Egzamin z matematyki, I r. WBWiI´

S, r. 2003/2004

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Dobra´c warto´sci parametr´ow a i b (a, b ∈ R) tak, aby funkcja

f (x) =



























a · e

1

cos x−1

+ b

dla x < 0

lim

x→0

sin

2

x

1 − cos x

dla x = 0

a ·

sin

x

2

tg

x

3

dla x > 0

byÃla ci¸agÃla.

2. Napisa´c r´ownanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = ln

1+x

1−x

w jej punkcie przegi¸ecia.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

1

Z

0

arctg

√

x dx

b)

Z

dx

sin

2

x + tg

2

x

4. Obliczy´c pole obszaru zawartego pomi¸edzy wykresami funkcji y =

5

x

2

+4

i y =

2

x

2

+4

.

Wykona´c rysunek.

5. Okre´sli´c liczb¸e rozwi¸aza´

n ukÃladu r´owna´

n



















px + py + pz + pt = p

x + py + pz + pt = p

x + y + pz + pt = p

x + y + z + pt = p

w zale˙zno´sci od warto´sci parametru p ∈ R.

6. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez punkt P (a, b, −6), a, b ∈ R, i

prostopadÃlej do pÃlaszczyzn π

1

: x + y + z − 5 = 0 i π

2

: x − y + z = 0, gdzie

a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 Poda´c definicj¸e indukcyjn¸a wyznacznika. W oparciu o t¸e definicj¸e wyprowadzi´c wz´or

na obliczanie wyznacznika stopnia trzeciego. SformuÃlowa´c twierdzenie Laplace’a o
rozwini¸eciu wyznacznika.

T.2 Poda´c definicj¸e funkcji pierwotnej. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez cz¸e´sci

dla caÃlek nieoznaczonych. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia wyprowadzi´c wz´or rekuren-
cyjny I

n

= x(ln x)

n

− nI

n−1

, gdzie I

n

=

R

(ln x)

n

dx.

T.3 Poda´c definicj¸e r´o˙zniczki zupeÃlnej funkcji dw´och zmiennych. Korzystaj¸ac z r´o˙zniczki

zupeÃlnej obliczy´c przybli˙zon¸a warto´s´c wyra˙zenia

√

4, 1 · 3, 95. SformuÃlowa´c twierdze-

nie Schwarza.