EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy
2
3
− 5
0
4
− 1
2
3
4 − 3
.
1
12
− 1
12
− 1
1
5
− 2
4
1
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R3 oraz wzór na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami →
u = ( u 1 , u 2 , u 3) i →
v = ( v 1 , v 2 , v 3).
Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny
π : 3 x + 11 y + 9 z = 40
do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2 , 3 , − 1) i B = (4 , 0 , 2).
Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y′′ − 6 y′ + 13 y = 5 e 2 x.
Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 , y = x, y = x 2 .
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)
IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Wyznacz rząd macierzy
2
3
− 5
0
4
− 1
2
3
4 − 3
.
1
12
− 1
12
− 1
1
5
− 2
4
1
Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R3 oraz wzór na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami →
u = ( u 1 , u 2 , u 3) i →
v = ( v 1 , v 2 , v 3).
Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny
π : 3 x + 11 y + 9 z = 40
do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2 , 3 , − 1) i B = (4 , 0 , 2).
Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-
zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego o zmiennych rozdzielonych.
Rozwiąż równanie: y′′ − 6 y′ + 13 y = 5 e 2 x.
Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.
Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 , y = x, y = x 2 .