Zad.1 (obliczanie pochodnych cząstkowych) x y
a) Wykazać, że funkcja f ( x, y, z) x
spełnia równanie
y z
f ( x, y, z) f ( x, y, z) f (
x, y, z) 0 .
x
y
z
2
x
b) Sprawdzić, że funkcja f ( x, y) 2cos y spełnia równanie 2 f ( x, y) f ( x, y, z) 0 .
2
xx
xy
2 f
2 f
x
c) Sprawdzić, że zachodzi równość
dla funkcji f ( x, y, z) z
.
z
y
y
z
y
Zad.2
a) Wyznaczyć kąt między gradientami funkcji
f ( ,
x y)
x
2
ln
x 2
y
w punktach
)
0
,
1
(
A
B(
)
1
,
0
(wsk. kąt wektorów obliczamy ze wzoru znanego z algebry u v
co
s
).
u v
b) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
f ( ,
x y)
x
2
ln
x 2
y
w punkcie
B(
)
1
,
0
.
Zad.3
Obliczyć różniczkę zupełną pierwszego rzędu dla funkcji x
f ( x, y) arcsin w punkcie ( ,
1 )
2 .
y
Zad.4
Napisać wzór Taylora dla funkcji
y
f ( x, y) x w punkcie ( e ) 1
, z 3-cią resztą.
Zad.5
a) Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
,
1 02
1
(
96
,
0
)
02
,
1
zastępując przyrost odpowiednio
dobranej funkcji jej różniczką zupełną.
b) Obliczyć jak zmieni się w przybliżeniu długość przekątnej prostokąta o bokach a 3 cm, b 4 cm jeżeli bok a zwiększymy o 3mm, a bok b zmniejszymy o 4mm.
Zad.6
Napisać wielomian Maclaurina stopnia drugiego dla funkcji 1 x y
f ( x, y) arctg (tzn. wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie (
)
0
,
0
).
1 x y
Odpowiedzi, wskazówki
2 f
x
1
x
zad.1 c)
z
.
3
ln z
z y
y yz
y
Zad.2
0 1
2
a) gradienty tworzą kąt
. gradf
)
0
,
1
(
0
,
1 , gradf
)
1
,
0
(
1
,
1
, cos
.
4
1 2
2
b) z x y 1.
1
1
1
Zad.3 df , 1
dx, dy
dx
dy
2
3
2 3
Zad.4
y
1
x x e( y ) 1
0( x e)2 (2 x e)( y )1 e(
2
y
1
)
1
3
d f ( x , y )( x , e y )
1
2
!
3
c
c
1 e 2
2
ey xy ey 1
2
3
d f ( x , y )( x , e y )
1
2
!
3
c
c
Punkt ( x , y ) , jest to punkt leżący na odcinku o końcach
1
,
e
, ( ,
x y) .
c
c
Zad.5a) wprowadzić funkcję
y
f ( x, y) 1
( xy)
,
1 02
198 4 ln 2
1
(
96
,
0
)
02
,
1
100
Uważać przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem zmiennej y
f
ln(
( x, y)
y
1
( xy)
e 1 )
(podstawa i wykładnik są funkcjami zmiennej y) y
y y xy y
b)
2
2
f ( a, b)
a b , obliczyć df ( , 3
;
3
,
0
)(
4
)
4
,
0
Zad.6
w ( x, y)
x xy
2
4