czyli
Metody operatorowe analizy
obwodów SLS
czyli
wszystko staje się łatwiejsze
Prawa Kirchhoffa w postaci operatorowej
I prawo Kirchhoffa
( )
0
k k
k
a i t
∈
=
∑
K
W każdym węźle
K — zbiór gałęzi incydentnych
z wybranym węzłem
1
1
k
a
=
−
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
0
0,
k k
k
k
k
k
k
k
a i t
a
i t
i t
I
s
∈
∈
=
=
=
∑
∑
K
K
L
L
L
( )
0
k
k
k
a I
s
∈
=
∑
K
W każdym węźle obwodu algebraiczna
suma transformat prądów jest równa 0
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
( )
1
i t
( )
2
i t
( )
1
I
s
( )
2
I
s
( )
3
i t
( )
3
I
s
( ) ( ) ( )
1
2
3
0
i t
i t
i t
−
+
−
=
( )
( )
( )
1
2
3
0
I s
I
s
I
s
−
+
−
=
II prawo Kirchhoffa
( )
0
k
k
k
b u t
∈
=
∑
L
W każdym oczku
L
— zbiór gałęzi tworzących
wybrane oczko
1
1
k
b
=
−
( )
∑
( )
( )
{
}
( )
{
}
( )
0
0,
k
k
k
k
k
k
k
k
b u t
b
u t
u t
U
s
∈
∈
=
=
=
∑
∑
L
L
L
L
L
W każdym oczku w obwodzie algebraiczna
suma transformat napięć na gałęziach
tworzących to oczko jest równa 0
( )
0
k
k
k
b U
s
∈
=
∑
L
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
( )
1
u t
( )
2
u
t
( )
3
u t
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
3
U
s
( )
4
u
t
( )
4
U
s
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
0
u t
u t
u t
u
t
−
+
−
+
=
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
0
U s
U
s
U
s
U
s
−
+
−
+
=
Prawo Ohma
Rezystor
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
R
( )
i t
( )
u t
R
( )
I s
( )
U s
( )
u t
( )
( )
( )
( )
u t
Ri t
i t
Gu t
=
=
( )
U s
( )
( )
( )
( )
U s
RI s
I s
GU s
=
=
( )
{ }
( )
{
}
u t
Ri t
=
L
L
Induktor
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
( )
i t
( )
u t
L
( )
0
L
i
−
L
( )
I s
( )
U s
( )
0
L
Li
−
( )
( )
( )
0
L
U s
sLI s
Li
=
−
−
( )
{ }
{ }
( )
{ }
( )
d
d
0
L
i
u t
L
t
sL
i t
Li
=
=
=
−
−
L
L
L
( )
d
d
i
u t
L
t
=
L
( )
I s
( )
U s
( )
0
L
i
s
−
( )
( )
( )
0
1
L
i
I s
U s
sL
s
−
=
+
Kondensator
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
( )
i t
( )
u t
( )
0
C
u
−
( )
0
C
Cu
−
( )
I s
( )
U s
C
( )
( )
( )
0
I s
sCU s
Cu
=
−
−
( )
{ }
{ }
( )
{ }
( )
d
d
0
C
u
i t
C
t
sC
u t
Cu
=
=
=
−
−
L
L
L
( )
d
d
u
i t
C
t
=
( )
( )
( )
0
C
I s
sCU s
Cu
=
−
−
C
( )
I s
( )
U s
( )
0
C
u
s
−
( )
( )
( )
0
1
C
u
U s
I s
sC
s
−
=
+
Źródła autonomiczne
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
( )
e t
( )
E s
( )
( )
{ }
E s
e t
=
L
( )
z
i t
( )
( )
{ }
E s
e t
=
L
( )
z
I
s
( )
( )
{ }
z
z
I
s
i t
=
L
Stany nieustalone w obwodach RLC
Przykład 1.
E
0
R
L
R
0
C
+
u
C
(0–)
i
L
(0–)
t = 0
i(t)
u(t)
( )
( )
0
0
1
6 V
const,
2 Ω,
1Ω,
1H,
F.
2
?
?
E
R
R
L
C
u t
i t
=
=
=
=
=
=
=
=
Warunki początkowe:
( )
( )
0
0
0
0
0
0
2 A,
0
2 V.
L
C
E
R
i
u
E
R
R
R
R
− =
=
− =
=
+
+
Konstruujemy operatorowy schemat zastępczy
E(s)
R
L
C
I(s)
RI(s)
sLI(s)
( )
1
sC
I s
( )
0
c
u
s
−
( )
0
L
Li
−
U(s)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
0
0
C
u
E s
RI s
sLI s
Li
I s
−
−
+
+
−
− +
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
0
0
C
L
u
E s
RI s
sLI s
Li
I s
sC
s
−
−
+
+
−
− +
+
=
( )
0
E
E s
s
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
1
,
1
C
L
C
u
E
Li
u
s
s
I s
U s
I s
sC
s
sL
R
sC
−
+
− −
−
=
=
+
+ +
Po podstawieniu danych liczbowych
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
8
12
6
1
4
2
2
1
1
s
s
I s
s
s
s
s
s
s
s
U s
s
s s
s
s
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
=
= −
+
+
+
+
Transformaty odwrotne są odpowiednio równe
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
2e
cos
sin
A,
6
4e cos
V.
t
t
i t
t
t
t
u t
t
t
−
−
=
+
= −
1
1
Przykład 2.
I
z0
R
1
C
R
2
L
i(t)
t = 0
+
z0
1
2
1
2
3A
const,
1Ω,
2 Ω,
H,
1F.
I
R
R
L
C
=
=
=
=
=
=
( )
1F.
?
C
i t
=
=
Warunki początkowe:
( )
( )
1 z0
0
3V,
0
0
C
L
u
R I
i
− =
=
− =
Operatorowy schemat zastępczy
I
z
(s)
R
1
C
R
2
L
I(s)
( )
0
C
Cu
−
U(s)
I
1
(s)
I
2
(s)
( )
z 0
z
I
I
s
s
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
1
1
I s
U s
R
I
s
sCU s
U s
R I s
sLI s
I s
U s
sL
R
=
=
=
+
⇒
=
+
( )
( )
( ) ( )
z 0
1
2
0
0
C
I
I s
I
s
Cu
I s
s
−
+
+
−
− +
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
z 0
1
2
z0
1
2
1
1
0
0
0
1
1
C
C
I
U s
sCU s
Cu
U s
s
R
sL
R
I
Cu
s
U s
sC
R
sL
R
−
+
+
−
− +
=
+
+
−
=
+
+
+
( )
( )
( )
z 0
0
1
1
1
1
C
I
Cu
s
I s
U s
sL
R
sL
R
+
−
=
=
+
+
( )
( )
2
2
1
2
1
1
I s
U s
sL
R
sL
R
sC
R
sL
R
=
=
+
+
+
+
+
Po podstawieniu danych liczbowych i uporządkowaniu
( )
(
)
(
)
2
6
1
1
3
4
2
3
5
6
s
I s
s
s
s
s s
s
+
=
= +
−
+
+
+ +
( )
( )
{ }
(
)
( )
1
2
3
1 3e
4e
A.
t
t
i t
I s
t
−
−
−
=
= +
−
1
L
Przykład 3.
e(t)
R
1
C
L
R
2
u(t)
E(s)
R
1
C
L
R
2
U(s)
U
1
(s)
I
1
(s)
I
3
(s)
I
2
(s)
e(t), V
2
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
1
2
2
2e
s
e t
t
t
t
t
t
s
E s
−
= ⋅
− ⋅
+
−
−
− +
=
1
1
1
t, s
1
( )
1
2
1
1
2
2
1Ω,
1Ω,
H,
F.
?
R
R
L
C
u t
=
=
=
=
=
( )
2
2
2
2e
s
E s
s
− +
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1 1
1
1
2
3
2
1
1
1
1
U
s
E s
U s
E s
U s
I
s
U
s
R I
s
I
s
R
sC
sC
I
s
U s
sL
I
s
U s
R
=
−
−
=
=
+
+
=
=
( )
( )
( )
1
2
3
0
I
s
I
s
I
s
−
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
2
1
1
1
0
1
1
1 e
1
1
1
4
8
1
s
E s
U s
U s
U s
sL
R
R
sC
E s
R
s
sC
U s
s
s
sL
R
R
sC
−
−
−
+
+
=
+
+
− +
=
=
+ +
+
+
+
1
R
sC
+
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
1
2
e
2
2
2
4
2
4
2
4
s
s
U s
s
s
s
−
+
=
−
+
+
+
+
+
+
+
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
3
1
e
cos 2
sin 2
e
sin 2
1
1
2
2
t
t
u t
t
t
t
t
t
−
−
−
=
−
+
−
−
1
1
u(t), V
1
t, s
1
Funkcje immitancji
Dwójnik
( )
( )
( )
( )
( )
( )
I s
Y s
U s
U s
Z s
I s
≜
≜
— funkcja admitancji dwójnika
— funkcja impedancji dwójnika
( )
( )
( )
( )
1
1
Z s
Y
s
Y s
Z
s
−
−
=
=
I(s)
U(s)
Z(s), Y(s)
Prawo Ohma w postaci operatorowej
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
U s
Z s I s
I s
Y s U s
=
=
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
U s
Z s I s
I s
Y s U s
=
=
Rezystor
( )
( )
( )
( )
1
,
U s
RI s
I s
GU s
G
R
−
=
=
=
( )
( )
Z s
R
Y s
G
=
=
Induktor
L
I(s)
U(s)
( )
( )
( )
( )
1
U s
sLI s
I s
U s
sL
=
=
( )
( )
1
Z s
sL
Y s
sL
=
=
Kondensator
C
I(s)
U(s)
( )
( )
( )
( )
1
I s
sCU s
U s
I s
sC
=
=
( )
( )
1
Y s
sC
Z s
sC
=
=
Łączenie dwójników
Połączenie szeregowe
I
1
(s)
Z
1
(s)
I
2
(s)
Z
2
(s)
U
1
(s)
U
2
(s)
I(s)
Z(s)
U(s)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
1
2
2
2
1
2
,
,
U
s
Z s I s
U
s
Z
s I
s
I s
I
s
I s
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
U s
U
s
U
s
Z s
Z
s
I s
Z s I s
=
+
=
+
=
( )
( )
( )
1
2
Z s
Z s
Z
s
=
+
Połączenie równoległe
U(s)
I(s)
Y
1
(s)
Y
2
(s)
I
1
(s)
I
2
(s)
U
1
(s)
U
2
(s)
Y(s)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
2
2
1
2
,
,
I s
Y s U
s
I
s
Y s U
s
U
s
U
s
U s
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
I s
I s
I
s
Y s
Y s U s
Y s U s
=
+
=
+
=
( )
( )
( )
1
2
Y s
Y s
Y s
=
+
Przykład 1.
R
L
5Ω,
1H.
R
L
=
=
( )
( )
( )
1
1
1
5,
.
5
Z s
sL
R
s
Y s
sL
R
s
Z s
=
+ = +
=
=
=
+
+
Przykład 2.
( )
( )
( )
1
1
1
1
2,
.
1
2
Y s
sC
s
Z s
R
s
Y s
sC
R
=
+ = +
=
=
= +
+
R
C
1
2
Ω,
1F.
R
C
=
=
Przykład 3.
L
R
1
C
R
2
1
2
1
4
1Ω,
4 Ω,
2 H,
F.
R
R
L
C
=
=
=
=
( )
1
1
1
Z s
sL
R
=
+ +
=
( )
(
)
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
3
5
1
1
Z s
sL
R
sC
R
s LCR
s L
R R C
R
R
s
s
sCR
s
=
+ +
=
+
+
+
+ +
+ +
=
=
+
+
( )
( )
2
1
1
2
3
5
s
Y s
Z s
s
s
+
=
=
+ +
Przykład 4.
R
1
C
1
C
2
L
1
L
2
R
2
1
2
1
2
1
2
2 Ω,
1Ω,
1H,
2 H,
1F,
1F.
R
R
L
L
C
C
=
=
=
=
=
=
( )
4
3
2
1
1
5
5
3
1
s
s
s
s
+
+
+ +
( )
(
)
(
)
4
3
2
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
5
5
3
1
1
1
1 2
2
2
1
1
1
1
s
s
s
s
Y s
sL
R
s
s
s
s
sC
sL
R
sC
+
+
+ +
=
+
=
+
+
+
+ +
+
+
+
( )
( )
(
)
(
)
3
2
4
3
2
1 2
2
2
1
1
5
5
3
1
s
s
s
s
Z s
Y s
s
s
s
s
+
+
+ +
=
=
+
+
+ +
Przykład 5.
C
1
C
2
C
3
L
1
L
2
1
2
1
2
3
1H,
1F.
L
L
C
C
C
=
=
=
=
=
( )
5
3
1
4
3
s
s
s
+
+
( )
( )
( )
5
3
1
4
2
1
2
2
3
4
2
5
3
1
4
3
1
3
1
1
1
1
3
1
4
3
s
s
s
Y s
sC
s
s
sL
sC
sL
sC
s
s
Z s
Y s
s
s
s
+
+
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
2
4
3
2
3
2
5
1
2
1
2
3
5
5
5
3
1
1 2
2
2
1
Z s
s
Z s
s
s
Y s
s
s
s
s
s
s
Y s
s
s
s
s
= +
= +
+
=
+ +
+
+
+ +
=
+
+
+ +
Rzeczywiste wymierne
funkcje zmiennej
zespolonej s
( )
4
2
5
3
3
1
4
3
s
s
Z s
s
s
s
+
+
=
+
+
Funkcje rzeczywiste dodatnie
{ }
( )
{
}
Re
0
Re
0
s
F s
≥
⇒
≥
Dzielnik napięcia
E(s)
Z
1
(s)
Z
2
(s)
I(s)
U(s)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
,
,
E s
I s
U s
Z
s I s
=
=
+
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
,
,
I s
U s
Z
s I s
Z s
Z
s
=
=
+
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
1
,
Y s
Y s
Z s
Z
s
=
=
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
1
2
1
2
Z
s
Y s
U s
E s
E s
Z s
Z
s
Y s
Y s
=
=
+
+
Dzielnik prądu
Y
1
(s)
Y
2
(s)
I
z
(s)
I
1
(s)
I
2
(s)
U(s)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
z
1
1
2
2
,
,
I
s
U s
I s
Y s U s
I
s
Y s U s
Y s
Y s
=
=
=
+
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
2
2
1
2
,
,
U s
I s
Y s U s
I
s
Y s U s
Y s
Y s
=
=
=
+
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
1
z
z
1
2
1
2
2
1
2
z
z
1
2
1
2
Y s
Z
s
I s
I
s
I
s
Y s
Y s
Z s
Z
s
Y s
Z s
I
s
I
s
I
s
Y s
Y s
Z s
Z
s
=
=
+
+
=
=
+
+
Przykład 6.
0
3 V
const,
E
=
=
0
1
2
1
4
2 Ω,
1Ω,
2 H,
F.
R
R
L
C
=
=
=
=
( )
?
u t
=
Warunki początkowe
( )
( )
0
0
0
0
L
C
i
u
− =
− =
R
1
R
2
L
C
U(s)
0
E
s
Z
1
(s)
Z
2
(s)
1
1
sC
+
( )
( )
( )
( )
(
)(
)
2
0
2
1
2
1
2
1
1
1
6
3
2
1
2
3
2
3
sC
Z
s
E
R
U s
s
Z s
Z
s
sL
R
sC
R
s
s
s s
s
+
=
=
=
+
+ +
+
=
= −
+
+
+
+
+
( )
(
)
( )
2
3
1 3e
2e
V.
t
t
u t
t
−
−
= −
+
1
Twierdzenie o superpozycji
Obwód
SLS
p
1
(t)
p
2
(t)
r(t)
( ) ( ) ( )
1
2
r t
r t
r t
=
+
gdzie
Obwód
p
1
(t) = 0
r
2
(t)
SLS
p
2
(t)
Wyłączanie pobudzeń:
autonomiczne źródła napięciowe usuwamy z obwodu
i zwieramy zaciski do których było ono dołączone;
autonomiczne
ź
ródła
prądowe
usuwamy
z
obwodu
i pozostawiamy rozwarte zaciski do których było ono dołączone.
Nie wolno usuwać źródeł sterowanych — to nie są pobudzenia!
Przykład 7.
e(t)
i
z
(t)
R
2
L
C
R
1
u(t)
( )
( )
( )
( )
( )
z
1
2
1
1
2
2
5sin 2
V,
2e
,
1Ω,
1Ω,
H,
F.
?
t
e t
t
t
i t
t
R
R
L
C
u t
−
=
⋅
=
=
=
=
=
=
1
1
Warunki początkowe:
( )
( )
0
0,
0
0.
L
C
i
u
− =
− =
e(t)
R
2
L
C
R
1
u
1
(t)
i
z
(t) = 0
E(s)
R
2
L
C
R
1
U
1
(s)
( )
( )
{ }
10
E s
e t
=
=
L
⇌
( )
( )
{ }
2
10
4
E s
e t
s
=
=
+
L
( )
( )
(
)(
)
2
1
1
2
2
2
2
1
2
5
10
20
4
3
1
4
2
2
4
2
2
1
1
1
R
s
s
s
s
U s
E s
s
s
s
s
s
s
R
sL
R
sC
+
+
− +
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
( )
(
) ( )
1
2sin 2
cos 2
e
cos
2sin
t
u t
t
t
t
t
t
−
=
−
+
+
1
e(t) = 0
i
z
(t)
R
2
L
C
R
1
u(t)
I
z
(s)
R
2
L
C
R
1
U
2
(s)
⇌
( )
( )
{ }
2
I
s
i t
=
=
+
L
( )
( )
{ }
z
z
2
1
I
s
i t
s
=
=
+
L
( )
( )
(
)
(
)
2
2 z
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
R I
s
s
U
s
s
s
s
s
s
s
R
sC
R
sL
R
sL
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
( )
(
)
( )
2
e
2e sin
t
t
u
t
t
t
−
−
=
−
1
( )
( )
( )
(
)
( )
1
2
2 sin 2
cos 2
e
e cos
t
t
u t
u t
u
t
t
t
t
t
−
−
=
+
=
−
+
+
1
Co zyskujemy:
1. Prostsze układanie równań
2. Łatwiejsze obliczanie transformaty odwrotnej
Przy analizie całego układu
( ) ( )
(
)(
)
4
3
2
2
2
5
19
30
20
1
4
2
2
s
s
s
s
U s
s
s
s
s
+
+
+
+
=
+
+
+ +
Twierdzenie Thévenina i Nortona
Z
T
(s)
E
T
(s)
A
Twierdzenie
Thévenina
SLS
E(s)
,
I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
T
I
N
(s)
Y
N
(s)
A
B
A
B
B
Thévenina
Twierdzenie
Nortona
SLS
E(s)
,
I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
A
B
Z
T
(s)
E
T
(s)
A
B
U
0
(s)
U
0
(s) = E
T
(s)
A
Z
T
(s)
A
SLS
E(s)
,
I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
B
E
T
(s)
B
I
zw
(s)
( )
( )
( )
T
zw
T
E
s
I
s
Z
s
=
( )
( )
( )
( )
( )
0
T
0
T
zw
U
s
E
s
U
s
Z
s
I
s
=
=
SLS
E(s)
, I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
A
B
U
0
(s)
I
N
(s)
Y
N
(s)
A
B
( )
( )
N
0
N
I
s
U
Y
s
=
A
A
SLS
E(s)
, I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
B
I
zw
(s)
I
N
(s)
Y
N
(s)
B
I
zw
(s) = I
N
(s)
( )
( )
( )
( )
( )
zw
N
zw
N
0
I
s
I
s
I
s
Y
s
U
s
=
=
SLS
E(s)
,
I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
A
B
I(s) = 0
Z
0
(s)
E
T
(s)
U(s) = E
T
(s)
SLS
E(s)
,
I
z
(s)
i
L
(0-), u
C
(0-)
A
B
I
0
(s)
Z
0
(s)
+
E
T
(s)
Z
T
(s)
Z
0
(s)
I
0
(s)
A
B
⇒
⇐
( )
T
Z
s
( )
N
Y
s
( )
( )
N
T
1
Y
s
Z
s
=
Nie usuwamy z układu źródeł sterowanych!!!
E(s)
Z(s)
I
z
(s)
Y(s)
( )
( )
( )
( )
( )
z
1
I
s
E s
Y s
Z s
Y s
=
=
⇐
( )
( )
( )
( )
( )
z
1
E s
I
s
Z s
Y s
Z s
=
=
⇒
Przykład 8.
R
1
R
2
C
L
e(t)
i(t)
( )
( )
( )
1
1
2
2
e
V,
Ω,
2 Ω,
2 F,
1H.
?
t
e t
t
R
R
C
L
i t
−
=
=
=
=
=
=
1
Warunki początkowe:
( )
( )
0
0,
0
0.
C
L
u
i
− =
− =
( )
( )
(
)
( )
T
2
1
T
2
1
1
1
1
1
1
4
5
1
2
2
sC
E
s
E s
s
R
sC
s
Z
s
R
s
sC
R
=
=
+
+
+
=
+
=
+
+
R
1
R
2
C
E(s)
( )
1
1
E s
s
= +
( )
T
E
s
( )
T
Z
s
L
( )
I s
( )
( )
( )
(
)
(
)
T
2
2
T
1
2
2
4
1
5
5
3
1
3
2
2
E
s
s
I s
s
Z
s
sL
s
s
s
s
s
+
=
=
=
−
=
+
+
+ +
+
+ +
( )
(
)
(
)
( )
( )
T
2
2
5
3
1
3
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
2
4
2
4
Z
s
sL
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
+ +
+
+ +
+
=
−
−
+
+
+
+
+
( )
(
)
( )
3
2
1
1
2 e
e
cos
sin
A.
2
2
t
t
i t
t
t
t
−
−
=
−
+
1
Metoda napięć węzłowych
1
R
C
L
( )
i t
+
( )
0
C
u
−
( )
0
L
i
−
t = 0
( )
( )
z0
1
2
3
1
1
2
2
6 A
const,
1Ω,
1Ω,
2 Ω,
H,
F.
?
?
I
R
R
R
L
C
u t
i t
=
=
=
=
=
=
=
=
=
z0
I
2
R
3
R
( )
u t
( )
( )
z0
1 z0
0
6 A,
0
6 V.
L
C
i
I
u
R I
− =
=
− =
=
z0
I
s
( )
0
L
i
s
−
( )
0
C
Cu
−
1
R
C
L
2
R
3
R
( )
I s
( )
U s
1
2
3
( )
n1
U
s
( )
n2
U
s
( )
n3
U
s
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
z0
n1
n2
n1
n3
1
n1
n2
n2
n2
n3
1
2
n2
n3
n1
n3
n3
3
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
C
L
L
C
I
U
U
sC U
U
Cu
s
R
i
U
U
U
U
U
R
R
sL
s
i
U
U
sC U
U
Cu
U
sL
s
R
−
+
−
+
−
−
− =
−
−
−
+
+
−
+
=
−
−
−
−
−
−
+
− +
=
1.
2.
3.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
z0
n1
n2
n3
1
1
n1
n2
n3
1
1
2
1
1
0
0
1
1
1
1
1
C
L
I
sC
U
s
U
s
sCU
s
Cu
R
R
s
i
U
s
U
s
U
s
R
R
R
sL
sL
s
+
−
−
=
+
−
−
−
+
+
+
−
= −
( )
( )
( )
( )
( )
n1
n2
n3
3
0
1
1
1
0
L
C
i
sCU
s
U
s
sC
U
s
Cu
sL
R
sL
s
−
−
−
+
+
+
=
−
−
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
z0
1
1
n1
n2
1
1
2
n3
3
1
1
0
s
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
C
L
L
C
I
Cu
sC
sC
R
R
U
s
i
U
s
R
R
R
sL
sL
s
U
s
i
sC
sC
Cu
sL
R
sL
s
+
−
+
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
−
−
+
+
−
−
( )
0
C
Cu
−
( )
( )
( )
n3
U s
U
s
=
z0
I
s
( )
0
L
i
s
−
1
R
C
L
2
R
3
R
( )
I s
( )
U s
( )
n1
U
s
( )
n2
U
s
( )
n3
U
s
( )
( )
( )
( )
n2
n3
0
1
L
i
I s
U
s
U
s
sL
s
−
=
−
+
( )
( )
( )
n1
n2
n3
6
1
1
3
1
1
2
2
2
2
6
1
2
1
2
1
1
2
6
3
2
2
2
s
s
s
U
s
U
s
s
s
s
U
s
s
s
s
s
s
+
+
−
−
−
+
−
= −
−
−
+ +
−
( )
(
)
( )
(
)
2
2
n2
n3
2
2
3
6
12
6
12
12
2
3
2
3
s
s
s
s
U
s
U
s
s s
s
s s
s
+ +
+
+
=
=
+
+
+
+
( )
( )
(
)
(
)
n3
2
2
2
4
2
4
4
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
s
s
U s
U
s
s
s
s
s
s
s
+
+
=
= +
= +
+
+
+
+
+
+
+
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
n3
2
2
2
2
n2
n3
2
2
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
0
1
6
6
6
2
3
2
4
2
2
1
2
4
2
2
3
1
2
1
2
L
U s
U
s
s
s
s
s
s
s
i
s
s
I s
U
s
U
s
sL
s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
=
= +
= +
+
+
+
+
+
+
+
−
+ +
=
−
+
=
=
+
+
+
+
= +
= +
−
+
+
+
+
+
+
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
4 e
2 cos 2
2 sin 2
V,
2 e
4 cos 2
2 sin 2
A.
t
t
u t
t
t
t
i t
t
t
t
−
−
=
+
+
=
+
−
1
1
( ) ( )
( )
n
n
n
s
s
s
=
Y
U
I
Y
kk
, (Y
mm
) — suma admitancji gałęzi incydentnych z węzłem k, (m)
Y
mk
, Y
km
— suma admitancji gałęzi łączących węzły k i m
wzięta ze znakiem minus
Układ RLC, i
z
( )
( )
( )
( )
t
n
n
,
czyli
km
mk
Y
s
Y
s
s
s
=
=
Y
Y
k
I
nk
(s)
Algebraiczna suma transformat
prądów źródłowych (wydajności
prądowych źródeł prądowych)
dopływających do węzła k, przy
I
n
(s) =
nk
dopływających do węzła k, przy
czym prądy dopływające
bierzemy ze znakiem plus,
a wypływające ze znakiem minus
e(t)
R
1
L
C
1
C
2
R
2
i
z
(t)
i(t)
u(t)
t = 0
+
+
( )
( )
z
z0
5sin V,
2 A
const,
e t
t
i t
I
=
=
=
=
Przykład 1.
( )
( )
z
z0
1
2
1
2
1
2
1Ω,
F,
2 H.
?
?
R
R
C
C
L
i t
u t
=
=
=
=
=
=
=
Warunki początkowe:
( )
( )
( )
1
2
2 z0
0
0,
0
0
2 V.
L
C
C
i
u
u
R I
− =
− =
− =
=
E(s)
R
1
L
C
1
C
2
R
2
I(s)
U(s)
z0
I
s
( )
1
1
0
C
C u
−
( )
2
2
0
C
C u
−
1
2
( )
2
5
1
E s
s
=
+
( )
1
1
1
E s
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1
1
n1
1
n 2
z0
2
2
2
1
1
1
0
1
1
1
0
C
C
E s
sC
C u
R
sL
sL
U
s
R
U
s
I
sC
C u
sL
R
sL
s
+
+
−
+
−
=
−
+
+
− +
( )
( )
( )
( )
( )
n 2
n1
1
1
U s
U
s
I s
E s
U
s
R
=
=
−
( )
( )
2
2
n1
n 2
1
1
1
6
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
s
s
U
s
s
s
s
U
s
s
s
s
s
s
+
+ +
−
+
=
+
−
+ +
( )
(
)
(
)(
)
( )
5
4
3
2
n1
2
2
5
4
3
2
2
4
16
28
14
4
2
1
2
2
2
8
14
12
22
4
s
s
s
s
s
U
s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
+
+
+
+
=
+
+
+ +
+
+
+
+
+
( )
(
)
(
)(
)
5
4
3
2
n 2
2
2
2
8
14
12
22
4
2
1
2
2
s
s
s
s
s
U
s
s s
s
s
s
+
+
+
+
+
=
+
+
+ +
( )
( )
n 2
2
2
1
2
2
6
2
1
2
2
s
s
U s
U
s
s
s
s
s
s
+
=
= −
+
+
+
+
+ +
( )
(
) ( )
2
1 2 cos
2e
e
cos
5sin
V.
t
t
u t
t
t
t
t
−
−
= −
+
+
+
1
( )
( )
( )
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
3
2
n1
2
2
1
2
2
2 2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
6
2
1
2
2
s
s
s
s
s
I s
E s
U
s
R
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
−
−
+
+ +
=
−
= −
=
+
+
+ +
+
= − +
−
+
+
+
+ +
( )
(
) ( )
2
1 sin
2e
e
cos
5sin
A.
t
t
i t
t
t
t
t
−
−
= − +
−
+
+
1
Przykład 2.
R
1
R
2
R
3
L
C
E
u(t)
t = 0
0
1
2
3
1
2
6 V
const,
1Ω,
1Ω,
1Ω,
H,
1F.
E
R
R
R
L
C
=
=
=
=
=
=
=
E
0
1F.
C
=
( )
?
u t
=
Warunki początkowe:
( )
( )
0
0
0
0
L
C
i
u
− =
− =
0
E
s
( )
( )
( )
1
1
1
1
0
sC
U
s
U
s
U
s
+
+
−
−
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n1
n 2
n 3
1
1
n1
n 2
n 3
2
3
3
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
sC
U
s
U
s
U
s
R
sL
sL
R
U
s
U
s
U
s
sL
R
R
sL
R
+
+
−
−
=
−
+
+
+
−
=
1.
2.
W węźle 3: (nie jest to równanie z I prawa Kirchhoffa)
( )
0
n 3
E
U
s
s
=
3.
Równania można uporządkować tak
( )
( )
( )
1
1
n1
n 2
2
3
3
n 3
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
sC
R
sL
sL
R
U
s
U
s
sL
R
R
sL
R
U
s
E
s
+
+
−
−
−
+
+
−
=
lub, po uwzględnieniu równania
3
, tak
E
( )
( )
0
1
1
n1
n 2
0
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E
sC
R
sL
sL
R s
U
s
U
s
E
sL
R
R
sL
R
s
+
+
−
=
−
+
+
( )
( )
(
)
2
n 2
2
2
3
3
12
4
5
2
3
2
3
s
s
s
U s
U
s
s
s
s
s s
s
+ +
+
=
=
= −
+
+
+
+
( )
(
)
( )
4 e
cos 2
2 2 sin 2
V.
t
u t
t
t
t
−
=
−
+
1
Przykład 3.
i
z
(t)
R
1
L
C
( )
i t
α
R
2
i(t)
u(t)
t = 0
( )
z
20 sin
A,
i t
t
=
( )
z
1
2
1 Ω,
1 Ω,
1 H,
1 F,
5.
?
R
R
L
C
u t
α
=
=
=
=
=
=
Warunki początkowe:
( )
( )
0
0
0
0
L
C
i
u
− =
− =
I
z
(s)
R
1
L
C
( )
I s
α
R
2
I(s)
U(s)
1
2
( )
n1
U
s
( )
n 2
U
s
( )
z
2
20
1
I
s
s
=
+
( )
( )
( )
1
1
1
( )
( )
n1
1
1
I s
U
s
R
=
( )
n1
1
U
s
R
α
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n1
n 2
z
1
n1
n 2
2
1
1
1
1
1
1
U
s
U
s
I
s
R
sL
sL
U
s
sC
U
s
I s
sL
R
sL
α
+
−
=
−
+
+
+
=
1.
2.
( )
( )
( )
1
n1
z
n2
1
2
1
1
1
1
1
1
0
R
sL
sL
U
s
I
s
U
s
sC
R
sL
R
sL
α
+
−
=
− −
+
+
( )
( )
2
n1
1
1
20
1
1
1
1
U
s
s
s
s
U
s
+
−
+
=
( )
n2
1
1
5
1
0
U
s
s
s
s
− −
+ +
( )
( )
(
)
(
)(
)
(
)
n2
2
2
2
20 5
1
15
7
1
22
6
1
3
1
1
1
3
1
s
s
U s
U
s
s
s
s
s
s
s
s
+
=
=
=
+
−
+
−
+
+
+
−
+
+
( )
(
)
( )
3
15e
7e
22 cos
6 sin
V.
t
t
u t
t
t
t
−
=
+
−
+
1
Operatorowe transmitancje układów SLS
( ) ( ) ( )
( ) (
)
d
t
r t
h t
p t
h
p t
τ
τ τ
+
=
∗
=
−
∫
( ) ( ) ( )
( ) (
)
0
d
r t
h t
p t
h
p t
τ
τ τ
−
=
∗
=
−
∫
( )
{ }
( ) ( )
{
}
( )
{ }
( )
{ }
r t
h t
p t
h t
p t
=
∗
=
⋅
L
L
L
L
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
,
,
p t
P s
r t
R s
h t
H s
=
=
=
L
L
L
( )
( ) ( )
R s
H s P s
=
H s
P(s)
R(s)
H(s) — operatorowa funkcja transmitancji (funkcja układu)
( )
( )
( )
zerowe
warunki
początkowe
R s
H s
P s
=
Przykład 1.
R
C
u
1
(t)
u
2
(t)
( )
( )
( )
( )
1
2
p t
u t
r t
u
t
=
=
1Ω,
1F.
R
C
=
=
R
( )
( )
1
1
U
s
E s
=
C
U
1
(s)
U
2
(s)
E(s)
( )
( )
( )
2
1
1
1
E s
sC
U
s
E s
sCR
R
sC
=
=
+
+
( )
( )
( )
2
1
1
1
1
1
U
s
H s
sCR
s
U
s
=
=
=
+
+
( )
( )
{
}
( )
1
e
t
h t
H s
t
−
−
=
=
1
L
Przykład 2.
R
1
L
C
R
2
u(t)
i(t)
( ) ( )
( ) ( )
p t
u t
r t
i t
=
=
1
2
1
2
2 Ω,
1Ω,
2 H,
F.
R
R
L
C
=
=
=
=
R
1
L
I(s)
( )
( )
( )
?
I s
H s
U s
=
=
C
R
2
U(s)
I
z
(s)
( )
( )
( )
( )
2
1
z
z
2
2
1
1
,
1
1
R
U s
sL
R
I
s
I s
I
s
sC
sC
R
R
=
+ +
=
+
+
( )
( )
?
H s
U s
=
=
( )
( )
( )
(
)
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
3
3
R
sC
I s
R
H s
U s
sL
R
sC
R
s LCR
s L CR R
R
R
s
s
+
=
=
=
+ +
+
=
=
+
+
+ +
+ +
(
)
2
2
2
1
2
1
2
3
3
s LCR
s L CR R
R
R
s
s
+
+
+ +
+ +
( )
( )
{
}
( )
3
1
2
2 3
3
e
sin
3
2
t
h t
H s
t
t
−
−
=
=
⋅
1
L
Inaczej
R
1
L
C
R
2
U(s)
I(s)
E(s)
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
,
,
1
1
1
1
.
3
3
sC
R
U s
E s
I s
E s
R
sL
R
sC
R
I s
H s
U s
s LCR
s L CR R
R
R
s
s
+
=
=
+ +
+
=
=
=
+
+
+ +
+ +
Przykład 3.
R
1
R
2
C
( )
0
u
t
γ
u
0
(t)
i(t)
u(t)
1
1
1
2
2
2
Ω,
Ω,
1F,
4S.
R
R
C
γ
=
=
=
=
1
2
2
2
Ω,
Ω,
1F,
4S.
R
R
C
γ
=
=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
?
p t
i t
r t
u t
U s
H s
I s
=
=
=
=
R
1
R
2
C
( )
0
U
s
γ
U
0
(s)
I(s)
I
z
(s)
1
2
U
n1
U
n2
U(s)
( )
( )
( )
n1
n 2
z
1
1
sC
U
s
sCU
s
I
s
R
+
−
=
( )
( )
( )
( )
( )
1
n1
n2
0
n1
n2
2
1
R
sCU
s
sC
U
s
U
s
U
s
U
s
R
γ
γ
−
+
+
=
=
−
( )
( )
( )
1
n1
z
n2
2
1
1
0
sC
sC
R
U
s
I
s
U
s
sC
sC
R
γ
γ
+
−
=
−
−
+
+
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
z
n2
z
1
2
1
2
z
1
2
2
1
1
1
I s
I
s
sC
U s
U
s
I
s
sC
sC
sC sC
R
R
R R
sC
I
s
sC R
R
R
γ
γ
γ
γ
γ
=
+
=
=
=
+
+
+
−
+
+
=
+
+ +
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
2
1
2
2
1
4
4
3
1
U s
R R
sC
s
H s
s
I s
sC R
R
R
γ
γ
+
+
=
=
=
+
+
+ +
( )
( )
{
}
( )
( )
1
3
1
1
δ
e
4
4
t
h t
H s
t
t
−
−
=
=
+
1
L
( ) ( )
p t
u t
=
( ) ( )
p t
i t
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
p t
u t
r t
i t
I s
H s
Y s
U s
=
=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
p t
i t
r t
u t
U s
H s
Z s
I s
=
=
=
=
Przykład 4.
R
1
R
2
R
3
C
u
0
(t)
( )
0
u
t
β
( )
( )
Z s
Y s
( )
Y s
1
1
1
2
3
2
2
Ω,
1Ω,
Ω,
1F,
4.
R
R
R
C
β
=
=
=
=
=
R
1
R
2
R
3
C
U
0
(s)
( )
0
U
s
β
U(s)
I(s)
1
2
3
I
z
(s)
( )
( )
U s
U
s
( )
( )
( )
( )
( )
n1
z
U s
U
s
Z s
I s
I
s
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n1
n2
z
1
1
0
n1
n2
n3
n2
1
1
2
2
2
2
0
n2
n3
n2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
U
s
U
s
I
s
R
R
U
s
U
s
sC
U
s
sC
U
s
U
s
R
R
R
R
R
R
U
s
sC
U
s
sC
U
s
U
s
R
R
R
R
R
β
β
β
β
−
=
−
+
+
+
−
+
= −
= −
−
+
+
+
+
=
=
( )
( )
0
n2
U
s
U
s
=
( )
1
U
s
∆
=
( )
( )
( )
( )
1
1
n1
z
n2
1
1
2
2
n3
2
1
2
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
R
R
U
s
I
s
sC
sC
U
s
R
R
R
R
U
s
sC
sC
R
R
R
β
β
−
+
−
+
+
−
−
=
+
−
−
+
+
( )
n
s
Y
( )
( )
( )
( )
1
n1
n
z
1
1
z
n11
1
2
2
2
1
2
n
n
1
0
1
1
1
det
0
1
1
1
0
det
U
s
I
s
R
sC
sC
I
s
R
R
R
sC
sC
R
R
R
s
β
β
∆
= ∆
−
+
∆ =
+
+
−
−
=
∆
+
−
−
+
+
∆ =
Y
(
)
(
)
2
1
3
1
2
3
n11
1
2
3
2
n
1
2
3
1
1
sCR
R
R
R
R
R
R R R
sCR
R R R
β
β
+
+
+
+
+
∆
=
+ +
∆ =
( )
(
)
(
)
2
1
3
1
2
3
n11
n
2
1
4
1
5
sCR
R
R
R
R
R
s
Z s
sCR
s
β
β
+
+
+
+
+
∆
+
=
=
=
∆
+ +
+
1
2, 3, ...
SLS
Z(s)
Y(s)
( )
( )
n11
n
n
n11
Z s
Y s
∆
∆
=
=
∆
∆
SLS
u
1
(t)
u
2
(t)
( )
( )
( )
( )
1
p t
u t
=
( )
( )
2
r t
u
t
=
( )
( )
( )
2
1
?
U
s
H s
U
s
=
=
11
12
1
n1
21
22
2
n2
1
2
n
0
0
z
Y
Y
Y
U
I
Y
Y
Y
U
Y
Y
Y
U
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
=
…
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
1
n1
n
2
n2
n
U
U
∆
=
∆
∆
=
∆
( )
( )
( )
( )
1
n1
2
n2
U
s
U
s
U
s
U
s
=
=
1
2
n
0
Y
Y
Y
U
ρ
ρ
ρρ
ρ
⋯
n
∆
z
12
1
11
z
1
22
2
21
2
1
z
n11
2
z
n12
2
1
0
0
det
,
det
0
0
I
Y
Y
Y
I
Y
Y
Y
Y
Y
I
I
Y
Y
Y
Y
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
∆ =
= ∆
∆ =
= ∆
…
…
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
⋯
( )
n12
n11
H s
∆
= ∆
3, 4, ...
SLS
U
1
(s)
U
2
(s)
1
2
E(s)
U
n1
U
n2
( )
( )
( )
( )
1
n1
2
n2
U
s
U
s
U
s
U
s
=
=
n1
21
22
2
n2
1
2
n
1
0
0
0
0
U
E
Y
Y
Y
U
Y
Y
Y
U
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
=
…
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
1
n1
n
2
n2
n
U
U
∆
=
∆
∆
=
∆
1
2
n
0
Y
Y
Y
U
ρ
ρ
ρρ
ρ
⋯
n
∆
22
2
21
2
1
n11
2
n12
2
1
0
0
1
0
0
0
det
,
det
0
0
E
E
Y
Y
Y
Y
E
E
Y
Y
Y
Y
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
∆ =
= ∆
∆ =
= ∆
…
…
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
⋯
( )
n12
n11
H s
∆
= ∆
Przykład 5.
( )
( )
( )
2
1
U
s
H s
U
s
=
1
1
1
1
+
−
−
( )
1
1
n
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
R
sL
sL
R
s
sL
R
sL
R
sC
R
R
R
R
+
−
−
=
−
+
−
−
−
+
+
Y
( )
(
)
(
)
1
2
1
2
n12
2
n11
1
1
2
1
2
s CR R
L
R
R
H s
s LCR
s CR R
L
R
R
+
+ +
∆
=
=
∆
+
+
+ +
(
)
(
)
1
2
1
2
n12
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
n11
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
s CR R
L
R
R
sC
sL
R
R
R R
sLR R
s LCR
s CR R
L
R
R
sC
R
sL
R
R
sLR R
R
+
+
+
∆
= − −
+
+
−
=
+
+
+
+
∆ =
+
+
+
−
=
1
1
2
1
2
1
2
1Ω,
1Ω,
1H,
1F.
R
R
L
C
=
=
=
=
( )
2
2
2
2
2
s
H s
s
s
+
=
+ +
( )
( )
{
}
( )
1
2e cos
t
h t
H s
t
t
−
−
=
=
⋅
1
L
Przykład 5.
R
1
R
2
C
L
β
u
1
(t)
u
2
(t)
Przykład 6.
1
1
1Ω,
1Ω,
H,
F,
4.
R
R
L
C
β
=
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
1
?
p t
u t
r t
u
t
U
s
H s
U
s
=
=
=
=
1
2
1
1
2
2
1
Ω
,
1
Ω
,
H,
F,
4.
R
R
L
C
β
=
=
=
=
=
β
( )
u t
′
( )
u t
′′
( )
u t
β
′
( )
u t
′
( )
u t
′′
( )
( )
u t
u t
β
′′
′
=
R
1
R
2
C
L
n4
U
β
U
1
(s)
U
2
(s)
1
3
4
2
E(s)
U
n1
U
n3
U
n4
U
n2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n1
n2
n4
n1
n2
n3
n4
1
1
n3
n4
2
1
1
1
1
0
1
0
U
s
E s
U
s
U
s
U
s
U
s
sC
U
s
sCU
s
R
sL
R
sL
sCU
s
sC
U
s
R
β
=
=
−
−
+
+
+
−
=
−
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
n 1
n 2
1
1
n 3
n 4
2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
U
s
E s
U
s
s C
s C
R
s L
R
s L
U
s
U
s
s C
s C
R
β
−
=
−
−
+
+
−
−
+
n12
1
1
2
2
n11
1
2
1
1
1
1
sC
sC
R
R
C
sC
sC
s C
R
sL
R
L
β
β
β
∆
= − −
=
∆
=
+
+
+
−
−
=
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
R
sL
R
L
s L C R
R
s L
C R R
R
sL R R
β
+
+
+ −
+
=
( )
(
)
(
)
2
2
n12
2
2
2
n11
1
2
1
2
1
2
2
2
1
s LCR
s
H s
s
s
s LC R
R
s L
CR R
R
β
β
∆
=
=
=
∆
− +
+
+
+ −
+
( )
( )
( )
2δ
4e cos
t
h t
t
t
t
=
+
⋅
1
Układ nie jest BIBO stabilny!
Własności funkcji transmitancji układów SLS
Operatorowa funkcja transmitancji układu SLS jest rzeczywistą
wymierną funkcją zmiennej zespolonej s, czyli ma postać
gdzie L(s) i M(s) są wielomianami zmiennej s o współczynnikach
rzeczywistych
( )
( )
( )
L s
H s
M s
=
rzeczywistych
Funkcja rzeczywista zmiennej zespolonej:
{ }
( )
{
}
Im
0
Im
0
s
F s
=
⇒
=
Inaczej
( )
( )
F
s
F s
∗
∗
=
Zagadnienie BIBO stabilności
Twierdzenie (przypomnienie)
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy gdy
jego charakterystyka impulsowa ma postać
gdzie
jest funkcją (nie zawiera składników dystrybucyjnych),
oraz
( )
( ) ( )
0
δ
,
h t
a t
h t
=
+
( )
0
h t
( )
∞
oraz
( )
0
0
d
a
h t
t
K
∞
+
+
≤ < ∞
∫
( )
( )
( )
(
)
( )
{ }
0
1
1
k
m
i
kl
i
l
i p
k
l
k
L s
b
H s
a s
h t
M s
s
s
α
=
=
=
=
=
+
=
−
∑
∑∑
L
Twierdzenie
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO, jeżeli jego funkcja
transmitancji spełnia warunki:
1.
a
i
= 0, i = 1, 2, ... , p;
2.
Re{s
k
} =
σ
k
< 0, k = 1, 2, ... , m.
Dowód:
Jeżeli H(s) spełnia warunek 1, to
Oznaczmy
k
j
k
k
s
σ
ω
=
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
0
0
1
1
δ
e
δ
1 !
k
k
m
l
s t
k
l
t
h t
a
t
t
a
t
h t
l
α
−
=
=
=
+
=
+
−
∑∑
1
( )
( )
( )
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
d
e
d
e d
1 !
1 !
k
k
k
k
m
m
l
s t
t
l
k
l
k
l
t
h t
t
t
t
t
l
l
α
α
σ
∞
∞
∞
−
−
=
=
=
=
+
+
+
=
≤
−
−
∑∑
∑∑
∫
∫
∫
1
0
gdy
0
e d
gdy
0
k
k
t
l
k
C
t
t
σ
σ
σ
∞
−
+
≤ < ∞
<
→∞
≥
∫
( )
0
0
gdy
0,
1, 2,...,
d
gdy
istnieje , takie że
0,
k
k
K
k
m
h t
t
k
σ
σ
∞
+
≤ < ∞
<
=
→∞
≥
∫
Dowód — konieczność warunku 1
Jeżeli nie jest spełniony warunek 1, tzn. niech
Jeżeli nie jest spełniony warunek 1, tzn. niech
( )
(
)
1
0
1
1
k
m
kl
l
k
l
k
b
H s
a s
a
s
s
α
=
=
=
+ +
−
∑∑
Wówczas
( )
( )
( )
( )
1
0
0
δ
δ
h t
a
t
a
t
h t
′
=
+
+
a więc układ nie jest BIBO stabilny
c.b.d.o.
Definicja:
Wielomian P(s) nazywa się wielomianem Hurwitza, jeżeli
wszystkie jego pierwiastki mają ujemne części rzeczywiste (leżą
w lewej otwartej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s).
Re{s}
Im{s}
Jeżeli P(s) jest WH to wszystkie jego współczynniki są różne od zera
i mają taki sam znak. Jest to warunek konieczny. W przypadku
wielomianu stopnia drugiego jest to również warunek dostateczny.
Twierdzenie
Układ SLS, o transmitancji
( )
( )
( )
L s
H s
M s
=
jest stabilny w sensie BIBO, jeżeli
( )
( )
( )
1. st
st
2.
jest wielomianem Hurwitza
L s
M s
M s
≤
Warunek 2. oznacza, że funkcja H(s) nie ma biegunów
w domkniętej prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, czyli jest
holomorficzna w tym obszarze.
Wniosek
:
Jeżeli h(t) jest charakterystyką impulsową układu BIBO
stabilnego, to obszar zbieżności transformaty
zawiera domkniętą prawą półpłaszczyznę zmiennej s.
( )
{ }
h t
L
( )
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
1
s LCR
H s
s LC R
R
s L
CR R
R
β
β
=
+
+
+ −
+
Przykład 6. (c.d.)
Układ będzie BIBO stabilny gdy
(
)
1
2
1
0,
czyli
L
CR R
β
+ −
>
1
2
czyli
1
L
CR R
β
< +
Przy zadanych wartościach elementów RLC
2
β
<
Przykład 7.
( )
2
1
1
H s
s
=
+
Układ nie jest BIBO stabilny
(bieguny w punktach
±
j)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
( ) (
) ( )
2
2
1
1
1
,
1
1
1 cos
p t
t
s
P s
R s
H s P s
s
s
s
s s
r t
t
t
=
=
=
=
= −
+
+
= −
1
1
ograniczone
ograniczona
( ) (
) ( )
1 cos
r t
t
t
= −
1
ograniczona
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2e
2
2
1
1
,
1
1
1
1
1
1
e
cos
sin
t
t
p t
t
s
P s
R s
H s P s
s
s
s
s
s
s
r t
t
t
t
−
−
=
=
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+
1
1
ograniczone
ograniczona
( )
( )
( )
( )
(
)(
)
( ) (
) ( )
2
2
2
2
2
3sin 2
6
6
2
2
,
4
1
4
1
4
2 sin
sin 2
p t
t
t
P s
R s
s
s
s
s
s
r t
t
t
t
=
⋅
=
=
=
−
+
+
+
+
+
=
−
1
1
ograniczone
ograniczona
( )
( )
2 sin
p t
t
t
=
⋅
1
ograniczone
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 sin
1
1
2
2
1
1
,
1
1
1
1
1
sin
cos
p t
t
t
s
s
s
P s
R s
s
s
s
s
s
r t
t
t
t
t
=
⋅
+ −
−
−
=
=
=
=
−
+
+
+
+
+
=
−
1
1
ograniczone
nie jest ograniczona
Obwody zawierające wzmacniacze operacyjne
( )
1
u t
+
( )
1
u t
−
( )
2
u t
( )
( )
( )
2
1
1
u t
k u
t
u
t
+
−
=
−
( )
( )
( )
2
1
1
u t
k u
t
u
t
k
=
−
→ ∞
( )
1
u t
+
( )
1
u t
−
( )
( )
1
1
k u
t
u
t
+
−
−
u
2
(t)
+
–
0
I
=
0
I
=
( )
1
Z
s
( )
2
Z
s
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
U s
′
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
1
2
1
2
,
Z
s
U
s
k U
s
U s
U s
U
s
Z
s
Z
s
′
′
=
−
=
+
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1
2
1
kZ
s
U
s
kU
s
Z
s
Z
s
+
=
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
k
U
s
Z
s
Z
s
k
H s
U
s
kZ
s
Z
s
Z
s
k
Z
s
Z
s
Z
s
Z
s
→ ∞
+
=
=
=
→
+
+
+
+
0
I
=
0
I
=
( )
1
Z
s
( )
2
Z
s
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
U s
′
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
0
k
kZ
s
Z
s
U s
U s
U
s
U
s
k
Z s
Z
s
Z s
Z
s
U
s
k
→∞
′
−
=
+
−
=
+
+
=
→
( )
( )
U
s
U
s
+
−
=
czyli w granicy
( )
( )
1
1
2
2
,
Z s
R
Z
s
R
=
=
+
–
1
R
2
R
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( ) ( )
1
1
U s
u t
( )
( )
2
2
U
s
u t
( )
( )
1
1
U s
u t
β
β
( )
( )
1
2
1
2
1
R
U
s
U
s
R
= +
1
2
1
R
R
β
= +
( )
( )
1
2
1
2
1
R
u
t
u t
R
= +
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
1
Z s
( )
2
Z
s
( )
1
I
s
( )
1
I
s
0
I
=
( )
U s
′
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
2
1
1
1
U
s
kU s
I
s
U
s
U s
U s
U
s
Z
Z
s
′
= −
′
′
=
−
=
−
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
k
Z
s
Z
s U
s
Z
s U
s
U s
Z
s
Z
s
Z
s
Z
s
k
U
s
k
U
s
Z
s
Z
s
Z
s
Z
s
Z
s
U
s
Z
s
Z
s
Z
s
H s
U
s
Z
s
Z
s
k
Z
s
Z
s
→ ∞
+
′
=
+
+
= −
+
+
+
=
= −
→ −
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
2
1
1
1
1
we
1
1
1
1
1
k
U
s
I
s
U
s
U s
U
s
U
s
k
Z
s
Z
s
Z
s
U
s
Z
s
Z
s
I
s
→ ∞
′
=
−
=
+
→
=
=
( )
( )
1
1
2
2
,
Z
s
R
Z
s
R
=
=
1
R
2
R
( )
1
I
s
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
1
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1
2
2
1
1
R
U
s
U
s
R
R
u
t
u t
R
= −
= −
( )
( )
1
1
U s
u t
( )
( )
2
2
U
s
u t
( )
( )
1
1
U s
u t
β
β
1
R
2
1
R
R
β
= −
( )
( )
1
2
1
,
Z s
R
Z
s
sC
=
=
( )
1
U
s
( )
2
U
s
R
C
( )
( )
2
1
1
U
s
U
s
sCR
= −
( )
( )
2
1
0
1
d
t
u
t
u
RC
τ τ
−
= −
∫
Integrator
(układ całkujący)
1
2
i
j
k
RLC
U
1
(s)
U
2
(s)
( )
( )
( )
2
1
?
U
s
H s
U
s
=
=
Często k = 2
( )
n12
n11
H s
∆
= ∆
Metoda Nathana
( )
n0
s
Y
— macierz admitancji węzłowych obwodu RLC
(bez wzmacniacza operacyjnego)
Po dołączeniu wzmacniacza:
1. Traci sens równanie dla węzła k, do którego dołączamy wyjście
wzmacniacza operacyjnego;
2. Napięcia węzłowe węzłów i i j stają się równe (czyli U
ni
= U
nj
).
Po dołączeniu wzmacniacza operacyjnego modyfikujemy macierz
admitancji węzłowych Y
n0
w następujący sposób:
1. Z macierzy Y
n0
(s) usuwamy wiersz k,
2. Kolumny i i j dodajemy do siebie (tworzymy z nich jedną
kolumnę).
Powstaje macierz Y
n
(s), która jest macierzą admitancji węzłowych
układu zawierającego wzmacniacz operacyjny.
układu zawierającego wzmacniacz operacyjny.
Wówczas
gdzie są odpowiednimi dopełnieniami algebraicznymi
macierzy Y
n
(s).
( )
n12
n11
H s
∆
= ∆
n12
n11
i
∆
∆
Przykład 1.
R
1
R
2
C
R
( )
1
U
s
( )
2
U
s
R
( )
( )
( )
2
1
?
U
s
H s
U
s
=
=
1
2
3
4
( )
1
U
s
( )
2
U
s
+
( )
1
1
2
2
n0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
sC
sC
R
R
R
R
s
R
R
R
R
sC
sC
R
+
−
−
−
=
−
−
+
−
+
Y
1
1
2
3
4
2
3
4
( )
1
1
n
1
2
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
0
sC
sC
R
R
s
R
R
R
R
sC
sC
R
+
−
−
=
−
−
+
−
+
Y
1
3
4
1
2
3/4
( )
2
n12
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
,
R
sC
sC
sC
R
R
R
R
R
R R
∆
= − −
+
+
+
=
−
( )
( )
1
1
2
2
1
n11
2
1
1
R
R
R
R
R
R R
sC
R
R
∆
= −
+
( )
( )
( )
2
2
n12
1
n11
1
1
1
R
sC
U
s
R R
H s
U
s
sC
R
−
∆
=
=
= −
∆
+
( )
1
2
Gdy
1
1
R
R
sCR
H s
sCR
=
−
=
+
Przypadek szczególny (dosyć częsty!)
RLC
( )
1
U
s
( )
2
U
s
1
2
k
j
( )
( )
( )
2
1
?
U
s
H s
U
s
=
=
Tak jak poprzednio, tworzymy macierz admitancji węzłowych Y
n0
(s)
układu RLC (bez wzmacniacza operacyjnego).
Macierz admitancji węzłowych Y
n
(s) układu ze wzmacniaczem
operacyjnym tworzymy następująco:
1. Usuwamy z macierzy Y
n0
(s) wiersz k (równanie k traci sens);
2. Usuwamy z macierzy Y
n0
(s) kolumnę j (dołączenie wzmacniacza
powoduje, że U
nj
= 0).
Przykład 2.
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
( )
( )
2
1
?
U
s
H s
U
s
=
=
1
2
3
4
1
2
3
4
( )
1
1
3
3
n0
1
1
2
2
1
1
2
2
2
3
3
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
sC
sC
R
R
s
sC
sC
sC
sC
R
R
R
sC
sC
R
R
+
−
−
=
−
−
+
+
+
−
−
−
+
Y
1
1
2
2
3
3
4
4
( )
n
1
1
2
1
1
2
2
3
1
0
0
1
1
1
1
0
s
sC
sC
sC
R
R
R
sC
R
= −
−
+
+
+
−
−
Y
2
n12
sC
R
∆ = −
n12
1
2
2
1
2
n11
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
3
1
2
1
1
1
1
1
1
R
C
C
s C C
sC
sC
s C C
s
R
R
R
R
R
R
R
+
∆ =
+
+
+
+
=
+
+
+
( )
( )
( )
2
2
n12
1
n11
2
1
2
1
1
2
3
3
1
2
1
1
1
sC
U
s
R
H s
C
C
U
s
s C C
s
R
R
R
R
∆
=
=
= −
∆
+
+
+
+
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metody reologiczne w analizie żywności
4 Analiza obwodów prądu stałego
09 metody zintegrowanej analizyid 7959
Metody wykorzystywane w analizie ekonomicznej, Szkoła, Analiza ekonomiczna
Analiza ekonomiczna (33 strony), Rozdział I PROBLEMY METODYCZNE WYKORZYSTANIA ANALIZ
metody badan, ANALIZA WYTWORËW UCZNIOWSKICH
Analizowanie obwodow elektryczn Nieznany
13 WYZNACZENIE ŚRODKA ZGINANIA b, Budownictwo PG, sem4, MDwAK, Metody doświadczalne w analizie konst
2 Metody planowania i analizy strategicznej
analizator obwodow ntw7 cz2
Analiza%20obwodow
MDcw1, Politechnika Gdańska Budownictwo, Semestr 4, Metody doświadczalne w analizie konstrukcji, Spr
więcej podobnych podstron