AM2 pd.6 2011/12

Zad.1 (obliczanie pochodnych cząstkowych)

a) Wykazać, że funkcja

z

y

y

x

x

z

y

x

f









)

,

,

(

spełnia równanie

0

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(













z

y

x

f

z

y

x

f

z

y

x

f

z

y

x

.

b) Sprawdzić, że funkcja











 



2

cos

2

)

,

(

2

x

y

y

x

f

spełnia równanie

0

)

,

,

(

)

,

(

2









z

y

x

f

y

x

f

xy

xx

.

c) Sprawdzić, że zachodzi równość

z

y

f

y

z

f















2

2

dla funkcji

z

y

x

z

y

x

f



)

,

,

(

.

Zad.2

a) Wyznaczyć kąt między gradientami funkcji



















2

2

ln

)

,

(

y

x

x

y

x

f

w punktach

)

0

,

1

(

A

)

1

,

0

(

B

(wsk. kąt wektorów obliczamy ze wzoru znanego z algebry

v

u

v

u







cos

).

b) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni



















2

2

ln

)

,

(

y

x

x

y

x

f

w punkcie

)

1

,

0

(

B

.

Zad.3

Obliczyć różniczkę zupełną pierwszego rzędu dla funkcji

y

x

y

x

f

arcsin

)

,

(



w punkcie

)

2

,

1

(



.

Zad.4
Napisać wzór Taylora dla funkcji

y

x

y

x

f



)

,

(

w punkcie

)

1

,

(e

z 3-cią resztą.

Zad.5
a) Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

02

,

1

)

02

,

1

96

,

0

1

(





zastępując przyrost odpowiednio

dobranej funkcji jej różniczką zupełną.

b) Obliczyć jak zmieni się w przybliżeniu długość przekątnej prostokąta o bokach

3



a

cm,

4



b

cm

jeżeli bok a zwiększymy o 3mm, a bok b zmniejszymy o 4mm.
Zad.6

Napisać wielomian Maclaurina stopnia drugiego dla funkcji

y

x

y

x

arctg

y

x

f











1

1

)

,

(

(tzn. wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie

)

0

,

0

(

).

Odpowiedzi, wskazówki

zad.1 c)























z

y

x

yz

y

x

y

z

f

z

ln

1

3

2

.

Zad.2

a) gradienty tworzą kąt

4



.

 

0

,

1

)

0

,

1

(



gradf

,

 

1

,

1

)

1

,

0

(



gradf

,

2

2

2

1

1

0

cos









.

b)

1







y

x

z

.

Zad.3





dy

dx

dy

dx

df

3

2

1

3

1

,

1

,

2

1















 

Zad.4









)

1

,

)(

,

(

!

3

1

2

2

2

1

)

1

,

)(

,

(

!

3

1

)

1

(

)

1

)(

(

2

)

(

0

2

1

)

1

(

3

2

3

2

2











































y

e

x

y

x

f

d

ey

xy

ey

e

y

e

x

y

x

f

d

y

e

y

e

x

e

x

y

e

x

x

c

c

c

c

y

Punkt

)

,

(

c

c

y

x

, jest to punkt leżący na odcinku o końcach

 

1

,

e

,

)

,

(

y

x

.

AM2 pd.6 2011/12

Zad.5a) wprowadzić funkcję

y

xy

y

x

f

)

1

(

)

,

(





100

2

ln

4

198

)

02

,

1

96

,

0

1

(

02

,

1









Uważać przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem zmiennej y



 



y

xy

y

y

y

y

e

xy

y

x

f















)

1

ln(

)

1

(

)

,

(

(podstawa i wykładnik są funkcjami zmiennej y)

b)

2

2

)

,

(

b

a

b

a

f





, obliczyć

)

4

,

0

;

3

,

0

)(

4

,

3

(



df

Zad.6

xy

x

y

x

w







4

)

,

(

2

