SEMESTR 2. EGZAMIN (23.06.2010)
imię i nazwisko grupa
ocena z zaliczenia
1. Korzystając z definicji całki oznaczonej wykazać, że dla każdej funkcji całkowalnej
R
b
a
f
,
:
prawdziwe jest oszacowanie:
a
b
x
f
dx
x
f
a
b
x
f
b
a
x
b
a
b
a
x
)
(
sup
)
(
)
(
inf
,
,
2. Sformułować i udowodnić warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.
Uzasadnić równość
0
!
2
lim
2
n
n
n
n
3. Sformułować twierdzenie Green'a. Powołując się na to twierdzenie wykazać, że pole
obszaru płaskiego D ograniczonego krzywą zamkniętą K wyraża się wzorem:
K
xdy
ydx
D
2
1
. Korzystając z tego wzoru obliczyć pole elipsy
)
2
,
0
sin
3
cos
2
:
t
t
y
t
x
K
.
4. Znaleźć przedział i obszar zbieżności szeregu potęgowego
2
3
ln
2
n
n
n
n
x
5. Znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
0
,
0
2
,
2
,
2
z
z
y
x
x
y
x
y
Sporządzić rysunek.
6. Stosując współrzędne sferyczne obliczyć całkę
V
z
y
x
dxdydz
1
2
2
2
, gdzie bryła V
ograniczona jest powierzchniami:
9
,
4
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
.
Sporządzić rysunek.