ×
h
0,
π
2
i
;
b) f (x, y) = x + y, gdzie D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
5.3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
ZZ
D
xy
2
dxdy, gdzie D : x 0, 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2;
b)
ZZ
D
y
2
e
x
2
+y
2
dxdy, gdzie D : x 0, y 0, x
2
+ y
2
¬ 1;
c)
ZZ
D
x
2
dxdy, gdzie D : x
2
+ y
2
¬ 2y;
d)
ZZ
D
y dxdy, gdzie D : x
2
+ y
2
¬ 2x;
e)
ZZ
D
x
2
+ y
2
dxdy, gdzie D : y 0, y ¬ x
2
+ y
2
¬ x;
f*)
ZZ
D
x
px
2
+ y
2
dxdy, gdzie D : x 0, x
2
+ y
2
2
¬ 4 x
2
− y
2
.
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
Lista 6
6.1. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
a)
ZZ
U
Z
x dxdydz
yz
, gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
b)
ZZ
U
Z
(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
c)
ZZ
U
Z
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [0, π] × [0, π] × [0, π];
d)
ZZ
U
Z
(x + y)e
x
+z
dxdydz, gdzie U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
6.2. Całkę potrójną
ZZ
U
Z
f (x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar U jest ograniczony po-
wierzchniami o podanych równaniach:
5
a) z = 2
px
2
+ y
2
, z = 6;
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= 25, z = 4, (z 4);
c) z = x
2
+ y
2
, z =
p20 − x
2
− y
2
.
6.3. W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przypadki):
a)
1
Z
0
dx
2−2x
Z
0
dy
3−3x−
3
2
y
Z
0
f (x, y, z) dz;
b)
2
Z
−2
dx
0
Z
−
√
4−x
2
dy
√
4−x
2
−y
2
Z
−
√
4−x
2
−y
2
f (x, y, z) dz;
c)
3
Z
0
dz
√
z
Z
−
√
z
dx
√
z
−x
2
Z
−
√
z
−x
2
f (x, y, z) dy;
d)
1
Z
0
dx
√
1−x
2
Z
0
dy
1
Z
x
2
+y
2
f (x, y, z) dz.
6.4. Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach:
a) f (x, y, z) = ex + y + z , gdzie U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
b) f (x, y, z) =
1
(3x+2y +z +1)
4
, gdzie U : x 0, y 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
c) f (x, y, z) = x
2
+ y
2
, gdzie U : x
2
+ y
2
¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;
d) f (x, y, z) = x
2
y
2
, gdzie U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.
6.5. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
a)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
+ z
2
2
dxdydz, gdzie U : x
2
+ y
2
¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
b)
ZZ
U
Z
xyz dxdydz, gdzie U :
px
2
+ y
2
¬ z ¬
p1 − x
2
− y
2
;
c)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
dxdydz, gdzie U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ R
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 2Rz;
d)
ZZ
U
Z
(x + y + z) dxdydz, gdzie U : x
2
+ y
2
¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
6.6. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
a)
ZZ
U
Z
dxdydz
px
2
+ y
2
+ z
2
, gdzie U : 4 ¬ x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9;
b)
ZZ
U
Z
x
2
+ y
2
dxdydz, gdzie U :
px
2
+ y
2
¬ z ¬
p1 − x
2
− y
2
;
c)
ZZ
U
Z
z
2
dxdydz, gdzie U : x
2
+ y
2
+ (z − R)
2
¬ R
2
(R > 0);
d)
ZZ
U
Z
x
2
dxdydz, gdzie U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4x.
Lista 7
7.1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y
2
= 4x,
x + y = 3,
y = 0 (y 0);
b) x
2
+ y
2
− 2y = 0,
x
2
+ y
2
− 4y = 0;
c) x + y = 4,
x + y = 8,
x − 3y = 0,
x − 3y = 5;
d) x
2
+ y
2
= 2y,
y =
√
3|x|.
7.2. Korzystając z całki podwójnej, obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
a) x
2
+ y
2
− 2y = 0, z = x
2
+ y
2
,
z = 0;
b) x
2
+ y
2
+ z
2
− 2z = 0;
c*) (x − 1)
2
+ (y − 1)
2
= 1,
z = xy,
z = 0;
d*) 2z = x
2
+ y
2
,
y + z = 4.
7.3. Obliczyć pola płatów:
a) z = x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
¬ 1;
6
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
, x
2
+ y
2
− Rx ¬ 0, z 0;
c) z =
px
2
+ y
2
, 1 ¬ z ¬ 2.
7.4. Korzystając z całki potrójnej, obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) x
2
+ y
2
= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
b) x = −1, x = 2, z = 4 − y
2
, z = 2 + y
2
;
c) z =
1
1 + x
2
+ y
2
, z = 0, x
2
+ y
2
= 1;
d) x
2
+ y
2
+ z
2
= 2, y = 1 (y 1).
7.5. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach:
a) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x
, gdzie σ(x, y) = x;
b) D =
(x, y) ∈ R
2
: 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 4, y 0
, gdzie σ(x, y) = |x|;
c) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], gdzie γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
d) U : x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9, gdzie γ(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
.
7.6. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
b) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin
2
x
;
c) D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
¬ y ¬ 1
;
d) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ e
x
;
e) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
f) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
g) U : x
2
+ y
2
¬ z ¬
p2 − x
2
− y
2
.
7.7. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
a) D – kwadrat jednorodny o boku a, przekątna kwadratu, przyjąć σ(x, y) = 1;
b) D =
(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
¬ R
2
, y 0
, oś Ox, przyjąć σ(x, y) =
px
2
+ y
2
;
c) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ y ¬ 1 − x
2
, oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x
2
;
d) D =
(x, y) ∈ R
2
: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x
, oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x.
7.8. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.
Lista 8
8.1. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
a)
∞
X
n
=0
5
6
n
;
b)
∞
X
n
=2
n − 1
n!
;
c)
∞
X
n
=1
1
(2n − 1)(2n + 1)
;
d)
∞
X
n
=1
1
√
n + 1 +
√
n
.
Uwaga.
W przykładzie
b)
przyjąć, że S
n
=
n
X
k=2
a
k
, gdzie n 2.
8.2. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n
=1
1
n
2
+ n
;
b)
∞
X
n
=1
n
n
2
+ 4
;
c)
∞
X
n
=2
ln n
n
2
;
d)
∞
X
n
=1
1
n
√
n + 1
.
8.3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n
=1
n
2
+ n + 1
2n
3
− 1
;
b)
∞
X
n
=1
n + 1
√
n
3
+ 1
;
c)
∞
X
n
=1
2
n
− 1
3
n
− 1
;
d)
∞
X
n
=1
sin
π
3
n
sin
π
2
n
.
8.4. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n
=1
3
n
2
+ 2
;
b)
∞
X
n
=1
n + 1
n
2
+ 1
;
c)
∞
X
n
=1
sin
π
2
n
;
d)
∞
X
n
=0
2
n
+ sin n!
3
n
;
e)
∞
X
n
=1
3 − 2 cos n
2
√
n
;
f)
∞
X
n
=1
3
n
+ 1
n3
n
+ 2
n
.
7
8.5. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n
=1
100
n
n!
;
b)
∞
X
n
=1
n
2
sin
π
2
n
;
c)
∞
X
n
=1
n!
n
n
;
d)
∞
X
n
=1
(n!)
2
(2n)!
;
e)
∞
X
n
=1
n
n
3
n
n!
;
f)
∞
X
n
=1
2
n
+ 1
n
5
+ 1
.
Lista 9
9.1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n
=1
(n + 1)
2n
(2n
2
+ 1)
n
;
b)
∞
X
n
=1
2
n
+ 3
n
3
n
+ 4
n
;
c)
∞
X
n
=1
3
n
n
n
2
(n + 1)
n
2
;
d)
∞
X
n
=1
arc cos
n
1
n
2
.
9.2. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności sze-
regów uzasadnić podane równości:
a) lim
n
→∞
7
n
n
5
= ∞;
b) lim
n
→∞
n
n
(n!)
2
= 0;
c) lim
n
→∞
n!
n
n
= 0;
d*) lim
n
→∞
(3n)!(4n)!
(5n)!(2n)!
= 0.
9.3. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych:
a)
∞
X
n
=1
(−1)
n
n − 1
n
2
+ 5
;
b)
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
2
(2n + 3)
n
;
c)
∞
X
n
=3
(−1)
n
+1
ln n
n ln ln n
;
d)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
e −
1 +
1
n
n
.
9.4. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:
a)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
1
n10
n
, δ = 10
−6
;
b)
∞
X
n
=0
(−1)
n
1
(2n + 1)!
, δ = 10
−3
.
9.5. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
a)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
2
n
+ 1
;
b)
∞
X
n
=2
(−1)
n
n
n
2
+ 1
;
c)
∞
X
n
=1
−2n
3n + 5
n
;
d)
∞
X
n
=2
(−1)
n
n
√
3 − 1
;
e)
∞
X
n
=0
(−2)
n
3
n
+ 1
;
f*)
∞
X
n
=0
(−1)
⌊
n
2
⌋
n + 1
.
Lista 10
10.1. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
a)
∞
X
n
=1
x
n
n2
n
;
b)
∞
X
n
=1
n(x − 2)
n
;
c)
∞
X
n
=1
(x + 3)
n
n
3
;
d)
∞
X
n
=0
x
n
2
n
+ 3
n
;
e)
∞
X
n
=1
n
n
2
+ 1
(x + 1)
n
;
f*)
∞
X
n
=1
n!x
n
n
n
.
10.2. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
a)
2
1 − 3x
;
b) cos
x
2
;
c) xe
−2x
;
d)
x
9 + x
2
;
e) sh x;
f*) sin
4
x.
10.3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
a) f
(50)
(0), gdzie f (x) = x sin x;
b) f
(2006)
(0), gdzie f (x) =
x
e
x
;
c) f
(21)
(0), gdzie f (x) =
x
3
1 + x
2
;
d) f
(10)
(0), gdzie f (x) = sin
2
3x.
8
10.4. Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f
′
(x) oraz
x
Z
0
f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
a) f (x) =
1
2x − 1
;
b) f (x) =
1
1 + x
2
.
10.5. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
a)
∞
X
n
=0
1
(n + 1)2
n
;
b)
∞
X
n
=2
2n − 1
3
n
;
c)
∞
X
n
=1
n(n + 1)
4
n
.
10.6. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
a)
1
Z
0
e
x
2
dx, δ = 0.001;
1
Z
0
sin x
2
dx, δ = 0.0001.
Lista 11
11.1. Na przedziale [−π, π] wyznaczyć szeregi Fouriera funkcji:
a) f (x) = x;
b) f (x) = |x|;
c) f (x) = e
x
;
d) f (x) = cos
x
3
;
e) f (x) = x sin x;
f) f (x) = sin
3
x;
g) f (x) =
−1 dla −π ¬ x < 0,
1 dla 0 ¬ x ¬ π;
h) f (x) =
0 dla −π ¬ x < 0,
x dla 0 ¬ x ¬ π;
i) f (x) =
0
dla −π ¬ x < 0,
sin x dla 0 ¬ x ¬ π.
11.2. Funkcję f (x) = x
2
rozwiąć w szereg Fouriera:
a) cosinusów naprzedziale (−π, π);
b) sinusów na przedziale (0, π);
c) na przedziale (0, 2π).
Korzystając z otrzymanych rozwinięć wyznaczyć sumy szeregów liczbowych:
i)
∞
X
n
=1
1
n
2
;
ii)
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
n
2
;
iii)
∞
X
n
=1
1
(2n − 1)
2
.
11.3. Rozwinąć w szereg Fouriera sinusów funkcje:
a) f (x) = a dla x ∈ [0, π], gdzie a 6= 0;
b) f (x) = x(π − x) dla x ∈ [0, π].
11.4. Rozwinąć w szereg Fouriera cosinusów funkcje:
a) f (x) = π − x dla x ∈ [0, π];
b) f (x) = x(π − x) dla x ∈ [0, π].
11.5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje okresowe:
a)
y
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
1
b)
y
x
−2π
−
3
2 π
−π
− π
2
2
π
3
2 π
π
π
2
π
2
c)
y
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
1
d)
y
x
−2π
−
3
2 π
−π
− π
2
2
π
3
2 π
π
π
2
1
y=
| cos x|
11.6. Wyznaczyć współczynniki Fouriera funkcji f (x+π), jeżeli a
n
, b
n
, gdzie n = 0, 1, 2, . . . są współczynnikami
Fouriera funkcji f o okresie 2π.
11.7. Przedstawić za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcje:
a) f (x) =
(
1 dla
|x| < 1,
0 dla
|x| > 1;
b) f (x) =
(
sgn x
dla |x| < 1,
0
dla |x| > 1;
c) f (x) =
(
sin x dla
|x| ¬ π,
0
dla
|x| > π;
d) f (x) =
cos x dla
|x| ¬
π
2
,
0
dla
|x| >
π
2
.
9
Lista 12
12.1. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:
a) f (t) =
(
sin t
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
b) f (t) =
cos t
dla
|t| ¬
π
2
,
0
dla
|t| >
π
2
;
c) f (t) =
(
t
dla |x| ¬ 1,
0
dla |x| > 1;
d) f (t) =
(
t
2
dla |t| ¬ 1,
0
dla |t| > 1;
e) f (t) = e
−|t|
;
f*) f (t) = e
−at
2
, gdzie a 6= 0.
Wskazówka. f*) Wykorzystać równość
∞
Z
−∞
e
−at
2
dt =
r π
a
.
12.2. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji
y
t
c
c
−
δ
2
c
+
δ
2
h
12.3. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = ˆ
f (ω), to:
a) F {f(t) cos αt} =
1
2
h ˆ
f (ω − α) + ˆ
f (ω + α)
i
;
b) F {f(t) sin αt} =
1
2i
h ˆ
f (ω − α) − ˆ
f (ω + α)
i
.
12.4. Korzystając z własności transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty
funkcji:
a) f (t) = e
−3|t−1|
;
b) f (t) = te
−|t|
;
c) f (t) = e
−4t
2
−4t−1
;
d) f (t) =
(
cos
t
2
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
e) f (t) =
(
2 cos t
dla
|t| ¬ π,
0
dla
|t| > π;
f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;
g) f (t) = 1(t) · e
−t
cos t;
h) f (t) = e
−|t|
cos
t
2
;
i) f (t) = e
−|t|
sin 2t.
Uwaga. 1(t) =
0 dla
t < 0,
1 dla
t 0
– funkcja Heaviside’a.
12.5. Korzystając z zadania 12.2 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:
a)
y
t
−2
2
2
b)
y
t
−2 −1
2
1
2
12.6. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).
x
(t)
y
(t)
R
L
C
+
−
+
−
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).
12.7. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t
2
f
′′
(t) + 2f
′′′
(t), jeżeli ˆ
f (ω) =
1
1 + ω
2
.
12.8. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
a)
1
1 + 2iω
;
b)
1
4 + ω
2
;
c)
e
2iω
1 + iω
;
e)
sin ω cos ω
2ω
;
f)
1
(1 + ω
2
) (4 + ω
2
)
;
10
12.9. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),
b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),
c) f (t) = 1(t) · e
−t
, g(t) = 1(t) · e
−2t
,
d) f (t) = g(t) = e
−t
2
.
Lista 13
13.1. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:
a) 2t − 1;
b) sin 2t;
c) t
2
;
d) te
−t
;
e) e
2t
cos 2t;
f) sh t;
g)
y
t
1
y
=f (t)
1
h)
y
t
1
2
y
=g(t)
1
i)
y
t
1
y
=h(t)
1
13.2. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:
a)
1
s + 2
;
b)
s
s
2
+ 4s + 5
;
c)
1
s
2
− 4s + 3
;
d)
s + 2
(s + 1)(s − 2) (s
2
+ 4)
;
e)
s
2
+ 1
s
2
(s
2
− 1)
2
;
f)
s + 9
s
2
+ 6s + 13
;
g)
2s + 3
s
3
+ 4s
2
+ 5s
;
h)
3s
2
(s
3
− 1)
2
;
i)
e
−s
s + 1
.
13.3. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:
a) y
′
− y = 1, y(0) = 1;
b) y
′
− 2y = sin t, y(0) = 0;
c) y
′′
+ y
′
= 0, y(0) = 1, y
′
(0) = 1;
d) y
′′
+ 3y
′
= e
−3t
, y(0) = 0, y
′
(0) = −1;
e) y
′′
− 2y
′
+ 2y = sin t, y(0) = 0, y
′
(0) = 1;
f) y
′′
− 2y
′
+ y = 1 + t, y(0) = 0, y
′
(0) = 0;
g) y
′′
+ 4y
′
+ 4y = t
2
, y(0) = 0, y
′
(0) = 0;
h) y
′′
+ 4y
′
+ 13y = te
−t
, y(0) = 0, y
′
(0) = 2.
13.4. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:
a) sin
4
t;
b) cos 4t cos 2t;
c) t
2
cos t;
d) t sh 3t;
e) te
t
cos t;
f) e
3t
sin
2
t;
g) 1(t − 2) sin(t − 2);
h) 1(t − 1)e
t
−1
.
13.5. Obliczyć sploty par funkcji:
a) f (t) = e
t
, g(t) = e
2t
;
b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;
c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;
d) f (t) = e
t
, g(t) = t.
13.6. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:
a)
1
(s + 1)(s + 2)
;
b)
1
(s − 1)
2
(s + 2)
;
c)
1
s
2
(s
2
+ 1)
;
d)
s
(s
2
+ 1)
2
.
1I
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
11