A. Zaborski, Łuk

Łuk kołowy

3.5m

V

B

H

B

V

A

β

130 kN

α

Obliczenie reakcji:

R

A

= V

B

= H

B

= 130 kN

Równania sił przekrojowych:

0 <

α < 180°

M(

α) = R

A

3.5 (1 - cos

α)

Q(

α) = R

A

sin

α

N(

α) = - R

A

cos

α

0 <

β < 90°

M(

β) = V

B

3.5 (sin

β - cosβ +1)

Q(

β) = -V

B

cos

β - H

B

sin

β

N(

β) = V

B

sin

β - H

B

cos

β

Obliczenia zapisujemy w tabelce:

α

α

α

α

M

kNm Q kN

N

kN

0

0.0

0.0 -130.0

45

133.3

91.9

-91.9

90

455.0

130.0

0.0

135

776.7

91.9

91.9

180

910

0.0

130.0

β

β

β

β

M

Q

N

0

0.0 -130.0 -130.0

45

455.0 -183.8

0.0

90

910.0 -130.0

130.0

Wykresy:

455

910

776.7

455

133.3

M

183.8

130

130

91.92

130

91.92

Q

130

130

130

91.92

91.92

N

A. Zaborski, Łuk

Łuk paraboliczny

α

V

B

H

B

V

A

H

A

3 m

3 m

1.5 m

y

x

15 kN/m

45 kN/m

Obliczenie reakcji:

H

A

= H

B

= 52.5 kN, V

A

= 26.25 kN, V

B

= 63.75 kN

Równanie łuku:

y(x) = a x

2

+ b x +c, z warunakami: y(0) = 0, y(3) = 1.5 m, y(6) = 0, skąd:

y(x) = -1/6 x

2

+ x

pochodna:

y’(x) = 1 – x/3 = tg

α

Równania sił przekrojowych:

0 < x < 3 m

M(x) = 26.25 x – 52.5 y
Q(x) = 26.25 cos

α - 52.5 sinα

N(x) = -26.25 sin

α - 52.5 cosα

3 m < x < 6 m

M(x) = 26.25 x – 52.5 y – 45/2 (x – 3)

2

+ 30/3 1/6 (x – 3)

3

Q(x) = 26.25 cos

α - 52.5 sinα - 45 (x – 3) |cosα| + 30/3 ½ (x –3)

2

|cos

α|

N(x) = -26.25 sin

α - 52.5 cosα - 45 (x – 3) |sinα| + 30/3 ½ (x –3)

2

|sin

α|

Obliczenia prowadzimy w tabelce:

x [m] y [m]

α

α

α

α

cos

α

α

α

α

sin

α

α

α

α

M

Q

N

0

0.000

0.7854

0.7071

0.7071

0.00 -18.56 -55.68

1

0.833

0.5880

0.8321

0.5547 -17.50

-7.28 -58.24

2

1.333

0.3218

0.9487

0.3162 -17.50

8.30 -58.11

3

1.500

0.0000

1.0000

0.0000

0.00

26.25 -52.50

4

1.333

-0.3218

0.9487

-0.3162

14.17

3.56 -54.15

5

0.833

-0.5880

0.8322

-0.5547

10.83

-7.28 -67.95

6

0.000

-0.7854

0.7071

-0.7071

0.00

-7.95 -82.20

Sprawdzenie, czy pochodna momentu zginającego po współrzędnej związanej z osią pręta jest równa sile
poprzecznej, np. w pierwszym przedziale:

)

Q(

sin

5

.

52

cos

25

.

26

cos

tg

5

.

52

cos

25

.

26

d

d

d

)

dM(

d

)

dM(

s

s

x

x

x

s

s

=

−

=

−

=

=

α

α

α

α

α

14.17

10.83

17.5

17.5

M

18.56

7.28

8.301

26.25

3.56

7.28

7.95

Q

55.68

58.24

58.11

52.5

54.15

67.95

82.2

N

ekstremum M

A. Zaborski, Łuk

Przykład osi racjonalnej łuku parabolicznego

H

A

N

R

A

H

A

f

q

l

Określamy równanie osi łuku w postaci paraboli 2. stopnia o strzałce równej f i rozpiętości l oraz obliczamy
reakcje jak dla układu 3-przegubowego:

(

)

f

ql

H

ql

R

lx

x

l

f

y

A

A

8

,

2

,

4

2

2

2

=

=

−

−

=

.

Równanie momentów zginających ma postać:

(

)

0

2

4

8

2

2

)

(

2

2

2

2

2

=

=

−













−

−

−

=

−

−

=

K

qx

lx

x

l

f

f

ql

x

ql

qx

y

H

x

R

x

M

A

A

.

Jeśli moment zginający jest tożsamościowo równy zero, to i siła poprzeczna musi być tożsamościowo równa
zero i łuk pracuje jedynie na ściskanie. Łuk o takiej osi nazywamy łukiem o osi racjonalnej.