5-1
5. Fala
płaska na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych
Zakładamy, że każdy z dwóch ośrodków liniowych, jednorodnych, izotro-
powych i bezstratnych wypełnia półprzestrzeń w ten sposób, że płaszczy-
zna z = 0 stanowi granicę między nimi. Na granicę tę pada fala płaska
o pulsacji ω pod dowolnym kątem θ
I
względem normalnej. W ogólnym
przypadku powstaje fala odbita i przechodząca, przy czym ich wektory fa-
lowe leżą w jednej płaszczyźnie tzw. płaszczyźnie padania.
W rozważaniach tego rozdziału przyjmiemy następujące oznaczenia:
ˆx ,
ˆy
, ˆz – wersory prostokątnego układu współrzędnych x, y, z
k
I
, k
R
, k
T
– wersory w kierunku fali padającej (indeks „I” ang. incident),
odbitej („R” ang. reflected) i przechodzącej („T” ang. transmitted)
k
I
, k
R
, k
T
– liczby falowe związane z odpowiednimi falami.
5.1. Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym
Rozważymy przypadek padania prostopadłego (θ
I
= 0) zakładając, że fala
padająca spolaryzowana jest w kierunku osi x, jak na rys. 5.1.
Rys. 5.1. Fala płaska padająca prostopadle na granicę dwóch ośrodków.
Można ją przedstawić za pomocą wzorów
I
I
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
I
z t
E
k z
t
ω
=
−
E
x
I
I
1
1
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
I
z t
E
k z
t
Z
ω
=
−
H
y
(5.1)
W wyniku tego powstaje fala odbita, poruszająca się do tyłu w ośrodku 1
R
R
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
R
z t
E
k z
t
ω
=
−
−
E
x
R
R
1
1
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
R
z t
E
k z
t
Z
ω
= −
−
−
H
y
(5.2)
5-2
i fala przechodząca do ośrodka 2
T
T
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
T
z t
E
k z
t
ω
=
−
E
x
T
T
2
1
ˆ
( , )
exp[ j(
)]
T
z t
E
k z
t
Z
ω
=
−
H
y
(5.3)
Amplitudy E
I
, E
R
, E
T
mogą być w ogólności zespolone.
Dla poprawy czytelności wzorów zastosowano oznaczenie
j(
)
e
exp[ j(
)]
n
k z
t
n
k z
t
ω
ω
−
≡
−
, gdzie n = I, R, T
W powyższych wyrażeniach Z
1
i Z
2
są impedancjami właściwymi ośrod-
ków bezstratnych:
1
2
1
2
1
2
;
Z
Z
μ
μ
ε
ε
=
=
przy czym dla próżni
0
0
0
120
377
Z
μ
ε
=
≈
πΩ ≈
Ω
.
Trzy liczby falowe są powiązane równaniami
I 1
R 1
T 2
k
k
k
ω
=
=
=
v
v
v
(5.4)
przy czym
1
2
1
2
1 1
r1 r1 0 0
2
2
r2
r2 0 0
1
1
1
1
;
c
c
n
n
ε μ
ε μ ε μ
ε μ
ε μ ε μ
=
=
=
=
=
=
v
v
(5.5)
Przyjmując, że prądy i ładunki powierzchniowe nie istnieją, warunki brze-
gowe na płaszczyźnie z = 0 przyjmują postać:
• dla składowych stycznych pól
t2
t1
0
−
=
E
E
(5.6a)
t 2
t1
0
−
=
H
H
(5.6b)
• dla składowych normalnych pól
n2
n1
0
D
D
−
= (5.6c)
n2
n1
0
B
B
−
= (5.6d)
W związku z tym, że nie ma składowych normalnych (fale są typu TEM)
warunki (5.6c) i (5.6d) są spełnione automatycznie. Natomiast z warunków
(5.6a) i (5.6b)mamy
I
R
T
E
E
E
+
=
(5.7)
I
R
T
1
2
E
E
E
Z
Z
−
=
(5.8)
Stąd można wyznaczyć amplitudy fali przechodzącej i odbitej przez ampli-
tudę fali padającej
2
1
2
R
I
T
I
1
2
1
2
2
;
Z
Z
Z
E
E
E
E
Z
Z
Z
Z
⎛
⎞
⎛
⎞
−
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
(5.9)
5-3
Przepływ energii
Wiemy, że fala elektromagnetyczna niesie energię. Znając zależności mię-
dzy amplitudami odbitej i przechodzącej w stosunku do amplitudy fali pa-
dającej można wyznaczyć jaka część energii odbija się a jaka przechodzi
do drugiego ośrodka. Wektor Poyntinga
2
V A
W
m m
m
⎡
⎤
≡ ×
⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
S E H
(5.10)
stanowi powierzchniową gęstość strumienia mocy przenoszoną przez falę
elektromagnetyczną. Uśredniona (w czasie) po pełnym cyklu (lub równie
dobrze po wielu cyklach) powierzchniowa gęstość strumienia mocy nazy-
wa się natężeniem fali i jest równa
1
2
Re(
* )
T
I
S
≡
≡
×
E H
(5.11)
W ośrodku bezstratnym natężenia fali padającej, odbitej i przechodzącej
przedstawiają wyrażenia
2
I
I
1
1 1
2
I
E
Z
=
;
2
R
R
1
1 1
2
I
E
Z
=
,
2
T
T
2
1 1
2
I
E
Z
=
(5.12)
Zdefiniujemy współczynnik odbicia mocy
2
2
R
R
2
1
P
2
2
I
1
2
I
(
)
(
)
E
I
Z
Z
R
I
Z
Z
E
−
≡
=
=
+
(5.13)
i współczynnik transmisji mocy
2
T
T
1
1 2
P
2
2
I
2
1
2
I
4
(
)
E
I
Z
Z Z
T
I
Z
Z
Z
E
≡
=
=
+
(5.14)
Zauważamy, że
P
P
1
R
T
+
= (5.15)
W technice mikrofalowej definiuje się też współczynnik odbicia pola elek-
trycznego
Γ zdefiniowany jako stosunek amplitudy fali odbitej do ampli-
tudy fali padającej w płaszczyźnie z = 0. Jego wartość na podstawie wzoru
(5.9) jest równa
R
2
1
I
1
2
E
Z
Z
E
Z
Z
−
Γ =
=
+
(5.16)
Jak widać współczynniki transmisji i odbicia mocy można wyrazić przez
Γ
2
2
P
P
,
1
R
T
= Γ
= − Γ (5.17)
5-4
5.2. Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym
Przyjmujemy, że z lewej strony płaszczyzny z = 0 pada monochromatycz-
na fala płaska (rys. 10.2)
I
I
I
I
( , )
( ) exp[ j(
)]
t
k
t
ω
=
⋅ −
E r
E r
k r
,
I
I
I
1
1
( , )
( , )
t
t
Z
=
×
H r
k
E r
(5.20)
W wyniku tego powstaje fala odbita, która pozostaje w ośrodku 1
R
R
R
R
( , )
( ) exp[ j(
)]
t
k
t
ω
=
⋅ −
E r
E r
k r
,
R
R
R
1
1
( , )
( , )
t
t
Z
=
×
H r
k
E r
(5.21)
i fala przechodząca do ośrodka 2
T
T
T
T
( , )
( ) exp[ j(
)]
t
k
t
ω
=
⋅ −
E r
E r
k r
,
T
T
T
2
1
( , )
( , )
t
t
Z
=
×
H r
k
E r
(5.22)
Rys. 5.2. Wektory falowe przy załamaniu fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków.
Warunki brzegowe (5.6) służą do połączenia pól
I
R
( , )
( , )
t
t
+
E r
E r
i
I
R
( , )
( , )
t
t
+
H r
H r
w ośrodku 1 z polami
T
( , )
t
E r
i
T
( , )
t
H r
w ośrodku 2.
Wszystkie te warunki mają ogólną strukturę
I
I
R
R
T
T
( ) exp[ j(
)] ( )exp[ j(
)]
( ) exp[ j(
)]
k
t
k
t
k
t
ω
ω
ω
⋅
⋅ −
+ ⋅
⋅ −
= ⋅
⋅ −
k r
k r
k r
(5.23)
Ponieważ warunki brzegowe muszą być spełnione we wszystkich punktach
płaszczyzny i dla wszystkich czasów, więc te wykładniki muszą być sobie
równe. Składowe czasowe są już równe.
Równość czynników przestrzennych prowadzi do wzoru
I
I
R
R
T
T
k
k
k
⋅ =
⋅ =
⋅
k r
k r
k r
dla z = 0
(5.24)
który musi być spełniony także dla wszystkich x i y w płaszczyźnie roz-
działu.
5-5
Można przedstawić to wyrażenie w jawnej postaci, czyli wektor pozycyjny
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
z
=
+
+
r x
y
z
a np.
I
I
I
I
ˆ
ˆ
ˆ
( )
( )
( )
x
y
z
=
+
+
k
x k
y k
z k
. Wyliczając osobno
dla punktów leżących na prostej
0
x
= i dla punktów leżących na prostej
0
y
= (oczywiście dla
0
z
= ) otrzymujemy
I
I
R
R
T
T
( )
(
)
(
)
x
x
x
k
k
k
=
=
k
k
k
(5.25a)
I
I
R
R
T
T
( )
(
)
(
)
y
y
y
k
k
k
=
=
k
k
k
(5.25b)
Można teraz bez straty ogólności tak wybrać osie układu współrzędnych,
żeby k
I
leżało w płaszczyźnie xz. Zgodnie z (5.25b) prowadzi to do zero-
wania także y-owych składowych wektorów k
R
i k
T
. Stąd wniosek:
Pierwsze prawo: Wektory falowe fali padającej, odbitej i prze-
chodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną pa-
dania wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną
do płaszczyzny rozdziału ośrodków.
Przyjęto określać kierunek wersorów k
I
, k
R
, k
T
przez kąty θ
I
, θ
R
, θ
T
zwane
odpowiednio kątem padania, odbicia i załamania. Są one mierzone od
normalnej do płaszczyzny padania (tutaj oś z).
Z równania (5.25a) wynika
I
I
R
R
T
T
sin
sin
sin
k
k
k
θ
θ
θ
=
=
(5.26)
Pamiętając, że trzy liczby falowe są powiązane równaniami
I 1
R 1
T 2
k
k
k
ω
=
=
=
v
v
v
, czyli
2
1
I
R
T
T
1
2
n
k
k
k
k
n
=
=
=
v
v
(5.27)
otrzymujemy:
Drugie prawo – prawo odbicia: Kąt padania jest równy kątowi odbi-
cia
I
R
θ θ
=
(5.28)
Trzecie prawo – prawo załamania albo Snelliusa (Snella)
T
I
1
I
T
2
sin
sin
k
n
k
n
θ
θ
=
=
(5.29)
Są to trzy podstawowe prawa optyki geometrycznej.
5-6
Fala padająca spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania
Rozważmy przypadek fali spolaryzowanej równolegle do płaszczyzny pa-
dania (rys. 5.3)
Rys. 5.3 Fala płaska spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania.
Z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól elektrycznych
(5.6a) otrzymujemy
I
I
R
R
T
T
cos
cos
cos
E
E
E
θ
θ
θ
+
=
(5.30)
a z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól magnetycznych
(5.6b)
I
R
T
1
2
E
E
E
Z
Z
−
=
(5.31)
Dla składowych normalnych tylko warunki brzegowych związane z polem
elektrycznym (5.6c) wnoszą nowe zależności
1
I
I
R
R
2
T
T
(
sin
sin
)
(
sin )
E
E
E
ε
θ
θ
ε
θ
−
+
=
−
(5.32)
gdyż pola magnetyczne nie mają składowych z.
Ze względu na prawa odbicia i załamania równanie (5.32) przechodzi
w (5.31) i w rezultacie otrzymujemy układ dwóch równań
T
I
R
T
I
cos
cos
E
E
E
θ
θ
+
=
(5.33)
1
I
R
T
2
Z
E
E
E
Z
−
=
(5.34)
z których wyznaczamy amplitudy fali odbitej i przechodzącej
T
1
I
2
R
I
T
I
T
1
T
1
I
2
I
2
cos
2
cos
,
cos
cos
cos
cos
Z
Z
E
E
E
E
Z
Z
Z
Z
θ
θ
θ
θ
θ
θ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(5.35)
5-7
Wzory te znane są jako równania Fresnela dla polaryzacji w płaszczyźnie
padania. Dla uproszczenia zapisu można wprowadzić bezwymiarowe
wielkości
T
I
cos
cos
a
θ
θ
=
1
2
Z
b
Z
=
(5.36)
Wzory Fresnela przyjmują wtedy postać
R
I
T
I
2
,
a b
E
E
E
E
a b
a b
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
(5.37)
Interesujący jest przypadek istnienia kąta padania (zwanego kątem
Brewstera) przy którym fala odbita jest całkowicie stłumiona. Zachodzi to
gdy
a b
=
. Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa (5.29) można
uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera
2
1
tg
B
n
n
θ
≅
(5.38)
Uwaga: okazuje się, że fale spolaryzowana prostopadle do płaszczy-
zny padania nie wykazują takiego wygaszenia składowej odbitej, więc
dowolna wiązka padająca pod kątem Brewstera prowadzi do wiązki odbi-
tej całkowicie spolaryzowanej prostopadle do płaszczyzny padania (czyli
równolegle do płaszczyzny granicznej).
Odbicie i transmisja mocy
Podobnie jak dla padania pod kątem prostym będziemy interesować
się energią odbitą i przechodzącą. Moc fali padająca na jednostkę pola
powierzchni granicznej wynosi
ˆ
⋅
S z
, inaczej mówiąc jest to wartość skła-
dowej prostopadłej do powierzchni. Stąd natężenie fali padającej (uśred-
nionej wartości wektora Poyntinga) jest równe
2
I
I
I
1
1 1
cos
2
I
E
Z
θ
=
(5.39)
podczas gdy natężenia fali odbitej i przechodzącej wynoszą
2
R
R
R
1
1 1
cos
2
I
E
Z
θ
=
,
T
T
T
2
1 1
cos
2
I
E
Z
θ
=
(5.40)
Pojawiające się funkcje cosinus wynikają z tego, że interesujemy się śred-
nią mocą na jednostkę pola powierzchni granicznej, która jest ustawiona
pod kątem do czoła fali.
5-8
Współczynniki odbicia i transmisji mocy fal spolaryzowanych równolegle
do płaszczyzny padania są odpowiednio równe
2
2
R
R
P||
2
I
I
E
I
a b
R
I
a b
E
−
⎛
⎞
≡
=
= ⎜
⎟
+
⎝
⎠
(5.41)
2
2
T
T
T
1
P||
2
I
2
I
I
cos
2
cos
E
I
Z
T
ab
I
Z
a b
E
θ
θ
⎛
⎞
≡
=
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
(5.42)
Suma
P||
P||
1
R
T
+
=
, czego wymaga zasada zachowania energii.
Przykład. Wyznaczyć współczynniki odbicia i transmisji mocy dla pa-
dania prostopadłego za pomocą współczynników załamania ośrod-
ków. Przyjmujemy, że dla większości materiałów
0
μ μ
≈
i dlatego
współczynnik załamania
r r
r
n
μ ε
ε
=
≅
. Obliczyć te współczynniki
gdy światło przechodzi z powietrza (n
1
= 1) do szkła (n
2
= 1,5).
Impedancję właściwą ośrodka Z
1
(Z
2
) można wyrazić za pomocą n
1
(n
2
)
r1 0
0
1
r1 0
1
Z
Z
n
μ μ
ε ε
=
≈
i
r 2 0
0
2
r 2 0
2
Z
Z
n
μ μ
ε ε
=
≈
(5.18)
Po podstawieniu (5.18) do wzorów (5.13) i (5.14) mamy
2
1
2
P
2
1
2
(
)
(
)
n
n
R
n
n
−
=
+
i
1
2
T
2
1
2
4
(
)
n n
R
n
n
⋅
=
+
(5.19)
Podstawiając dane otrzymujemy R
P
= 0,04 i R
T
= 0,96. Oznacza to, że przy
przejściu światła z powietrza do szkła – większość światła przechodzi.
5-9
Przykład. Uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera, czyli takiego
kąta padania, dla którego nie ma fali odbitej:
2
1
tg
B
n
n
θ
≅
Zachodzi to dla fal spolaryzowanych równolegle do płaszczyzny pa-
dania gdy a = b:
T
1
1
2
1
2
2
1
2
I
2
1
2
2
1 1
2
1
cos
cos
Z
n
Z
n
=
=
=
=
θ
μ ε
μ
ε μ
μ
θ
ε μ
μ
ε μ
μ
Zwykle ośrodki charakteryzuje
1
2
0
=
=
μ
μ
μ , wtedy
T
2
I
1
cos
cos
n
n
=
θ
θ
To samo można uzyskać stosując wzory (5.18) i (5.19) z przykładu
powyżej. Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa
I
2
T
1
sin
sin
n
n
=
θ
θ
uzyskujemy
T
I
I
T
cos
sin
cos
sin
=
θ
θ
θ
θ
i dalej
T
T
I
I
cos
sin
sin cos
=
θ
θ
θ
θ
Ostatecznie
T
I
sin 2
sin 2
=
θ
θ
Powyższe wyrażenie jest spełnione, gdy
T
I
2
2
=
θ
θ
albo
T
I
2
2
= π −
θ
θ
.
Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji gdy oba ośrodki mają równe
współczynniki załamania, drugi – wyznacza kierunek promienia załama-
nego w postaci
T
I
π
= −
2
θ
θ
Podstawiając ten wynik do prawa Snelliusa uzyskujemy wyrażenie na
tangens kąta padania, zwanego kątem Brewstera
B
θ
B
B
2
B
1
B
sin
sin
tg
cos
sin
B
n
n
=
=
=
π
⎛
⎞
−
⎜
⎟
2
⎝
⎠
θ
θ
θ
θ
θ
5-10
5.3. Całkowite wewnętrzne odbicie
Gdy fala pada z ośrodka optycznie gęstszego do rzadszego może wystąpić
zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Z prawa Snelliusa mamy
T
2
I
T
T
I
1
sin
sin
sin
k
n
k
n
=
=
θ
θ
θ (1)
I
1
T
I
I
T
2
sin
sin
sin
k
n
k
n
=
=
θ
θ
θ (2)
Stopniowo zwiększając kąta padania
I
θ dochodzimy do sytuacji gdy kąt
załamania
T
2
= π
θ
. Taki kąt nazywamy kątem krytycznym, czyli
T
2
kr
I
1
sin
k
n
k
n
=
=
θ
(3)
Jeżeli
I
θ zwiększamy powyżej wartości
kr
θ wtedy
T
θ stanie się urojone.
Fala załamana ma postać
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ˆ
( , )
( )exp[j(
)]
( )exp[j(
sin
cos
)]
t
k
t
k x
k z
t
=
⋅ −
=
=
+
−
E r
E r
k r
E r
ω
θ
θ
ω
(4a)
T
T
T
2
1 ˆ
( , )
( , )
t
t
Z
=
×
H r
k
E r
(4b)
Przy czym w ogólności rozważając polaryzację równoległą i prostopadła
do płaszczyzny padania
T
T
T
T
T
T
ˆ
ˆ
ˆ
( )
cos
sin
E
E
E
⊥
=
+
+
E r
x
y
z
&
&
θ
θ . (5)
Wiemy, że
2
2
2
2
2
2
T
T
T
T
T
T
I
I
cos
sin
sin
k
k
k
k
k
=
−
=
−
θ
θ
θ (6)
gdzie skorzystaliśmy z prawa prawa Snelliusa (2).
Powyżej kąta krytycznego wyraz
T
T
cos
k
θ będzie urojony. Możemy więc
zapisać
T
T
cos
j
k
p
= ±
θ
gdzie p jest rzeczywiste i równe
2
2
2
I
I
T
sin
p
k
k
=
−
θ
(7)
Stąd podstawiając (7) do (4a) i ponownie korzystając z (2) otrzymujemy
falę propagującą się w kierunku x i zanikającą w kierunku z
T
T
I
I
( , )
( )exp(
)exp[ j(
sin
)]
t
pz
xk
t
=
−
−
E r
E r
θ
ω (8)
Jest to przykład powierzchniowej fali elektromagnetycznej tzw. zanikają-
cej (ang. evanescent wave).