Mechanika ogólna

Mechanika ogólna

1

1

Wykład nr 3

Wykład nr 3
Wyznaczanie reakcji.

Wyznaczanie reakcji.
Belki

Belki przegubowe.

przegubowe.

Podstawowe typy

Podstawowe typy

ustrojów prętowych

ustrojów prętowych





Pręt

Pręt –– element o wymiarach poprzecznych

element o wymiarach poprzecznych

(np. grubość i szerokość) znacznie

(np. grubość i szerokość) znacznie

mniejszych od trzeciego wymiaru (długość)

mniejszych od trzeciego wymiaru (długość)





Belka

Belka –– ustrój prętowy z prętami

ustrój prętowy z prętami

rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często

rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często

2

2





Belka

Belka –– ustrój prętowy z prętami

ustrój prętowy z prętami

rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często

rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często

są prostopadłe do osi belki.

są prostopadłe do osi belki.





Rama

Rama –– ustrój prętowy

ustrój prętowy





Krata

Krata –– ustrój prętowy, który składa się z

ustrój prętowy, który składa się z

prętów połączonych przegubami. Siły mogą

prętów połączonych przegubami. Siły mogą

być przykładane tylko w węzłach.

być przykładane tylko w węzłach.

Stopnie swobody

Stopnie swobody





Liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w

Liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w

stanie zrealizować w przestrzeni.

stanie zrealizować w przestrzeni.





Punkt materialny:

Punkt materialny:

3

3

–– w przestrzeni

w przestrzeni –– 3 (3 składowe przesuwu);

3 (3 składowe przesuwu);

–– na płaszczyźnie

na płaszczyźnie –– 2 (2 składowe przesuwu);

2 (2 składowe przesuwu);





Ciało sztywne

Ciało sztywne

–– w przestrzeni

w przestrzeni –– 6 (3 składowe przesuwu i 3

6 (3 składowe przesuwu i 3

składowe obrotu);

składowe obrotu);

–– na płaszczyźnie

na płaszczyźnie –– 3 (2 składowe przesuwu i obrót).

3 (2 składowe przesuwu i obrót).

Podpory, pręty

Podpory, pręty

podporowe

podporowe

(1)

(1)





Podpora przegubowa przesuwna

Podpora przegubowa przesuwna ––

zablokowana jedna składowa

zablokowana jedna składowa

przesuwu, jeden pręt podporowy,

przesuwu, jeden pręt podporowy,

jedna reakcja.

jedna reakcja.

4

4

jedna reakcja.

jedna reakcja.

R

A

R

A

R

A

R

A

R

A

R

A

Podpory, pręty

Podpory, pręty

podporowe

podporowe

(2)

(2)





Podpora przegubowa nieprzesuwna

Podpora przegubowa nieprzesuwna ––

zablokowane obie składowe przesuwu,

zablokowane obie składowe przesuwu,

dwa pręty podporowe, dwie

dwa pręty podporowe, dwie

5

5

dwa pręty podporowe, dwie

dwa pręty podporowe, dwie

niewiadome: reakcja i kierunek lub

niewiadome: reakcja i kierunek lub

dwie składowe reakcji.

dwie składowe reakcji.

V

A

H

A

V

A

H

A

V

A

H

A

R

A



Podpory, pręty

Podpory, pręty

podporowe

podporowe

(3)

(3)





Sztywne zamocowanie

Sztywne zamocowanie –– zablokowane

zablokowane

wszystkie przemieszczenia (dwie

wszystkie przemieszczenia (dwie

składowe przesuwu i obrót), trzy pręty

składowe przesuwu i obrót), trzy pręty

podporowe, trzy niewiadome

podporowe, trzy niewiadome –– dwie

dwie

6

6

podporowe, trzy niewiadome

podporowe, trzy niewiadome –– dwie

dwie

składowe siły i moment.

składowe siły i moment.

V

A

H

A

M

A

Inne sposoby podparcia

Inne sposoby podparcia





Sztywne zamocowanie z możliwością

Sztywne zamocowanie z możliwością

przesuwu:

przesuwu:

–– poprzecznie do osi pręta;

poprzecznie do osi pręta;

7

7

–– poprzecznie do osi pręta;

poprzecznie do osi pręta;

–– wzdłuż pręta.

wzdłuż pręta.

H

A

M

A

V

A

H

A

M

A

Rodzaje obciążeń

Rodzaje obciążeń –

–

układy płaskie

układy płaskie





Siły skupione;

Siły skupione;





Momenty skupione;

Momenty skupione;





Obciążenia liniowo rozłożone;

Obciążenia liniowo rozłożone;

8

8





Obciążenia liniowo rozłożone;

Obciążenia liniowo rozłożone;





Obciążenia momentem liniowo

Obciążenia momentem liniowo

rozłożone.

rozłożone.

Rodzaje obciążeń

Rodzaje obciążeń –

–

układy przestrzenne

układy przestrzenne





Siły skupione;

Siły skupione;





Momenty skupione;

Momenty skupione;





Obciążenia liniowo rozłożone;

Obciążenia liniowo rozłożone;

9

9





Obciążenia liniowo rozłożone;

Obciążenia liniowo rozłożone;





Obciążenia momentem liniowo

Obciążenia momentem liniowo

rozłożone;

rozłożone;





Obciążenia rozłożone na powierzchni;

Obciążenia rozłożone na powierzchni;





Obciążenia rozłożone w objętości.

Obciążenia rozłożone w objętości.

Jednostki obciążeń

Jednostki obciążeń





Obciążenie ciągłe

Obciążenie ciągłe –– kN/m

kN/m





Siła skupiona

Siła skupiona -- kN

kN





Moment skupiony

Moment skupiony -- kNm

kNm

10

10





Moment skupiony

Moment skupiony -- kNm

kNm





Obciążenie ciągłe momentem

Obciążenie ciągłe momentem ––

kNm/m

kNm/m

Reakcje

Reakcje –

– belka

belka

swobodnie podparta

swobodnie podparta

l / 2

P

l / 2

0

:





A

H

X

11

11

P

V

A

H

A

R

B

P

V

A

H

A

R

B

0

:









P

R

V

Y

B

A

0

2

:











l

P

l

R

M

B

A

Reakcje

Reakcje –

– belka

belka

wspornikowa

wspornikowa

l / 2

l / 2

P

M

0

:





A

H

X

12

12

P

l / 2

l / 2

M

V

A

H

A

M

A

0

:







P

V

Y

A

0

2

:











M

l

P

M

M

A

A

Reakcje

Reakcje –

– rama

rama

bezprzegubowa

bezprzegubowa

P

h



M

P

P

0

cos

:











P

P

H

X

A

13

13

l

l

l

h

V

A

H

A

R

B

0

2

3

sin

2

cos

:

























l

R

l

P

h

P

h

P

l

P

M

M

B

A





0

sin

:













P

P

R

V

Y

B

A

Obciążenie ciągłe

Obciążenie ciągłe

równomierne

równomierne





Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego

Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego

liniowo równa jest polu figury opisującej

liniowo równa jest polu figury opisującej

obciążenie i powinna zostać przyłożona w

obciążenie i powinna zostać przyłożona w

środku ciężkości tej figury.

środku ciężkości tej figury.

14

14

l

V

A

H

A

R

B

q

0

:





A

H

X

0

:











l

q

R

V

Y

B

A

0

2

:













l

l

q

l

R

M

B

A

q

ql

l / 2

l / 2

Obciążenie ciągłe

Obciążenie ciągłe

trójkątne

trójkątne

V

A

H

A

R

B

q

0

:





A

H

X

0

1

:











l

q

R

V

Y

15

15

ql

/2

2

3

l /

l /

3

q

l

V

A

R

B

0

2

1

:











l

q

R

V

Y

B

A

0

3

2

2

1

:













l

l

q

l

R

M

B

A

Obciążenie ciągłe

Obciążenie ciągłe

dowolne

dowolne

H

A

q( x )

 

dx

x

q

W

l





0

 

dx

x

x

q

l





16

16

l

V

A

R

B

W

x 0

l - x 0

0

:





A

H

X

0

:









W

R

V

Y

B

A

0

:

0











x

W

l

R

M

B

A

 

W

dx

x

x

q

x







0

0

Obciążenie ciągłe

Obciążenie ciągłe

momentem

momentem

V

A

H

A

R

B

m

0

:





A

H

X

17

17

l

l

m

ml

0

:







B

A

R

V

Y

0

:











l

m

l

R

M

B

A

Przegub

Przegub





Połączenie elementów prętowych w taki

Połączenie elementów prętowych w taki

sposób, że mogą się one swobodnie obracać

sposób, że mogą się one swobodnie obracać

(nie powstaje moment mogący

(nie powstaje moment mogący

przeciwdziałać obrotowi).

przeciwdziałać obrotowi).

18

18

przeciwdziałać obrotowi).

przeciwdziałać obrotowi).





Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym

Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym

moment wewnętrzny jest równy zero.

moment wewnętrzny jest równy zero.





Moment w przegubie od sił zewnętrznych

Moment w przegubie od sił zewnętrznych

znajdujących się po jednej ze stron

znajdujących się po jednej ze stron

przegubu równy jest 0.

przegubu równy jest 0.

Podział ramy w przegubie

Podział ramy w przegubie

h

P

C

P

R

C

R

C

19

19

l

l

h

A

B

R

B

R

A

R

B

=R

C

P

R

C

R

A

Dodatkowe równanie

Dodatkowe równanie

dla przegubu

dla przegubu

h

H

A

P

H

B

0

:









P

H

H

X

B

A

0

:







B

A

V

V

Y

20

20

l

l

V

A

V

B

V

A

H

A

P

V

C

H

C

V

B

H

B

V

C

H

C

0

:











h

H

l

V

M

A

A

l

C

0

:











h

H

l

V

M

B

B

p

C

0

2

:











h

P

l

V

M

B

A

albo

albo

Czwarte równanie:

Czwarte równanie:

Belki przegubowe

Belki przegubowe –

–

rozkład na belki proste

rozkład na belki proste

l

P

l

l

l

q

A

B

C

D

21

21

l

P

l

l

q

A

B

C

V

A

H

A

R

B

l

q

C

D

R

D

H

C

H

C

V

C

V

C

Belki proste

Belki proste –

– równania

równania

równowagi

równowagi

l

q

C

D

R

H

C

V

C

0

:





C

H

X

0

:











l

q

R

V

Y

D

C

0

2

:













l

l

q

l

R

M

D

C

22

22

l

P

l

l

q

A

B

C

V

A

H

A

R

B

H

C

V

C

R

D

0

:







C

A

H

H

X

0

:















l

q

P

V

R

V

Y

C

B

A

0

3

5

,

2

2

:





















l

V

l

l

q

l

P

l

R

M

C

B

A

2



Reakcje

Reakcje –

– belki

belki

przegubowe

przegubowe

(1)

(1)

l

P

l

l

l

q

A

B

C

D

V

H

A

23

23

0

:





A

H

X

0

2

:















l

q

P

R

R

V

Y

D

B

A

0

2

:













l

l

q

l

R

M

D

p

C

0

3

2

4

2

:





















l

l

q

l

P

l

R

l

R

M

D

B

A

V

A

R

B

R

D

Rozwiązanie

Rozwiązanie

0

:





A

H

X

2

0

2

:

l

q

R

l

l

q

l

R

M

D

D

p

C









































24

24

2

2

2

2

2

2

2

0

2

:

l

q

P

l

q

l

q

P

l

q

P

R

R

l

q

P

V

l

q

P

R

R

V

Y

D

B

A

D

B

A















































l

q

P

l

q

P

R

l

l

l

q

l

P

l

R

R

l

l

q

l

P

l

R

l

R

M

D

D

B

D

B

A

2

2

3

2

2

2

3

2

4

0

3

2

4

2

:

























































Podstawienie danych

Podstawienie danych

m

l

kN

P

m

kN

q

2

10

/

5







0



A

H

25

25

0



A

H

0

2

2

/

5

2

10









m

m

kN

kN

V

A

kN

m

m

kN

l

q

R

D

5

2

2

/

5

2











kN

m

m

kN

kN

l

q

P

R

B

25

2

2

/

5

2

10

2

2















