Am2 pd.9 2011/12

Zad.1

Zbadać czy w otoczeniu punktu (0,0) istnieje jednoznacznie określona funkcja

)

(x

f

y



rozwikłująca równanie

0

)

1

ln(

2

2

2

2











y

x

y

x

.

Zad.2

W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja

)

(x

f

y



rozwikłująca

równanie

0

ln

2

2







x

y

arctg

y

x

.

Zad.3

(punkt a)zrobiony na ćwiczeniach)

a) Wyznaczyć w punkcie

e

2

wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji

)

(x

f

y



określonej równaniem

0

1

ln







y

xy

jeżeli

e

e

f















2

. Naszkicować na tej podstawie wykres

tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

b) Sprawdzić, otrzymane w punkcie a) wyniki szkicując wykres funkcji

y

y

y

g

x

1

ln

)

(







w

otoczeniu punktu e.
zad.4
Obliczyć

)

(

),

(

e

f

e

f





jeżeli

1

)

(



e

f

i funkcja

)

(x

f

y



jest uwikłana równaniem

0

2

2





y

e

y

x

.

Napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

e

x



0

.

zad.5
Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji

)

(x

f

y



rozwikłującej równanie

a)

x

y

xarctg

y

2



, b)

0

ln

2

2







x

y

arctg

y

x

.

Otrzymane wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci.
Zad.6
Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej

)

(x

y

y



określonej równaniem

a)

0

3

4

2

2

2









x

yx

y

b)

0

4

2

2

2

2











y

xy

y

x

c)









0

2

2

2

2

2

2

2









y

x

a

y

x

(lemniskata Bernoullego)

zad.7

)

,

,

(

z

y

x

f

f



Przekształcić wyrażenie

z

f

y

f

x

f

















wprowadzając nowe zmienne

x

u



1

,

x

y

u





2

,

x

z

u





3

.

Zad.8

)

,

(

y

x

F

F



Przekształcić wyrażenie wprowadzając nowe zmienne u, w

a)

y

F

y

x

F

x











;

x

u



,

x

y

w



b)

2

2

2

2

2

1

y

F

a

x

F











;

ay

x

u





,

ay

x

w





gdzie a oznacza stałą dodatnią.

Zad.9

Przekształcić wyrażenie

y

F

y

x

F

x











wprowadzając współrzędnych biegunowe.