EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-
trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy







2

3

−5

0

4

−1

2

3

4 −3

1

12

−1

12

−1

1

5

−2

4

1







.

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R

3

oraz wzór

na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami

→

u = (u

1

, u

2

, u

3

) i

→

v = (v

1

, v

2

, v

3

).

Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny

π

: 3x + 11y + 9z = 40

do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2, 3, −1) i B = (4, 0, 2).

Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego
o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y

′′

− 6y

′

+ 13y = 5e

2x

.

Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na
zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z

= x

2

+ y

2

, z

= 2x

2

+ 2y

2

, y

= x, y = x

2

.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-
trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy







2

3

−5

0

4

−1

2

3

4 −3

1

12

−1

12

−1

1

5

−2

4

1







.

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R

3

oraz wzór

na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami

→

u = (u

1

, u

2

, u

3

) i

→

v = (v

1

, v

2

, v

3

).

Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny

π

: 3x + 11y + 9z = 40

do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2, 3, −1) i B = (4, 0, 2).

Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego
o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y

′′

− 6y

′

+ 13y = 5e

2x

.

Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na
zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z

= x

2

+ y

2

, z

= 2x

2

+ 2y

2

, y

= x, y = x

2

.