OBLICZENIA

NUMERYCZNE

za pomocą pakietu MATLAB

Miejsca zerowe i minima funkcji

x_zer =

fzero(f,x0)

zwraca miejsce zerowe

x_zer

nieliniowej

funkcji jednej zmiennej

f(x)

; argument

x0

określa początkowe przybliżenie wartości
szukanego miejsca zerowego;

f

jest

łańcuchem znaków określającym funkcję
Matlaba: nazwę funkcji lub definicję funkcji
inline

x1=fminbnd(f,x0,
xk)

zwraca wartość

x1

, dla której

nieliniowa

funkcja jednej zmiennej

f(x)

osiąga minimum;

argumentami funkcji są liczby

x0

i

xk

,

określające początek i koniec przedziału
poszukiwań oraz łańcuch znaków funkcji

f

X=fminsearch(f,X

0)

zwraca wektor wartości

X

,

dla których nieliniowa funkcja

wielu zmiennych osiąga
minimum; argumentami

funkcji są:

wektor X0

,

określający punkt startowy

poszukiwań oraz

f

– łańcuch

znaków, jak w przypadku

funkcji

fzero

Przykład:

Policzyć miejsca zerowe wielomianu

W(x) =

x^2 + 5*x + 2

1) x_zer =

fzero

( ' x^2 + 5*x + 2 ' , -1)

2) x_zer =

fzero

( ' W(x) ' , -1)

3) x_zer =

fzero

( @W , -1) x_zer =

fzero

( @W , [-

1.1 , -1.3] )

w przypadku 2 i 3 w m.pliku o nazwie

W.m

musi być zdefiniowana

funkcja

function y=W(x)
y=x^2 + 5*x + 2

Wszystkie powyższe funkcje można wywołać z
opcjonalnym argumentem

opcje

, np..

x1 = fzero(f,x0,

opcje

)

Opcje

określają parametry wywołania tych funkcji.

Domyślne ustawienia parametrów można zmieniać za
pomocą funkcji optimset:

opcje = optimset(parametr, wartość,...)

Wykonując w oknie Command Window polecenie:

- optimset

– uzyskamy listę parametrów i ich możliwe

wartości

-

optimset( ’fminbnd’ )

– wyświetli nazwy parametrów oraz

ich domyślne wartości dla funkcji

fminbnd

Parametry zmieniane za pomocą funkcji

optimset

‘Diagnostic’

Wydruk diagnostyki minimalizowanej
funkcji lub rozwiązywanego równania;
dopuszczalne wartości:’on’ lub
‘off’(domyślna)

‘Display’

Sposób wyświetlania wyników: bez
wyświetlania (‘off’), wyświetlanie wyników
po każdej iteracji (‘iter’), wyświetlanie tylko
ostatecznego rozw.(‘final’-wart.dom.)

‘MaxFunEval
s’

Maks. dozwolona liczba obliczeń wartości
funkcji (l.całk.dodat.)

‘MaxIter’

Maks. dozwolona liczba iteracji
(l.całk.dodat.)

‘TolX’

Dokładność wykonywania obliczeń(l.+)

Wyznaczanie pierwiastków

wielomianu

Wielomian n-tego stopnia ma ogólną postać:

W(x,a) = a

1

x

n

+ a

2

x

n-1

+...+ a

n

x + a

n+1

,

gdzie

a

1

, a

2

, a

3

, ..., a

n+1

są współczynnikami

wielomianu, uszeregowane według malejących
potęg zmiennej x.

r

= roots(

a

)

Zwraca wektor

r

pierwiastków

wielomianu

W(x,a)

;

gdzie

a

jest wektorem współczynników
wielomianu

a

1

, a

2

, a

3

, ..., a

n+1

Funkcja wyznaczająca pierwiastki

wielomianów

Przykład: napisz skrypt który pozwoli

wyznaczyć pierwiastki wielomianów:



W1(x) = x

2

+ 3x – 4

pier_W1 =

roots([ 1 3 -4 ])



W2(x) = 3x

5

- 2x

4

+ 5x

2

– 7

pier_W2 =

roots([ 3 -2 0 5 -7 ])

Funkcje wyznaczające wielomiany i ich

wartości

a =poly( r )

Zwraca wektor

a

współczynników

a

1

, a

2

,

a

3

, ..., a

n+1

wielomianu

W(x,a)

o

pierwiastkach podanych w postaci
wektora

r = [r

1

, r

2

, ..., r

n

]

p=polyval(a,
x0)

Zwraca wartości wielomianu

W(x,a)

w

punkcie

x=x0

; współczynniki wielomianu

określa wektor

a

, przy czym muszą być

one uszeregowane w kolejności od
najbardziej znaczącego

(a

1

)

do wyrazu

wolnego

(a

n+1

)

;

jeśli

x0

jest wektorem

(macierzą), wartości wielomianu
obliczane są dla wszystkich elementów
wektora

x0

Układy równań liniowych

[L,U] =
lu(A)

Dokonuje rozkładu LU macierzy A,
tzn. znajduje macierze L i U takie,
że A=L*U, przy czym L-macierz
trójkątna dolna, U-macierz
trójkątna górna

x =

inv(A)*b

lub

x = A\b

Rozwiązuje układ równań:

A*x=b

(b-wektor kolumnowy)

x = A/b

Rozwiązuje układ równań:

x*A=b

(b-wektor wierszowy)