2 układy równań

background image

dr Krzysztof Kisiel

Układy równa ´n liniowych

background image

Układy jednorodne i niejednorodne

Definicja 1. Układem

m

równa´n liniowych z

n

niewiadomymi

x

1

, x

2

, ..., x

n

,

gdzie

m, n ∈ N

, nazywamy układ równa´n postaci:

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

=

b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

=

b

2

...

...

. . .

...

...

a

m1

x1 + a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= b

m

,

gdzie

a

ij

∈ R, b

i

∈ R

,

1 ≤ i ≤ m

,

1 ≤ j ≤ n

.

background image

Uwaga 2. Rozwi ˛

azaniem układu równa´n liniowych nazywamy ci ˛

ag

(x

1

, x

2

, ..., x

n

)

liczb rzeczywistych spełniaj ˛

acych ten układ. Układ równa´n, który nie ma roz-

wi ˛

azania, nazywamy układem sprzecznym.

background image

Macierzowa posta´c układu równa ´n



a

11

a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . a

2n

...

... ...

...

a

m1

a

m2

. . . a

mn



·



x

1

x

2

...

x

m



=



b

1

b

2

...

b

m



⇔ A · X = B

A - macierz układu
X - wektor niewiadomych
B - wektor wyrazów wolnych.

background image

Układ jednorodny

Definicja 3. Układ równa´n liniowych postaci

AX = 0,

gdzie

A

jest macierz ˛

a wymiaru

m × n

, natomiast

0 jest macierz ˛

a zerow ˛

a wy-

miaru

m × 1

, nazywamy układem jednorodnym.

Uwaga 4. Jednym z rozwi ˛

aza´n układu jednorodnego

AX =

0 jest macierz ze-

rowa

X =



0
0

...

0



wymiaru

n × 1

, gdzie

n

oznacza liczb˛e kolumn macierzy

A

.

background image

Układ niejednorodny

Definicja 5. Układ równa´n liniowych postaci

AX = B,

gdzie

A

jest macierz ˛

a wymiaru

m × n

, natomiast

B

jest macierz ˛

a

niezerow ˛

a

wymiaru

m × 1

, nazywamy układem niejednorodnym.

background image

Układ Cramera

Twierdzenie 6. Układem Cramera nazywamy układ równa´n liniowych

AX = B,

w którym

A

jest macierz ˛

a nieosobliw ˛

a.

background image

Twierdzenie Cramera

Definicja 7. Układ Cramera

AX = B

ma dokładnie jedno rozwi ˛

azanie.

Rozwi ˛

azanie to jest okre´slone wzorem:

X =











W

x1

W

W

x2

W

...

W

xn

W

,











gdzie

W

oznacza wyznacznik główny macierzy

A

,

n

oznacza stopie´n macierzy

A

, natomiast

W

x

j

dla

1 ≤ j ≤ n

oznacza wyznaczik powstały z wyznacznika

głównego poprzez zast ˛

apienie

j

- tej kolumny kolumn ˛

a wyrazów wolnych.

background image

Metoda macierzy odwrotnej

Twierdzenie 8. Rozwi ˛

azanie układu Cramera

AX = B

jest okre´slone

wzorem:

X = A

−1

B.

Dowód.

AX = B ⇔ A

−1

AX = A

−1

B ⇔ IX = A

−1

B ⇔ X = A

−1

B.




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
układ oddechowy[1]
Wykład 13 UKS
Układ krążenia[1]
Układ Warszawski rekonstrukcja
Choroby rozproszonego układu wewnątrzwydzielniczego(2)
Układ projektu
PROTOKÓŁ UKS
Obwodowy i wegetatywny układ nerwowy 14[1] (1)
WYKŁAD Asymetria w układach trójfazowych
Leki układu pokarmowego,bigunka,zaparcia
Choroby układu oddechowego
Fizjologia układu wewnętrznego
Receptory dla ukĹ'adu dopeĹ'niacza
Sprawozdanie 4B - Układ Fe, Fe3C

więcej podobnych podstron