Egzamin z matematyki, I r. WBWiI´
S, r. 2003/2004
I. Cz¸e´s´
c zadaniowa
1. Dobra´c warto´sci parametr´ow a i b (a, b ∈ R) tak, aby funkcja
f (x) =
a · e
1
cos x−1
+ b
dla x < 0
lim
x→0
sin
2
x
1 − cos x
dla x = 0
a ·
sin
x
2
tg
x
3
dla x > 0
byÃla ci¸agÃla.
2. Napisa´c r´ownanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = ln
1+x
1−x
w jej punkcie przegi¸ecia.
3. Obliczy´c caÃlki
a)
1
Z
0
arctg
√
x dx
b)
Z
dx
sin
2
x + tg
2
x
4. Obliczy´c pole obszaru zawartego pomi¸edzy wykresami funkcji y =
5
x
2
+4
i y =
2
x
2
+4
.
Wykona´c rysunek.
5. Okre´sli´c liczb¸e rozwi¸aza´
n ukÃladu r´owna´
n
px + py + pz + pt = p
x + py + pz + pt = p
x + y + pz + pt = p
x + y + z + pt = p
w zale˙zno´sci od warto´sci parametru p ∈ R.
6. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez punkt P (a, b, −6), a, b ∈ R, i
prostopadÃlej do pÃlaszczyzn π
1
: x + y + z − 5 = 0 i π
2
: x − y + z = 0, gdzie
a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i
II. Cz¸e´s´
c teoretyczna
T.1 Poda´c definicj¸e indukcyjn¸a wyznacznika. W oparciu o t¸e definicj¸e wyprowadzi´c wz´or
na obliczanie wyznacznika stopnia trzeciego. SformuÃlowa´c twierdzenie Laplace’a o
rozwini¸eciu wyznacznika.
T.2 Poda´c definicj¸e funkcji pierwotnej. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez cz¸e´sci
dla caÃlek nieoznaczonych. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia wyprowadzi´c wz´or rekuren-
cyjny I
n
= x(ln x)
n
− nI
n−1
, gdzie I
n
=
R
(ln x)
n
dx.
T.3 Poda´c definicj¸e r´o˙zniczki zupeÃlnej funkcji dw´och zmiennych. Korzystaj¸ac z r´o˙zniczki
zupeÃlnej obliczy´c przybli˙zon¸a warto´s´c wyra˙zenia
√
4, 1 · 3, 95. SformuÃlowa´c twierdze-
nie Schwarza.