RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

DRUGIEGO RZĘDU

XII. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Metoda przewidywań

ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne.

0

 

0

 

0

 

1

2

,

r r

0

r

1

2

r

i

r

i

 

 

 

 

1

2

1

2

r x

r x

j

y

C e

C e





0

0

1

2

r x

r x

j

y

C e

C xe









1

2

cos

sin

x

j

y

e

C

x C

x











Mamy rozwiązanie jednorodne:

j

y

ETAP 2: Znajdujemy „rozwiązanie przewidywane”.

Bierzemy pod uwagę

 

r x

z równania

 

ay

by

cy

r x











i określamy postać ogólną

p

y

 

r x

p

y

WIELOMIAN

POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO

SAMEGO STOPNIA

WIELOMIAN

ax

e



(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO

SAMEGO STOPNIA)

ax

e



WIELOMIAN

sin ax



+ WIELOMIAN cos ax



(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO

SAMEGO STOPNIA)

sin ax



+ (POSTAĆ

OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO

STOPNIA) cos ax



WIELOMIAN

sin

ax

e

bx



+ WIELOMIAN

cos

ax

e

bx



(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO

SAMEGO STOPNIA)

sin

ax

e

bx



+ (POSTAĆ

OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO

STOPNIA)

cos

ax

e

bx



 

''

'

ay

by

cy

r x







j

p

y

y

y





''

'

0

ay

by

cy







2

0

ar

br

c



 

?

 

Z postaci ogólnej

p

y

liczymy pochodną i pochodną drugiego rzędu

,

p

p

y

y





, wstawiamy do

równania

 

ay

by

cy

r x











i wyznaczamy stałe do postaci ogólnej

p

y

poprzez

porównywanie wielomianów.

Mamy rozwiązanie przewidywane:

p

y

Odp.

j

p

y

y

y





Metoda uzmienniania stałych

ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne (jak wyżej).

Mamy rozwiązanie jednorodne:

j

y

W rozwiązaniu tym „uzmienniamy stałe” i mamy:

 

 

1

2

y

C x

C

x



 



ETAP 2: Tworzymy układ równań:

Rozwiązujemy go (układ Cramera), wyznaczamy

 

1

C x

i

 

2

C

x

, wstawiamy je do

otrzymanego w ETAPIE 1 związku

 

 

1

2

y

C x

C

x



 



i mamy odpowiedź.

XIII. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu

Równanie

 

y

 

obustronnie całkujemy.

XIV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu

Podstawiamy p

y





.

XV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu

Podstawiamy

 

u y

y





.

Podstawiona funkcja jest funkcją zmiennej y.

 

''

'

ay

by

cy

r x







 

 

 

 

 

1

2

1

2

0

C

x

C

x

r x

C

x

C

x

a

 



 

 

















 









, ''

0

F x y







, ', ''

0

F x y y







, ', ''

0

F y y y

