Am2 2011/2012 pd.9

10

Zad.1
Zbadać czy w otoczeniu punktu (0,0) istnieje jednoznacznie określona funkcja

)

(x

f

y



rozwikłująca

równanie

0

)

1

ln(

2

2

2

2











y

x

y

x

.

Zad.2
W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja

)

(x

f

y



rozwikłująca

równanie

0

ln

2

2







x

y

arctg

y

x

.

Zad.3 (punkt a)zrobiony na ćwiczeniach)

a) Wyznaczyć w punkcie

e

2

wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji

)

(x

f

y



określonej

równaniem

0

1

ln







y

xy

jeżeli

e

e

f















2

. Naszkicować na tej podstawie wykres tej funkcji w

otoczeniu tego punktu.

b) Sprawdzić, otrzymane w punkcie a) wyniki szkicując wykres funkcji

y

y

y

g

x

1

ln

)

(







w

otoczeniu punktu e.
zad.4
Obliczyć

)

(

),

(

e

f

e

f





jeżeli

1

)

(



e

f

i funkcja

)

(x

f

y



jest uwikłana równaniem

0

2

2





y

e

y

x

.

Napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

e

x



0

.

zad.5
Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji

)

(x

f

y



rozwikłującej równanie

a)

x

y

xarctg

y

2



, b)

0

ln

2

2







x

y

arctg

y

x

.

Otrzymane wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci.
Zad.6
Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej określonej równaniem

a)

0

3

4

2

2

2









x

yx

y

b)

0

4

2

2

2

2











y

xy

y

x

zaczęte w I grupie

c)









0

2

2

2

2

2

2

2









y

x

a

y

x

(lemniskata Bernoullego)

zad.7

)

,

,

(

z

y

x

f

f



Przekształcić wyrażenie

z

f

y

f

x

f

















wprowadzając nowe zmienne

x

u



1

,

x

y

u





2

,

x

z

u





3

.

Zad.8
Przekształcić wyrażenie wprowadzając nowe zmienne u,w

a)

y

F

y

x

F

x











;

x

u



,

x

y

w



b)

2

2

2

2

2

1

y

F

a

x

F











;

ay

x

u





,

ay

x

w





gdzie a oznacza stałą dodatnią.

Zad.9

Przekształcić wyrażenie

y

F

y

x

F

x











wprowadzając współrzędnych biegunowe

odpowiedzi
Zad.1 nie

Am2 2011/2012 pd.9

11

Zad.2 równania nie można rozwikłać względem zmiennej y, gdy













0

)

,

(

0

)

,

(

y

x

F

y

x

F

y

co daje otoczenia

punktów

)

,

(

),

,

(

a

a

a

a





dla

4

2

2



e

a



.

zad.3

2

)

2

(

e

e

f







,

3

)

(

e

e

f





, (w pewnym otoczeniu punktu

e

2

funkcja uwikłana maleje i jest wypukła.

zad.4

e

e

f

2

)

(





,

2

6

)

(

e

e

f







, w pewnym otoczeniu punktu

e

2

funkcja uwikłana zadana równaniem

0

2

2





y

e

y

x

rośnie coraz wolniej, styczna w tym punkcie ma równanie

1

2





x

e

y

zad.5

a)

x

y

y





,

0





y

, b)

y

x

y

x

y













3

2

2

)

(

2

y

x

y

x

y









zad.6

a)

2

)

2

1

(

min









y

y

b)

4

)

2

(

min







y

y

2

)

1

(

max







y

y

c)

2

)

2

3

(

min

a

a

y

y







,

2

)

2

3

(

min

a

a

y

y









,

2

)

2

3

(

max

a

a

y

y





,

2

)

2

3

(

max

a

a

y

y







Zad.7

1

u

f





Zad.8
Oznaczam





)

,

(

),

,

(

)

,

(

w

u

y

w

u

x

F

w

u

G



a)

u

G

u





, b)

w

u

G







2

4

.

Zad.9
Oznaczam





)

,

(

),

,

(

)

,

(







r

y

r

x

F

r

G

























G

r

G

r

cos

sin

2

)

sin

(cos

2

2