Zagadnienia na egzamin ustny z analizy matematycznej

dla studentów 1mie, 1mii, 1mif

1. Aksjomaty zbioru liczb rzeczywistych

2. Podzbiory liczb rzeczywistych: N, Z, Q. Istnienie liczb niewymiernych.

3. Konstrukcja Dedekinda liczb rzeczywistych

4. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

5. Aksjomat ciągłości. Przykład, że w Q aksjomat ciągłości nie jest prawdziwy.

6. Kresy zbiorów, aksjomat kresu górnego

7. Porównanie aksjomatu kresu ciągłości z aksjomatem kresu górnego

8. Nieograniczoność zbioru N w R

9. Zasada Archimedesa

10. Gęstość zbioru Q w R

11. Część całkowita liczby rzeczywistej (istnienie, wykres)

12. Wartość bezwzględna - definicja, wykres, własności

13. Nierówności między średnimi

14. Funkcje parzyste i nieparzyste; przykłady

15. Funkcje monotoniczne; przykłady

16. Funkcje okresowe; przykłady

17. Funkcje elementarne - przegląd, wykresy

18. Wyprowadzenie wzorów na sin(α + β) i cos(α + β)

19. Wyprowadzenie wzorów na sin α ± sin β i cos α ± cos β

20. Definicja ciągu liczbowego; ciągi monotoniczne i ciągi ograniczone

21. Granica ciągu; przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych

22. Jednoznaczność granicy ciągu

23. Zbieżność sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

24. Twierdzenie o trzech ciągach

25. Zbieżność ciągu (a

n

) a zbieżność ciągu (|a

n

|)

26. Związek między zbieżnością a ograniczonością ciągu

27. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

28. Wykazać, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny

29. Zbieżność ciągu a zbieżność jego podciągów

30. Granica górna i dolna ciągu; przykłady

31. Granice niewłaściwe ciągów

32. Wykazać, że lim

n→∞

n

√

a = 1 dla a > 0.

33. Wykazać, że lim

n→∞

n

√

n = 1.

34. Wykazać, że jeżeli x

n

→ x > 0, to log

a

x

n

→ log

a

x.

35. Wykazać, że jeżeli x

n

→ x, to a

x

n

→ a

x

dla a > 0.

36. Wykazać, że jeżeli x

n

→ x > 0 i y

n

→ y, to x

y

n

n

→ x

y

.

37. Wykazać, że lim

n→∞

n

k

a

n

= 0 dla a > 1.

38. Wykazać, że lim

n→∞

a

n

n!

= 0.

39. Wykazać, że lim

n→∞

log

a

n

n

= 0.

40. Zbieżność ciągu x

n

= 1 +

1

n

n

(uzasadnić!)

41. Wykazać, że jeżeli x

n

→ ±∞, to



1 +

1

x

n



x

n

→ e.

42. Twierdzenie Stolza (bez dowodu) i wnioski

43. Wykazać, że jeżeli a

n

→ a, to

a

1

+...+a

n

n

→ a.

44. Wykazać, że jeżeli a

n

→ a, to

n

√

a

1

· . . . · a

n

→ a.

45. Zasada zupełności Cauchy’ego

46. Granica funkcji

47. Równoważność definicji Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji

48. Granice jednostronne a granica funkcji

49. Granice niewłaściwe funkcji i granice w nieskończoności

50. Granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji

51. Twierdzenie o trzech funkcjach

52. Wykazać, że lim

x→0

sin x

x

= 1.

53. Wykazać, że lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e.

54. Wyrażenia nieoznaczone; przykłady różnych granic dla tego samego wyrażenia nieoznaczonego

55. Ciągłość funkcji w punkcie i ciągłość w zbiorze (!NAJWAŻNIEJSZE POJĘCIE!)

56. Rodzaje nieciągłości

57. Ciągłość sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych

58. Ciągłość funkcji złożonej, ciągłość funkcji odwrotnej

59. Twierdzenie Darboux

60. Ciągłość funkcji elementarnych (dowody!)

61. Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym (przedstawienie konstrukcji bez dowodów)

62. Istnienie logarytmu

63.

∗

Twierdzenie Cantora o jednostajnej ciągłości

64.

∗

Twierdzenie Weierstrassa o funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym i ograniczo-

nym