EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-
trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy
2
3
−5
0
4
−1
2
3
4 −3
1
12
−1
12
−1
1
5
−2
4
1
.
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R
3
oraz wzór
na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami
→
u = (u
1
, u
2
, u
3
) i
→
v = (v
1
, v
2
, v
3
).
Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny
π
: 3x + 11y + 9z = 40
do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2, 3, −1) i B = (4, 0, 2).
Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego
o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y
′′
− 6y
′
+ 13y = 5e
2x
.
Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na
zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z
= x
2
+ y
2
, z
= 2x
2
+ 2y
2
, y
= x, y = x
2
.
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-
trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy
2
3
−5
0
4
−1
2
3
4 −3
1
12
−1
12
−1
1
5
−2
4
1
.
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R
3
oraz wzór
na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami
→
u = (u
1
, u
2
, u
3
) i
→
v = (v
1
, v
2
, v
3
).
Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny
π
: 3x + 11y + 9z = 40
do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2, 3, −1) i B = (4, 0, 2).
Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego
o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y
′′
− 6y
′
+ 13y = 5e
2x
.
Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na
zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z
= x
2
+ y
2
, z
= 2x
2
+ 2y
2
, y
= x, y = x
2
.