35

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu jest bardzo popularnym typem ruchu. Dziecko na karuzeli, kamień na sznurku,
punkt na wskazówce zegara – są to typowe przykłady tego rodzaju ruchu. Rozpatrzmy zatem punkt
materialny poruszający się po okręgu.

Zauważ, że wektor wodzący

naszego punktu (którego

wartość

jest promieniem naszego okręgu) zachowuje się jak

wskazówka zegara: nie zmienia się jego długość, tylko kąt
nachylenia względem osi układu współrzędnych.
Dlatego taki ruch bardzo wygodnie jest analizować właśnie w
kontekście kąta

jaki zakreśla wektor wodzący.

Zatem na użytek tego opisu wprowadzamy kinematyczne
wielkości kątowe, które oczywiście będą ściśle związane z
wcześniej poznanymi wielkościami liniowymi. Wielkości te
wielokrotnie przydadzą nam się później przy omawianiu na
przykład dynamiki ruchu obrotowego, a nawet przy ruchu
drgającym i falach!
Przypomnijmy z matematyki, że kąty odpowiadające obrotom
przeciwnym do wskazówek zegara uznajemy za dodatnie, a
zgodnym ze wskazówkami – ujemne.

X

Y

r

α

dα<0

dα>0

Rozpatrzmy mały – różniczkowy obrót wektora wodzącego,
któremu odpowiada przyrost kąta

. Narysowałem go na

sąsiednim rysunku. Następuje tutaj oczywiście zmiana
wektora wodzącego, którą zaznaczam „tradycyjnie” jako

.

Jak wiemy zmiana ta jest „wektorkiem” idealnie pasującym
do różniczki drogi

(jaką zakreśla koniec wektora

wodzącego). Zgodnie z matematyczną definicją kąta (jako
stosunku długości drogi zakreślanej przez koniec promienia
do długości tego promienia) możemy napisać:

Chciałbym Ci zwrócić uwagę, że właśnie z tego wzoru
wynika bezwymiarowa jednostka kąta – radian [rad]:

…bo przecież

i wyrażamy w metrach.

Uwaga: legalne rachunki w fizyce wykonujemy właśnie w
radianach i takie jednostki podstawiamy pod wszystkie
przytaczane tutaj wzory. Jeżeli gdziekolwiek napotykamy
stopnie (i minuty), zamieniamy je na radiany przed
podstawieniem do wzorów!
Wcześniejsze równanie można też przekształcić:

Zauważ, że powyższe wzory łączą „świat” przemieszczeń

X

Y

dα

dr

ds

36

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

liniowych (

) ze „światem” przemieszczeń kątowych

(

). Jak widać ze wzoru „pomostem” pomiędzy tymi

światami jest promień okręgu

(wektorowo

. Wystarczy

wielkość kątową (przesunięcie

, prędkość ,

przyspieszenie

) przemnożyć przez promień (też

wektorowo), wówczas otrzymamy stosowną wielkość liniową
(przesunięcie

, prędkość , przyspieszenie ) Z tego

„pomostu” będziemy często korzystać! Za chwilę poznamy
(powyżej wspomniane) prędkości i przyspieszenia kątowe.

Jeszcze jedno przypomnienie z matematyki: w ogólności
różniczkę kąta możemy traktować jako wektor

! Ponieważ

kąt jest związany z obrotem wokół określonej osi, ten wektor
„leży” właśnie na tej osi, a jego zwrot określamy zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej (lub korkociągu). Po prostu

wektor

ma taki zwrot, jak wkręcałaby się śruba

prawoskrętna (lub korkociąg) obracająca się zgodnie z
przyrostem kąta

.

Po prawej stronie pokazałem – w perspektywie przestrzennej
– obie możliwości kierunku obrotów wektora

i

odpowiadające im orientacje wektorów

Na rysunku umieściłem również układ współrzędnych. Jak
widzisz ruch ciała odbywa się w płaszczyźnie XY, natomiast
osią obrotu jest Z.
Pamiętaj też, że zgodnie z matematyką wektorami są TYLKO
małe przyrosty – różniczki kątów

. Większe kąty

NIE

ZACHOWUJĄ się jak wektory! Jest to jedna z ciekawych
sytuacji, w których „świat” różniczek jest nieco inny, niż
świat dużych przyrostów.

Mając zdefiniowane przesunięcie kątowe możemy – analogicznie jak to czyniliśmy dla wielkości liniowych –
definiować dalsze parametry kątowe: prędkość i przyspieszenie. Ponieważ operujemy na różniczkach, otrzymamy
chwilowe wartości prędkości i przyspieszeń kątowych. One też będą wektorami! Natomiast zrezygnujemy tutaj z
definiowania parametrów średnich.

Y

Z

X

37

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Prędkość kątowa (chwilowa) powstanie z podzielenia
różniczki kąta

przez różniczkę czasu

:

Jest to też wektor skierowany zgodnie z kierunkiem i

zwrotem wektora

(bo czas jako dodatni skalar w tym

kontekście nic nie zmienia).
Poniżej przedstawiam jednostkę prędkości kątowej (która
wynika z podzielenia jednostki kąta przez sekundę):

Prędkość kątową nazywa się też częstością (nie myl z
częstotliwością!). Czasami nazywa się ją częstością
kołową lub pulsacją.
Możemy też znaleźć zależność pomiędzy prędkością
kątową

a liniową

. Są to wektory wzajemnie

prostopadłe (zobacz rysunek po prawej). Wektor
prostopadły możemy uzyskać z pomocą iloczynu
wektorowego. Pomocą jest tutaj nasz „pomost” (wektor

):

Lub w postaci skalarnej:

Nie dopisuję powyżej sinusa kąta pomiędzy wektorami

i

ponieważ są prostopadłe (i sinus jest równy jeden).

Podczas dyskusji o iloczynie wektorowym, początki wszystkich wektorów umieszczaliśmy we wspólnym punkcie.
Tutaj prędkość jest „przyczepiona” do poruszającego się ciała. Ale nie jest to żadem błąd, gdyż pamiętaj, że wektory
możemy swobodnie przesuwać, byle zachować ich kluczowe atrybuty (kierunek, zwrot, wartość).

Z kolei przyspieszenie kątowe będzie pochodną prędkości
kątowej po czasie:

Jest to też wektor skierowany zgodnie z kierunkiem i
zwrotem wektora

(tutaj czas ponownie nic nie

zmienia).
Poniżej przedstawiam jednostkę przyspieszenia kątowego
(która wynika z podzielenia jednostki prędkości kątowej
przez sekundę):

Analogiczne możemy też znaleźć zależność pomiędzy
przyspieszeniem kątowym

a liniowym

. Są to również

wektory wzajemnie prostopadłe (zobacz rysunek).
„Tradycyjnie” pomocą jest tutaj nasz „pomost” (wektor

):

Y

Z

X

Y

Z

X

38

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Lub w postaci skalarnej:

Nie dopisuję powyżej sinusa kąta pomiędzy wektorami

i

ponieważ są prostopadłe.

Jak widzisz uzyskane przyspieszenie (co wynika z
iloczynu wektorowego) jest zawsze prostopadłe do
wektorów

i

, zatem styczne do prędkości

i toru ruchu

(zerknij na rysunek). Zatem tak obliczone przyspieszenie
styczne

(zgodnie z tym co mówiliśmy o przyspieszeniu

stycznym i normalnym) może wpływać na zmiany
wartości wektora

.

Jak powiedzieliśmy powyżej, przyspieszenie styczne wpływa na zmiany wartości wektora prędkości. Natomiast nie
reprezentuje zmian kierunku tego wektora – z którymi wiąże się przyspieszenie normalne

. Jak je obliczyć? Ogólnie

przyspieszenie obliczamy jako pochodną prędkości po czasie:

Wprowadźmy tutaj powyżej uzyskany wzór na prędkość:

:

Mamy tutaj do czynienia z pochodną iloczynu. Prędkość kątowa

może się zmieniać w czasie pod wpływem

wcześniej opisanego przyspieszenia kątowego. Również promień

zmienia się w czasie ponieważ wiruje i swym

końcem „tropi” nasze ciało w ruchu. Zatem oba wektory (

i

) mogą się zmieniać w czasie. Mamy tutaj do czynienia

z pochodną z iloczynu dwóch funkcji. Taką pochodną liczymy zgodnie z zasadą:

Musimy też „uszanować” wektorowy aspekt równania i przepisywać mnożenie wektorowe z zachowaniem kolejności
czynników. Nie jest to trudne – trzeba tylko być systematycznym. Otrzymujemy zatem:

W naszym równaniu rozpoznajemy poznane wielkości: przyspieszenie kątowe:

oraz prędkość:

.

Wpiszmy je do równania na przyspieszenie:

Pierwsze mnożenie wektorowe to znane już przyspieszenie styczne:

…

…w takim razie drugie musi być kolejną składową całego
przyspieszenia – czyli przyspieszeniem normalnym
(prostopadłym do toru):

. Zwróć uwagę na

rysunek po prawej. Wynik tak skonstruowanego iloczynu
wektorowego musi być zawsze prostopadły do prędkości

i toru ruchu. Zatem rzeczywiście jest to składowa

normalna przyspieszenia

. Jest też zawsze przeciwnie

39

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

skierowana do promienia

czyli ciągle skierowana do

środka okręgu. Z tego powodu nazywamy ją też
przyspieszeniem dośrodkowym

:

Lub w postaci skalarnej:

Ponownie nie przepisujemy sinusa kąta pomiędzy

wektorami

oraz

ponieważ są wzajemnie prostopadłe.

Jest to „pełnoprawne” przyspieszenie o stosownej dla tej
wielkości jednostce:

Przypomnijmy, że prędkość liniową zapisaliśmy wcześniej za pomocą prędkości kątowej:

stąd:

. Na

podstawie tych wzorów można wyrażać przyspieszenie dośrodkowe (normalne) tylko z pomocą

lub (i oczywiście

promienia

):

Zwróć uwagę, że do „istnienia” przyspieszenia dośrodkowego „wystarczy” prędkość

i promień okręgu . Zatem

pojawia się ono zawsze, gdy tylko ciało porusza się ruchem krzywoliniowym.

Nic dziwnego – przecież przyspieszenie dośrodkowe zdaje sprawę ze zmian kierunku wektora prędkości a to zawsze
ma miejsce gdy ciało przestaje się poruszać po linii prostej.

W ogólności powyższe równania można zastosować do
innych ruchów krzywoliniowych, ponieważ zawsze do
toru takiego ruchu (linia niebieska na rysunku obok)
można lokalnie dopasować łuk (przerywana linia
czerwona) o określonym promieniu

.

Ale wróćmy do „czystego” ruchu po okręgu. Jest to ruch okresowy – ponieważ co jakiś czas ciało
wraca do punktu wyjścia – czyli ten czas odpowiada jednemu pełnemu obiegowi ciała po okręgu.
Nazywamy go okresem

i wyrażamy w jednostkach czasu . Odwrotność tego czasu nazywamy

częstotliwością

:

r

Y

Z

X

40

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Jak widzisz pojawiła się tutaj nowa jednostka: herc

równa odwrotności sekundy. Poznane

powyżej parametry (

i ) przydają się nie tylko w opisie ruchu po okręgu ale też (podobnie jak

inne poznane powyżej wielkości) w ruchu drgającym i falach. Dlatego warto je zapamiętać. Uwaga:
nie myl wcześniej poznanej częstości (

) z częstotliwością ( ). Ich nazwy są podobne, ale inne!

Niemniej oczywiście są od siebie zależne.

Jeżeli wartość prędkości jest stała (liniowa

i kątowa ) wówczas okres ( ) i częstotliwość ( )

również się nie zmieniają. Można za ich pomocą wyrazić prędkość liniową i kątową oraz
przyspieszenie normalne (dośrodkowe). Pokazuję to poniżej:
W czasie jednego okresu

ciało pokonuje cały okrąg o długości . Zatem wartość prędkości

liniowej można zapisać jako stosunek drogi do czasu:

Wiedząc, że częstotliwość jest odwrotnością okresu można też napisać:

Analogicznie możemy napisać wzory na prędkość kątową (w czasie jednego okresu

ciało

pokonuje drogę kątową równą

):

…lub za pomocą częstotliwości:

Jak widzisz powyższe wzory pięknie spełniają zależność:

(„pomost” pomiędzy światem

liniowym i kątowym).

Z pomocą powyższych wzorów można również wyrazić przyspieszenie normalne:

Przypomnijmy, że przyspieszenie powyższe zdaje sprawę ze zmian kierunku wektora prędkości,
które mają zawsze miejsce w ruchu po okręgu.

Czas na przykład.

41

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Minutowa wskazówka zegara na wieży ma długość 3 m. Oblicz wszystkie możliwe parametry kinematyczne dla
punktu znajdującego się na końcu wskazówki.

Wypisujemy wielkości dane:
(długość wskazówki jest równa długości promienia
wodzącego naszego punktu)
Określamy wielkości szukane:
Mamy tutaj do czynienia z ruchem, w którym wartości
prędkości (liniowych i kątowych) się nie zmieniają. Zatem
możemy obliczać następujące wielkości:
– okres
– częstotliwość
– wartość prędkości liniowej
– wartość prędkości kątowej

– przyspieszenie normalne (dośrodkowe).

Natomiast przyspieszenia styczne i kątowe są z definicji równe
zero:

Rozwiązujemy zadanie. Rachunki są na tyle proste, że po wyrażeniu na danych ogólnych od razu podstawiam liczby i
przedstawiam jednostki:
Wskazówka minutowa dokonuje jednego obrotu w ciągu godziny (60 minut, każda po 60 sekund). Jest to szukany
okres:

Częstotliwość będzie jego odwrotnością:

Oczywiście okres i częstotliwość są parametrami wspólnymi dla wszystkich punktów wskazówki.
Wartość prędkości liniowej możemy obliczyć na podstawie poznanego wzoru:

Podobnie obliczamy wartość prędkości kątowej:

Zauważ, że prędkość kątowa nie zależy od odległości punktu od środka obrotu zatem jest wspólna dla wszystkich
punktów wskazówki.
Obliczmy jeszcze przyspieszenie normalne (dośrodkowe):

Staramy się uzyskać najpierw wynik na danych ogólnych (symbolach). Podstawimy do powyższego równania
wcześniej uzyskany wzór na prędkość liniową:

:

42

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Jak skierowane są obliczone wektory?

- prędkość liniowa

jest skierowana stycznie do toru

naszego punktu i leży w płaszczyźnie tarczy zegara

- przyspieszenie normalne (dośrodkowe)

również leży w płaszczyźnie tarczy zegara i ma kierunek
omawianej wskazówki zegara ale zwrot skierowany do
środka tarczy.

- prędkość kątowa

jest skierowana prostopadle do

płaszczyzny tarczy zegara i ma zwrot (zgodnie z regułą
śruby prawoskrętnej lub korkociągu) do wnętrza zegara

Jak widzisz wcześniej podane równania są stosunkowo proste w zastosowaniach. Orientacje
obliczonych wielkości wektorowych są oczywiście zgodne z wcześniejszymi rysunkami.

Jak już powiedzieliśmy, powyżej poznane parametry ruchu po okręgu warto zapamiętać, gdyż
znajdują zastosowanie nie tylko w kinematyce punktu materialnego.

Chciałbym podkreślić, że wszystkie równania pisaliśmy dla przypadku, gdy oś wokół której wiruje
ciało nie zmienia się – jest ustalona w przestrzeni. Możliwe są również inne sytuacje i wówczas
pokazane zależności ulegają stosownym modyfikacjom.

Pamiętaj, że opis ruchu obrotowego jest w pełni możliwy przy użyciu wcześniej poznanych
wielkości liniowych (promień wodzący, przemieszczenie

, prędkość , przyspieszenie ). Ale

dla większej wygody opisu wprowadza się parametry kątowe ułatwiające rachunki

(przemieszczenie

, prędkość i przyspieszenie kątowe ). Są one wzajemnie w pełni

analogiczne. Podsumujmy je w tabeli (w formie skalarnej):

Wielkość kinematyczna

liniowa

kątowa

43

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Przesunięcie
(przemieszczenie)

Prędkość

Przyspieszenie

Ponieważ pomiędzy tymi wielkościami istnieją ścisłe zależności („pomostem” jest promień) – dla
danego typu ruchu – równania „w świecie” kątowym piszemy analogicznie jak równania „w
świecie” liniowym.