1
Rozwi ¾
azywanie uk÷
adów równa´
n liniowych metod ¾
a
eliminacji Gaussa
Ogóla posta´c uk÷
adu równa´n liniowych
8
>
>
>
<
>
>
>
:
a
1;1
x
1
+ a
1;2
x
2
+ : : : + a
1;n
x
n
=
b
1
a
2;1
x
1
+ a
2;2
x
2
+ : : : + a
2;n
x
n
=
b
2
..
.
a
m;1
x
1
+ a
m;2
x
2
+ : : : + a
m;n
x
n
=
b
m
Przyk÷
ad 1.1
8
<
:
2x
1
+ 3x
2
x
3
+ x
4
=
3
3x
1
2x
2
+ 2x
3
5x
4
=
1
x
1
+ x
2
3x
3
+ 2x
4
=
2
1
Operacje wykonywane na uk÷
adzie równa´n, które nie
zmieniaj ¾
a jego zbioru rozwi ¾
aza´n
1. Dowolne równanie uk÷
adu mo·
zna pomno·
zy´c stronami przez liczb ¾
e ró·
zn ¾
a
od zera.
2. Mo·
zna zamieni´c miejscami dwa dowolne równania
3. Do dowolnego równania mo·
zna doda´c stronami dowolne inne równanie
pomno·
zone stronami przez jak ¾
a´s sta÷¾
a.
2
Tablica Gaussa odpowiadaj ¾
aca uk÷
adowi równa´n z
przyk÷
adu 1.
2
3
-1
1
3
3
-2
2
-5
-1
-1
1
-3
2
2
3
Wzory do metody prostok ¾
atów stosowanej przy
wype÷
nianiu tablicy Gaussa
A
i;j
= a
i;j
a
i;k
a
l;;j
a
l;k
A
i;j
= a
i;j
a
l;k
a
i;k
a
l;;j
4
Rozwi ¾
azanie uk÷
adu równa´n (przyk÷
ad 1) za pomoc ¾
a
metody eliminacji Gaussa
5
6
2
Wyk÷
ad
Niech G b ¾
edzie niepustym zbiorem, a
dzia÷
aniem okre´slonym w zbiorze G:
Rozpatrzmy nast ¾
epuj ¾
ace w÷
asno´sci dzia÷
ania
:
1. 8 (a; b; c 2 G) ((a b) c = a (b c)) : ×¾
aczno´s´c dzia÷
ania
2. 8 (a; b 2 G) (a b = b a) : Przemienno´s´c dzia÷ania
3. 9 (e 2 G) 8 (a 2 G) (e a = a e = a) : Element e spe÷niaj ¾
acy ten postu-
lat jest wyznaczony jednoznacznie. Nazywamy go elementem neutralnym
dzia÷
ania :
4. 8 (a 2 G) 9 (b 2 G) (a b = b a = e) : Zwró´cmy uwag ¾
e na fakt, ·
ze w÷
as-
no´s´c 4 mo·
ze by´c sformu÷
owana dopiero wtedy, gdy wiemy czym jest e:
7
Przyjmijmy, ·
ze N, Z, Q, R, oznaczaj ¾
a odpowiednio zbiór liczb nauralnych,
ca÷
kowitych, wymiernych i rzeczywistych. Zastanówmy si ¾
e które w÷
asno´sci spo´sród
1-4 przys÷
uguj ¾
a dzia÷
aniom dodawania i mno·
zenia, okreslonym na tych zbiorach.
1
2
3
4
(N; +)
(N; )
(Z; +)
(Z; )
(Q; +)
(Q; )
(R; +)
(R; )
8
De…nicja 2.1
Niepusty zbiór G z dzia÷aniem
nazywamy pó÷grup ¾
a je´sli dzi-
a÷anie spe÷nia warunek 1
De…nicja 2.2
Niepusty zbiór G z dzia÷aniem
nazywamy grup ¾
a je´sli jest pó÷-
grup ¾
a której dzia÷anie spe÷nia warunki 3 i 4.
De…nicja 2.3
Niepusty zbiór G z dzia÷aniem
nazywamy grup ¾
a przemienn ¾
a
je´sli jest grup ¾
a której dzia÷anie spe÷nia warunek 2.
Uwaga 2.4
W grupach przemiennych dzia÷anie oznacza´c b ¾
edziemy na ogó÷jako
+; element neutralny jako 0; a jednoznacznie wyznaczony element odwrotny do
elementu a jako
a:
Niech G b ¾
edzie niepustym zbiorem, a "+" i " " dzia÷
aniami okre´slonym w
zbiorze G: W÷
asno´s´c
5 8 (a; b; c 2 G) (a (b + c) = (a b) + (a c) ^ (b + c) a = (b a) + (c a)) nazy-
wamy rozdzielno´sci ¾
a dzia÷
ania
wzgl ¾
edem dzia÷
ania +:
De…nicja 2.5
Niepusty zbiór G z dwoma dzia÷aniami +; nazywamy pier´scie-
niem je´sli (G; +) jest grup ¾
a abelow ¾
a, (G; ) jest pó÷grup ¾
a i " " jest rozdzielne
wzgl ¾
edem "+" (co oznacza, ·ze (G; +; ) spe÷nia warunek 5). Je´sli mno·zenie " "
pier´scienia jest dzia÷aniem przemiennym (tzn. ma w÷asno´s´c 2) to pier´scie´n taki
nazywamy przemiennym.
De…nicja 2.6
Zbiór G zawieraj ¾
acy wi ¾
ecej ni·z jeden element z dwoma dzia÷a-
niami +; nazywamy cia÷em je´sli (G; +; ) jest pier´scieniem przemiennym oraz
(G r f0g ; ) jest grup ¾
a.
9
Zastanówmy si ¾
e, które spo´sród zbiorów (N; +; ), (Z+; ), (Q+; ), (R; +; )
s ¾
a pier´scieniami, a które cia÷
ami
pier´scie´n
cia÷
o
(N; +; )
(Z+; )
(Q+; )
(R; +; )
10
Proste konsekwencje aksjomatów
Grupy
1. Dla danego elementu grupy element do niego odwrotny jest wyznaczony
jednoznacznie. (a
b = b
a = e ^ a c = c a = e) ) b = c:
2. W grupie zachodzi prawo skre´sle´n. (a
b = a
c) ) b = c
(a
c = b
c) )
a = b:
Pier´scienie
1. a 0 = 0 a = 0
2. ( a) b = a ( b) =
(a b)
3. a (b
c) = a b
a c
(b
c) a = b a
c a
Cia÷
a
a b = 0 ) (a = 0 _ b = 0)
11
De…nicja 2.7
Przyjmijmy oznaczenie Z
n
= f0; 1; 2 : : : n
1g : W zbiorze Z
n
wprowadzimy dwa dzia÷ania "+" i " " jak nast ¾
epuje:
a + b jest reszt ¾
a z dzielenia sumy liczb a; b przez n
a b jest reszt ¾
a z dzielenia iloczynu liczb a; b przez n:
Przyk÷
ad 2.8
Dla n = 4 mamy, ·ze 3 + 2 = 1; 3 2 = 2: Dla n = 5 mamy, ·ze
3 + 2 = 0; 3 2 = 1:
Mo·
zna sprawdzi´c, ·
ze Z
n
wraz z dzia÷
aniami "+" i " " spe÷
niaj ¾
a wszystkie
warunki na÷
o·
zone na pier´scie´n. Z kolei dowodzi si ¾
e, ·
ze Z
n
jest cia÷
em wtedy i
tylko wtedy, gdy n jest liczb ¾
a pierwsz ¾
a. Poni·
zej przedstawione s ¾
a tabelki dzia÷
a´n
dla Z
n
w przypadku, gdy n = 4; 5:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
.
Wskaza´c dlaczego Z
4
nie mo·
ze by´c cia÷
em!
12
De…nicja 2.9 (Przestrze´
n liniowa)
Dane s ¾
a:
Niepusty zbiór V wraz z dzia÷aniem wewn ¾
etrznym
Cia÷o K
Dzia÷anie
: K
V ! V
spe÷niaj ¾
ace nast ¾
epuj ¾
ace warunki:
1. (V;
) jest grup ¾
a abelow ¾
a
2. (8 ; 2 K) 8 (a; b 2 V ) (
(a
b) =
a
b ^ ( + ) a =
a
a)
3. (8 ; 2 K) 8 (a 2 V ) ((
)
a) =
(
a)
4. 8 (a 2 V ) (1 a = a)
Wówczas trójk ¾
e (V;
; ) nazywamy przestrzeni ¾
a liniow ¾
a nad cia÷em K:
13
Proste konsekwencje aksjomatów
Przestrzenie liniowe
1. 0
a = 0 =
0
:
2. (
)
a =
(
a) =
( a) :
3.
a = 0 ) ( = 0 _ a = 0) :
14
Przyk÷
ad 2.10
Je´sli K jest cia÷em liczbowym, to przyjmuj ¾
ac V = K;
=
+;
= otrzymamy przyk÷ad przestrzeni liniowej (V;
; ) nad cia÷em K:
De…nicja 2.11
Za÷ó·zmy, ·ze f(V
t
;
t
;
t
) : t 2 T 6= ?g jest rodzin ¾
a przestrzeni
liniowych nad cia÷em K Niech
2 K, V =
Q
t
2T
V
t
; oraz a
t
; b
t
2 V
t
dla t 2 T:
K÷ad ¾
ac a = (a
t
)
t
2T
; b = (b
t
)
t
2T
;
a = (
t
a
t
)
t
2T
; a
b = (a
t
t
b
t
)
t
2T
otrzymujemy przestrze´n liniow ¾
a (V;
; ), któr ¾
a nazywa´c b ¾
edziemy iloczynem
kartezja´nskim przestrzeni (V
t
;
t
;
t
) dla t 2 T:
Przyk÷
ad 2.12
Wska·zemy teraz wszystkie elementy przestrzeni liniowej (Z
2
)
2
oraz tabelki dzia÷a´n
;
dla tej przestrzeni.
(Z
2
)
2
= f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g :
(0; 0)
(0; 1)
(1; 0)
(1; 1)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 1)
(1; 0)
(1; 1)
(0; 1)
(0; 1)
(0; 0)
(1; 1)
(1; 0)
(1; 0)
(1; 0)
(1; 1)
(0; 0)
(0; 1)
(1; 1)
(1; 1)
(1; 0)
(0; 1)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 1)
(1; 0)
(1; 1)
0
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
(0; 0)
1
(0; 0)
(0; 1)
(1; 0)
(1; 1)
15
3
Wyk÷
ad
De…nicja 3.1
Niech (V;
; ) b ¾
edzie przestrzeni ¾
a liniow ¾
a nad cia÷em K: Ka·zdy
niepusty podzbiór U zbioru V taki, ·ze (U; jU
U; jK
U ) jest przestrzeni ¾
a
liniow ¾
a nazywamy podprzestrzeni ¾
a liniow ¾
a przestrzeni V:
Twierdzenie 3.2
Niech U b ¾
edzie niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V
nad cia÷em K: Nast ¾
epuj ¾
ace warunki s ¾
a równowa·zne:
1. U jest podprzestrzeni ¾
a liniow ¾
a przestrzeni V
2. (8 2 K) (8a; b 2 U) (a
b 2 U ^
a 2 U)
3. (8 ; 2 K) (8a; b 2 U) (
a
b 2 U)
Twierdzenie 3.3
Je´sli fU
t
: t 2 T g jest rodzin ¾
a podprzestrzeni liniowych ustalonej
przestrzeni liniowej to zbiór U =
T
t
2T
U
t
jest te·z podprzestrzeni ¾
a liniow ¾
a tej
przestrzeni.
Twierdzenie 3.4 (De…nicja otoczki liniowej)
Dla ka·zdego podzbioru A przestrzeni
liniowej V istnieje najmniejsza podprzestrze´n liniowa przestrzeni V zawieraj ¾
aca
A: Nazywamy j ¾
a otoczk ¾
a liniow ¾
a zbioru A i oznaczamy jako lin (A) :
16
Notacja 3.5
Elementy cia÷a K oznacza´c b ¾
edziemy ma÷ymi literami greckimi,
a elementy przestrzeni V ma÷ymi literami ÷aci´nskimi. Mo·zliwe jest dodawanie
indeksów przy obu tych typach oznacze´n. Dzia÷anie
okre´slone w V b ¾
edzie
oznaczane tak samo jak dodawanie cia÷a K; czyli poprzez symbol "+". Podobnie
dzia÷anie
b ¾
edzie oznaczane tak samo jak mno·zenie cia÷a K; czyli poprzez symbol
: Je´sli nie prowadzi to do nieporozumie´n symbol b ¾
edzie we wzorach opuszczany.
Z prawid÷owo zapisanego wzoru zawsze da si ¾
e wywnioskowa´c w jakim kontek´scie
dany symbol dzia÷ania zosta÷u·zyty. Element neutralny dzia÷ania
oznaczamy
jako 0: Elementy neutralne dzia÷a´n cia÷a K oznaczamy jako 0 i 1:
Wniosek 3.6
1. A
lin (A)
2. A
B ) lin (A)
lin (B)
3. lin (lin (A)) = lin (A)
4. A jest podprzestrzeni ¾
a liniow ¾
a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy A =
lin (A)
5. B
lin (A) ) lin (A [ B) = lin (A)
17
Twierdzenie 3.7
Je´sli V jest przestrzeni ¾
a liniow ¾
a nad cia÷em K oraz A
V
to lin (A) = f
1
a
1
+
2
a
2
+ : : :
n
a
n
: n 2 N;
i
2 K; a
i
2 A dla i = 1; 2 : : : ng :
De…nicja 3.8
Element a nazywamy kombinacj ¾
a liniow ¾
a elementów podzbioru
A przestrzeni V je´sli a 2 lin (A)
Wniosek 3.9
Je´sli a =
1
a
1
+
2
a
2
+ : : :
n
a
n
, gdzie
i
2 K; a
i
2 lin (A) dla
i = 1; 2; : : : n to a 2 lin (A) :
De…nicja 3.10
Podzbiór A przestrzeni liniowej V nad cia÷em K nazywa si ¾
e
liniowo zale·znym, gdy istnieje taki jego sko´nczony podzbiór fa
1
; a
2
; : : : a
n
g ; oraz
elementy
1
;
2
; : : :
n
cia÷a K nie wszystkie równe 0 dla których
1
a
1
+
2
a
2
+
: : :
n
a
n
= 0:
De…nicja 3.11
Podzbiór A przestrzeni liniowej V nad cia÷em K nazywa si ¾
e
liniowo niezale·znym, gdy nie jest liniowo zale·zny.
Twierdzenie 3.12
Ka·zdy nadzbiór liniowo zale·znego zbioru jest liniowo za-
lezny. Ka·zdy podzbiór liniowo niezale·znego zbioru jest liniowo niezalezny.
18
De…nicja 3.13
Podzbiór A przestrzeni wektorowej V nad cia÷em K nazywamy
baz ¾
a tej przestrzeni, je´sli A jest liniowo niezalezny i V = lin (A) :
De…nicja 3.14
Podzbiór B zbioru A elementów przestrzeni liniowej V nad
cia÷em K nazywamy maksymalnym liniowo niezaleznym podzbiorem zbioru A
je´sli:
1. jest liniowo niezale·zny
2. nie jest podzbiorem w÷a´sciwym ·zadnego liniowo niezale·znego podzbioru zbioru
A:
Twierdzenie 3.15
Nast ¾
epuj ¾
ace warunki s ¾
a równowa·zne:
1. B jest baz ¾
a przestrzeni liniowej V nad cia÷em K
2. B jest maksymalnym liniowo niezale·znym podzbiorem przestrzeni V:
3. (8a 2 V ) (8b 2 B) (9!
b
2 K) a =
P
b
2B
b
b
19
Twierdzenie 3.16
Dla ka·zdego liniowo niezale·znego podzbioru przestrzeni lin-
iowej istnieje baza tej przestrzeni zawieraj ¾
aca ten zbiór
Twierdzenie 3.17
Ka·zde dwie bazy przestrzeni liniowej s ¾
a albo równocze´snie
niesko´nczone, albo równocze´snie sko´nczone i zawieraj ¾
a tak ¾
a sam ¾
a liczb ¾
e elemen-
tów.
Twierdzenie 3.18
Je´sli V jest przestrzeni ¾
a liniow ¾
a A = fa
1
; a
2
; : : : a
m
g
V;
i B = fb
1
; b
2
; : : : b
n
g jest baz ¾
a przestrzeni V; to m
n i w´sród elementów zbioru
B istnieje n
m elementów które wraz z elementami zbioru A tworz ¾
a baz ¾
e
przestrzeni V:
De…nicja 3.19
Niech B b ¾
edzie baz ¾
a przestrzeni liniowej V: liczb ¾
e
dim V =
liczba elementów zbioru B
gdy
B jest sko´nczony
1
gdy
B jest niesko´nczony
nazywamy wymiarem przestrzeni V:
20