RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE 

DRUGIEGO RZĘDU 

XII. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach 

 

Metoda przewidywań 

 

ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne. 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

1

2

,

r r

 

0

r

 

1

2

r

i

r

i

 

 

 

 

 

1

2

1

2

r x

r x

j

y

C e

C e





 

0

0

1

2

r x

r x

j

y

C e

C xe





 





1

2

cos

sin

x

j

y

e

C

x C

x











 

Mamy rozwiązanie jednorodne: 

j

y

 

ETAP 2: Znajdujemy „rozwiązanie przewidywane”. 

Bierzemy pod uwagę 

 

r x

z równania 

 

ay

by

cy

r x











i określamy postać ogólną 

p

y

 

 

r x

 

p

y

 

WIELOMIAN 

POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO 

SAMEGO STOPNIA 

WIELOMIAN

ax

e



 

(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO 

SAMEGO STOPNIA) 

ax

e



 

WIELOMIAN

sin ax



+ WIELOMIAN cos ax



 

(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO 

SAMEGO STOPNIA) 

sin ax



+ (POSTAĆ 

OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO 

STOPNIA)  cos ax



 

WIELOMIAN

sin

ax

e

bx



+ WIELOMIAN

cos

ax

e

bx



 

(POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO 

SAMEGO STOPNIA) 

sin

ax

e

bx



+ (POSTAĆ 

OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO 

STOPNIA) 

cos

ax

e

bx



 

 

''

'

ay

by

cy

r x







j

p

y

y

y





''

'

0

ay

by

cy







2

0

ar

br

c



 

?

 

Z postaci ogólnej 

p

y

liczymy pochodną i pochodną drugiego rzędu 

,

p

p

y

y





, wstawiamy do 

równania 

 

ay

by

cy

r x











i wyznaczamy stałe do postaci ogólnej

p

y

poprzez 

porównywanie wielomianów. 

Mamy rozwiązanie przewidywane: 

p

y

 

Odp. 

j

p

y

y

y





 

Metoda uzmienniania stałych 

 

ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne (jak wyżej). 

Mamy rozwiązanie jednorodne: 

j

y

 

W rozwiązaniu tym „uzmienniamy stałe” i mamy: 

 

 

1

2

y

C x

C

x



 



 

ETAP 2: Tworzymy układ równań: 

 

 

Rozwiązujemy go (układ Cramera), wyznaczamy 

 

1

C x

i

 

2

C

x

, wstawiamy je do 

otrzymanego w ETAPIE 1 związku

 

 

1

2

y

C x

C

x



 



i mamy odpowiedź. 

XIII. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu 

Równanie 

 

y

 

obustronnie całkujemy. 

XIV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu 

Podstawiamy  p

y





. 

XV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu 

Podstawiamy 

 

u y

y





. 

Podstawiona funkcja jest funkcją zmiennej y. 

 

 

 

''

'

ay

by

cy

r x







 

 

 

 

 

1

2

1

2

0

C

x

C

x

r x

C

x

C

x

a

 



 

 

















 









, ''

0

F x y







, ', ''

0

F x y y







, ', ''

0

F y y y

