SEMESTR 2. EGZAMIN (23.06.2010)
imię i nazwisko grupa
ocena z zaliczenia

1. Korzystając z definicji całki oznaczonej wykazać, że dla każdej funkcji całkowalnej

R

b

a

f



,

:

prawdziwe jest oszacowanie:









a

b

x

f

dx

x

f

a

b

x

f

b

a

x

b

a

b

a

x











































)

(

sup

)

(

)

(

inf

,

,

2. Sformułować i udowodnić warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.

Uzasadnić równość

 

0

!

2

lim

2







n

n

n

n

3. Sformułować twierdzenie Green'a. Powołując się na to twierdzenie wykazać, że pole

obszaru płaskiego D ograniczonego krzywą zamkniętą K wyraża się wzorem:









K

xdy

ydx

D

2

1

. Korzystając z tego wzoru obliczyć pole elipsy

)

2

,

0

sin

3

cos

2

:















t

t

y

t

x

K

.

4. Znaleźć przedział i obszar zbieżności szeregu potęgowego













2

3

ln

2

n

n

n

n

x

5. Znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

0

,

0

2

,

2

,

2

















z

z

y

x

x

y

x

y

Sporządzić rysunek.

6. Stosując współrzędne sferyczne obliczyć całkę









V

z

y

x

dxdydz

1

2

2

2

, gdzie bryła V

ograniczona jest powierzchniami:

9

,

4

2

2

2

2

2

2













z

y

x

z

y

x

.

Sporządzić rysunek.