5-1

5. Fala

płaska na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych

Zakładamy, że każdy z dwóch ośrodków liniowych, jednorodnych, izotro-
powych i bezstratnych wypełnia półprzestrzeń w ten sposób, że płaszczy-
zna z = 0 stanowi granicę między nimi. Na granicę tę pada fala płaska
o pulsacji ω pod dowolnym kątem θ

I

względem normalnej. W ogólnym

przypadku powstaje fala odbita i przechodząca, przy czym ich wektory fa-
lowe leżą w jednej płaszczyźnie tzw. płaszczyźnie padania.

W rozważaniach tego rozdziału przyjmiemy następujące oznaczenia:

ˆx ,

ˆy

, ˆz – wersory prostokątnego układu współrzędnych x, y, z

k

I

, k

R

, k

T

– wersory w kierunku fali padającej (indeks „I” ang. incident),

odbitej („R” ang. reflected) i przechodzącej („T” ang. transmitted)
k

I

, k

R

, k

T

– liczby falowe związane z odpowiednimi falami.

5.1. Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym

Rozważymy przypadek padania prostopadłego (θ

I

= 0) zakładając, że fala

padająca spolaryzowana jest w kierunku osi x, jak na rys. 5.1.

Rys. 5.1. Fala płaska padająca prostopadle na granicę dwóch ośrodków.

Można ją przedstawić za pomocą wzorów

I

I

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

I

z t

E

k z

t

ω

=

−

E

x

I

I

1

1

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

I

z t

E

k z

t

Z

ω

=

−

H

y

(5.1)

W wyniku tego powstaje fala odbita, poruszająca się do tyłu w ośrodku 1

R

R

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

R

z t

E

k z

t

ω

=

−

−

E

x

R

R

1

1

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

R

z t

E

k z

t

Z

ω

= −

−

−

H

y

(5.2)

5-2

i fala przechodząca do ośrodka 2

T

T

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

T

z t

E

k z

t

ω

=

−

E

x

T

T

2

1

ˆ

( , )

exp[ j(

)]

T

z t

E

k z

t

Z

ω

=

−

H

y

(5.3)

Amplitudy E

I

, E

R

, E

T

mogą być w ogólności zespolone.

Dla poprawy czytelności wzorów zastosowano oznaczenie

j(

)

e

exp[ j(

)]

n

k z

t

n

k z

t

ω

ω

−

≡

−

, gdzie n = I, R, T

W powyższych wyrażeniach Z

1

i Z

2

są impedancjami właściwymi ośrod-

ków bezstratnych:

1

2

1

2

1

2

;

Z

Z

μ

μ

ε

ε

=

=

przy czym dla próżni

0

0

0

120

377

Z

μ
ε

=

≈

πΩ ≈

Ω

.

Trzy liczby falowe są powiązane równaniami

I 1

R 1

T 2

k

k

k

ω

=

=

=

v

v

v

(5.4)

przy czym

1

2

1

2

1 1

r1 r1 0 0

2

2

r2

r2 0 0

1

1

1

1

;

c

c

n

n

ε μ

ε μ ε μ

ε μ

ε μ ε μ

=

=

=

=

=

=

v

v

(5.5)

Przyjmując, że prądy i ładunki powierzchniowe nie istnieją, warunki brze-
gowe na płaszczyźnie z = 0 przyjmują postać:

• dla składowych stycznych pól

t2

t1

0

−

=

E

E

(5.6a)

t 2

t1

0

−

=

H

H

(5.6b)

• dla składowych normalnych pól

n2

n1

0

D

D

−

= (5.6c)

n2

n1

0

B

B

−

= (5.6d)

W związku z tym, że nie ma składowych normalnych (fale są typu TEM)
warunki (5.6c) i (5.6d) są spełnione automatycznie. Natomiast z warunków
(5.6a) i (5.6b)mamy

I

R

T

E

E

E

+

=

(5.7)

I

R

T

1

2

E

E

E

Z

Z

−

=

(5.8)

Stąd można wyznaczyć amplitudy fali przechodzącej i odbitej przez ampli-
tudę fali padającej

2

1

2

R

I

T

I

1

2

1

2

2

;

Z

Z

Z

E

E

E

E

Z

Z

Z

Z

⎛

⎞

⎛

⎞

−

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

+

+

⎝

⎠

⎝

⎠

(5.9)

5-3

Przepływ energii

Wiemy, że fala elektromagnetyczna niesie energię. Znając zależności mię-
dzy amplitudami odbitej i przechodzącej w stosunku do amplitudy fali pa-
dającej można wyznaczyć jaka część energii odbija się a jaka przechodzi
do drugiego ośrodka. Wektor Poyntinga

2

V A

W

m m

m

⎡

⎤

≡ ×

⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

S E H

(5.10)

stanowi powierzchniową gęstość strumienia mocy przenoszoną przez falę
elektromagnetyczną. Uśredniona (w czasie) po pełnym cyklu (lub równie
dobrze po wielu cyklach) powierzchniowa gęstość strumienia mocy nazy-
wa się natężeniem fali i jest równa

1

2

Re(

* )

T

I

S

≡

≡

×

E H

(5.11)

W ośrodku bezstratnym natężenia fali padającej, odbitej i przechodzącej
przedstawiają wyrażenia

2

I

I

1

1 1
2

I

E

Z

=

;

2

R

R

1

1 1
2

I

E

Z

=

,

2

T

T

2

1 1
2

I

E

Z

=

(5.12)

Zdefiniujemy współczynnik odbicia mocy

2

2

R

R

2

1

P

2

2

I

1

2

I

(

)

(

)

E

I

Z

Z

R

I

Z

Z

E

−

≡

=

=

+

(5.13)

i współczynnik transmisji mocy

2

T

T

1

1 2

P

2

2

I

2

1

2

I

4

(

)

E

I

Z

Z Z

T

I

Z

Z

Z

E

≡

=

=

+

(5.14)

Zauważamy, że

P

P

1

R

T

+

= (5.15)

W technice mikrofalowej definiuje się też współczynnik odbicia pola elek-
trycznego

Γ zdefiniowany jako stosunek amplitudy fali odbitej do ampli-

tudy fali padającej w płaszczyźnie z = 0. Jego wartość na podstawie wzoru
(5.9) jest równa

R

2

1

I

1

2

E

Z

Z

E

Z

Z

−

Γ =

=

+

(5.16)

Jak widać współczynniki transmisji i odbicia mocy można wyrazić przez

Γ

2

2

P

P

,

1

R

T

= Γ

= − Γ (5.17)

5-4

5.2. Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym

Przyjmujemy, że z lewej strony płaszczyzny z = 0 pada monochromatycz-
na fala płaska (rys. 10.2)

I

I

I

I

( , )

( ) exp[ j(

)]

t

k

t

ω

=

⋅ −

E r

E r

k r

,

I

I

I

1

1

( , )

( , )

t

t

Z

=

×

H r

k

E r

(5.20)

W wyniku tego powstaje fala odbita, która pozostaje w ośrodku 1

R

R

R

R

( , )

( ) exp[ j(

)]

t

k

t

ω

=

⋅ −

E r

E r

k r

,

R

R

R

1

1

( , )

( , )

t

t

Z

=

×

H r

k

E r

(5.21)

i fala przechodząca do ośrodka 2

T

T

T

T

( , )

( ) exp[ j(

)]

t

k

t

ω

=

⋅ −

E r

E r

k r

,

T

T

T

2

1

( , )

( , )

t

t

Z

=

×

H r

k

E r

(5.22)

Rys. 5.2. Wektory falowe przy załamaniu fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków.

Warunki brzegowe (5.6) służą do połączenia pól

I

R

( , )

( , )

t

t

+

E r

E r

i

I

R

( , )

( , )

t

t

+

H r

H r

w ośrodku 1 z polami

T

( , )

t

E r

i

T

( , )

t

H r

w ośrodku 2.

Wszystkie te warunki mają ogólną strukturę

I

I

R

R

T

T

( ) exp[ j(

)] ( )exp[ j(

)]

( ) exp[ j(

)]

k

t

k

t

k

t

ω

ω

ω

⋅

⋅ −

+ ⋅

⋅ −

= ⋅

⋅ −

k r

k r

k r

(5.23)

Ponieważ warunki brzegowe muszą być spełnione we wszystkich punktach
płaszczyzny i dla wszystkich czasów, więc te wykładniki muszą być sobie
równe. Składowe czasowe są już równe.
Równość czynników przestrzennych prowadzi do wzoru

I

I

R

R

T

T

k

k

k

⋅ =

⋅ =

⋅

k r

k r

k r

dla z = 0

(5.24)

który musi być spełniony także dla wszystkich x i y w płaszczyźnie roz-
działu.

5-5

Można przedstawić to wyrażenie w jawnej postaci, czyli wektor pozycyjny

ˆ

ˆ

ˆ

x

y

z

=

+

+

r x

y

z

a np.

I

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

( )

( )

( )

x

y

z

=

+

+

k

x k

y k

z k

. Wyliczając osobno

dla punktów leżących na prostej

0

x

= i dla punktów leżących na prostej

0

y

= (oczywiście dla

0

z

= ) otrzymujemy

I

I

R

R

T

T

( )

(

)

(

)

x

x

x

k

k

k

=

=

k

k

k

(5.25a)

I

I

R

R

T

T

( )

(

)

(

)

y

y

y

k

k

k

=

=

k

k

k

(5.25b)

Można teraz bez straty ogólności tak wybrać osie układu współrzędnych,
żeby k

I

leżało w płaszczyźnie xz. Zgodnie z (5.25b) prowadzi to do zero-

wania także y-owych składowych wektorów k

R

i k

T

. Stąd wniosek:

Pierwsze prawo: Wektory falowe fali padającej, odbitej i prze-
chodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną pa-
dania wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną
do płaszczyzny rozdziału ośrodków.

Przyjęto określać kierunek wersorów k

I

, k

R

, k

T

przez kąty θ

I

, θ

R

, θ

T

zwane

odpowiednio kątem padania, odbicia i załamania. Są one mierzone od
normalnej do płaszczyzny padania (tutaj oś z).
Z równania (5.25a) wynika

I

I

R

R

T

T

sin

sin

sin

k

k

k

θ

θ

θ

=

=

(5.26)

Pamiętając, że trzy liczby falowe są powiązane równaniami

I 1

R 1

T 2

k

k

k

ω

=

=

=

v

v

v

, czyli

2

1

I

R

T

T

1

2

n

k

k

k

k

n

=

=

=

v

v

(5.27)

otrzymujemy:

Drugie prawo – prawo odbicia: Kąt padania jest równy kątowi odbi-
cia

I

R

θ θ

=

(5.28)

Trzecie prawo – prawo załamania albo Snelliusa (Snella)

T

I

1

I

T

2

sin

sin

k

n

k

n

θ

θ

=

=

(5.29)

Są to trzy podstawowe prawa optyki geometrycznej.

5-6

Fala padająca spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania

Rozważmy przypadek fali spolaryzowanej równolegle do płaszczyzny pa-
dania (rys. 5.3)

Rys. 5.3 Fala płaska spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania.

Z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól elektrycznych
(5.6a) otrzymujemy

I

I

R

R

T

T

cos

cos

cos

E

E

E

θ

θ

θ

+

=

(5.30)

a z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól magnetycznych
(5.6b)

I

R

T

1

2

E

E

E

Z

Z

−

=

(5.31)

Dla składowych normalnych tylko warunki brzegowych związane z polem
elektrycznym (5.6c) wnoszą nowe zależności

1

I

I

R

R

2

T

T

(

sin

sin

)

(

sin )

E

E

E

ε

θ

θ

ε

θ

−

+

=

−

(5.32)

gdyż pola magnetyczne nie mają składowych z.

Ze względu na prawa odbicia i załamania równanie (5.32) przechodzi

w (5.31) i w rezultacie otrzymujemy układ dwóch równań

T

I

R

T

I

cos

cos

E

E

E

θ

θ

+

=

(5.33)

1

I

R

T

2

Z

E

E

E

Z

−

=

(5.34)

z których wyznaczamy amplitudy fali odbitej i przechodzącej

T

1

I

2

R

I

T

I

T

1

T

1

I

2

I

2

cos

2

cos

,

cos

cos

cos

cos

Z

Z

E

E

E

E

Z

Z

Z

Z

θ

θ

θ

θ

θ

θ

⎛

⎞

−

⎜

⎟

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

(5.35)

5-7

Wzory te znane są jako równania Fresnela dla polaryzacji w płaszczyźnie
padania. Dla uproszczenia zapisu można wprowadzić bezwymiarowe
wielkości

T

I

cos

cos

a

θ

θ

=

1

2

Z

b

Z

=

(5.36)

Wzory Fresnela przyjmują wtedy postać

R

I

T

I

2

,

a b

E

E

E

E

a b

a b

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

+

+

⎝

⎠

⎝

⎠

(5.37)

Interesujący jest przypadek istnienia kąta padania (zwanego kątem

Brewstera) przy którym fala odbita jest całkowicie stłumiona. Zachodzi to
gdy

a b

=

. Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa (5.29) można

uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera

2

1

tg

B

n

n

θ

≅

(5.38)

Uwaga: okazuje się, że fale spolaryzowana prostopadle do płaszczy-

zny padania nie wykazują takiego wygaszenia składowej odbitej, więc
dowolna wiązka padająca pod kątem Brewstera prowadzi do wiązki odbi-
tej całkowicie spolaryzowanej prostopadle do płaszczyzny padania (czyli
równolegle do płaszczyzny granicznej).

Odbicie i transmisja mocy

Podobnie jak dla padania pod kątem prostym będziemy interesować

się energią odbitą i przechodzącą. Moc fali padająca na jednostkę pola
powierzchni granicznej wynosi

ˆ

⋅

S z

, inaczej mówiąc jest to wartość skła-

dowej prostopadłej do powierzchni. Stąd natężenie fali padającej (uśred-
nionej wartości wektora Poyntinga) jest równe

2

I

I

I

1

1 1

cos

2

I

E

Z

θ

=

(5.39)

podczas gdy natężenia fali odbitej i przechodzącej wynoszą

2

R

R

R

1

1 1

cos

2

I

E

Z

θ

=

,

T

T

T

2

1 1

cos

2

I

E

Z

θ

=

(5.40)

Pojawiające się funkcje cosinus wynikają z tego, że interesujemy się śred-
nią mocą na jednostkę pola powierzchni granicznej, która jest ustawiona
pod kątem do czoła fali.

5-8

Współczynniki odbicia i transmisji mocy fal spolaryzowanych równolegle
do płaszczyzny padania są odpowiednio równe

2

2

R

R

P||

2

I

I

E

I

a b

R

I

a b

E

−

⎛

⎞

≡

=

= ⎜

⎟

+

⎝

⎠

(5.41)

2

2

T

T

T

1

P||

2

I

2

I

I

cos

2

cos

E

I

Z

T

ab

I

Z

a b

E

θ
θ

⎛

⎞

≡

=

=

⎜

⎟

+

⎝

⎠

(5.42)

Suma

P||

P||

1

R

T

+

=

, czego wymaga zasada zachowania energii.

Przykład. Wyznaczyć współczynniki odbicia i transmisji mocy dla pa-
dania prostopadłego za pomocą współczynników załamania ośrod-
ków. Przyjmujemy, że dla większości materiałów

0

μ μ

≈

i dlatego

współczynnik załamania

r r

r

n

μ ε

ε

=

≅

. Obliczyć te współczynniki

gdy światło przechodzi z powietrza (n

1

= 1) do szkła (n

2

= 1,5).

Impedancję właściwą ośrodka Z

1

(Z

2

) można wyrazić za pomocą n

1

(n

2

)

r1 0

0

1

r1 0

1

Z

Z

n

μ μ

ε ε

=

≈

i

r 2 0

0

2

r 2 0

2

Z

Z

n

μ μ

ε ε

=

≈

(5.18)

Po podstawieniu (5.18) do wzorów (5.13) i (5.14) mamy

2

1

2

P

2

1

2

(

)

(

)

n

n

R

n

n

−

=

+

i

1

2

T

2

1

2

4

(

)

n n

R

n

n

⋅

=

+

(5.19)

Podstawiając dane otrzymujemy R

P

= 0,04 i R

T

= 0,96. Oznacza to, że przy

przejściu światła z powietrza do szkła – większość światła przechodzi.

5-9

Przykład. Uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera, czyli takiego
kąta padania, dla którego nie ma fali odbitej:

2

1

tg

B

n

n

θ

≅

Zachodzi to dla fal spolaryzowanych równolegle do płaszczyzny pa-

dania gdy a = b:

T

1

1

2

1

2

2

1

2

I

2

1

2

2

1 1

2

1

cos

cos

Z

n

Z

n

=

=

=

=

θ

μ ε

μ

ε μ

μ

θ

ε μ

μ

ε μ

μ

Zwykle ośrodki charakteryzuje

1

2

0

=

=

μ

μ

μ , wtedy

T

2

I

1

cos

cos

n

n

=

θ

θ

To samo można uzyskać stosując wzory (5.18) i (5.19) z przykładu

powyżej. Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa

I

2

T

1

sin

sin

n

n

=

θ

θ

uzyskujemy

T

I

I

T

cos

sin

cos

sin

=

θ

θ

θ

θ

i dalej

T

T

I

I

cos

sin

sin cos

=

θ

θ

θ

θ

Ostatecznie

T

I

sin 2

sin 2

=

θ

θ

Powyższe wyrażenie jest spełnione, gdy

T

I

2

2

=

θ

θ

albo

T

I

2

2

= π −

θ

θ

.

Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji gdy oba ośrodki mają równe
współczynniki załamania, drugi – wyznacza kierunek promienia załama-
nego w postaci

T

I

π

= −

2

θ

θ

Podstawiając ten wynik do prawa Snelliusa uzyskujemy wyrażenie na

tangens kąta padania, zwanego kątem Brewstera

B

θ

B

B

2

B

1

B

sin

sin

tg

cos

sin

B

n

n

=

=

=

π

⎛

⎞

−

⎜

⎟

2

⎝

⎠

θ

θ

θ

θ

θ

5-10

5.3. Całkowite wewnętrzne odbicie

Gdy fala pada z ośrodka optycznie gęstszego do rzadszego może wystąpić
zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Z prawa Snelliusa mamy

T

2

I

T

T

I

1

sin

sin

sin

k

n

k

n

=

=

θ

θ

θ (1)

I

1

T

I

I

T

2

sin

sin

sin

k

n

k

n

=

=

θ

θ

θ (2)

Stopniowo zwiększając kąta padania

I

θ dochodzimy do sytuacji gdy kąt

załamania

T

2

= π

θ

. Taki kąt nazywamy kątem krytycznym, czyli

T

2

kr

I

1

sin

k

n

k

n

=

=

θ

(3)

Jeżeli

I

θ zwiększamy powyżej wartości

kr

θ wtedy

T

θ stanie się urojone.

Fala załamana ma postać

T

T

T

T

T

T

T

T

T

ˆ

( , )

( )exp[j(

)]

( )exp[j(

sin

cos

)]

t

k

t

k x

k z

t

=

⋅ −

=

=

+

−

E r

E r

k r

E r

ω

θ

θ

ω

(4a)

T

T

T

2

1 ˆ

( , )

( , )

t

t

Z

=

×

H r

k

E r

(4b)

Przy czym w ogólności rozważając polaryzację równoległą i prostopadła
do płaszczyzny padania

T

T

T

T

T

T

ˆ

ˆ

ˆ

( )

cos

sin

E

E

E

⊥

=

+

+

E r

x

y

z

&

&

θ

θ . (5)

Wiemy, że

2

2

2

2

2

2

T

T

T

T

T

T

I

I

cos

sin

sin

k

k

k

k

k

=

−

=

−

θ

θ

θ (6)

gdzie skorzystaliśmy z prawa prawa Snelliusa (2).
Powyżej kąta krytycznego wyraz

T

T

cos

k

θ będzie urojony. Możemy więc

zapisać

T

T

cos

j

k

p

= ±

θ

gdzie p jest rzeczywiste i równe

2

2

2

I

I

T

sin

p

k

k

=

−

θ

(7)

Stąd podstawiając (7) do (4a) i ponownie korzystając z (2) otrzymujemy
falę propagującą się w kierunku x i zanikającą w kierunku z

T

T

I

I

( , )

( )exp(

)exp[ j(

sin

)]

t

pz

xk

t

=

−

−

E r

E r

θ

ω (8)

Jest to przykład powierzchniowej fali elektromagnetycznej tzw. zanikają-
cej (ang. evanescent wave).