Wnioskowanie

statystyczne c. d.

Wykład 7

Skala nominalna – jeden z rodzajów

skal pomiarowych

.

Zmienne

są na

skali nominalnej, gdy przyjmują
wartości (etykiety), dla których nie
istnieje wynikające z natury danego
zjawiska uporządkowanie.

Skala nominalna

(

Zmienna nominalna

)

Nawet jeśli wartości zmiennej nominalnej
są wyrażane liczbowo, to liczby te są
tylko umownymi identyfikatorami, nie
można więc wykonywać na nich działań
arytmetycznych, ani ich porównywać.

Przykłady zmiennych nie
będących nominalnymi:
prędkość samochodu, wiek

Przykłady zmiennych

nominalnych:

stan zdrowia, m - ce

zamieszkania, płeć.

Szczególnym przypadkiem skali

nominalnej jest

skala dychotomiczna

, w przypadku

której istnieją tylko dwie możliwe
wartości zmiennej (np. płeć,
odpowiedzi na pytania typu: tak/nie .

-zliczanie,
-obliczanie frakcji (procent
całości),
-modalna,
-binaryzacja (zamiana zmiennej
nominalnej x na szereg
zmiennych dychotomicznych xi,
przyjmujących np. wartość 1, gdy
x = i i 0 w przeciwnym wypadku).

Dopuszczalne operacje

statystyczne

Skala dychotomiczna – jeden

z rodzajów

skal pomiarowych

,

szczególny przypadek
skali nominalnej.

Zmienne

są na

skali dychotomicznej, gdy
przyjmują tylko dwie wartości.
Przykłady zmiennych
dychotomicznych: płeć,
odpowiedzi na pytania tak/nie.
Zmienną nominalną można
przekształcić w ciąg zmiennych
dychotomicznych za pomocą

binaryzacji

.

Skala dychotomiczna

Czułość testu

diagnostycznego

• Czułość – w badaniach naukowych, na

przykład testach diagnostycznych

stosowanych w medycynie, jest

stosunkiem wyników prawdziwie

dodatnich do sumy prawdziwie dodatnich

i fałszywie ujemnych. Czułość 100%

oznaczałaby, że wszystkie osoby chore lub

ogólnie z konkretnymi poszukiwanymi

zaburzeniami zostają rozpoznane. Pojęcie

interpretuje się jako zdolność testu do

prawidłowego rozpoznania choroby tam,

gdzie ona występuje.

Ocena cech przyjmujących

wartości w skali

dychotomicznej

zestawionych w tabelce

2x2

Stan (np. choroba)

Określona jako "złoty" standard.

Prawdziwy

Fałszywy

Wynik

testu

Dodatni

Prawdziwie dodatni

Fałszywie dodatni

→ Wartość predykcyjna dodatnia

Ujemny

Fałszywie ujemny

Prawdziwie ujemny

→ Wartość predykcyjna ujemna

↓

Czułość

↓

Swoistość

Występowanie choroby

Tak

(Cukrzyca)

nie

Wyni

k

testu

Dodat

ni

Prawdziwie

dodatni

(a=74)

Fałszywie

dodatni

(b=21)

→ Wartość

predykcyjna

(a+b=95)

dodatniej

wynosi

a/(a+b)

Ujem

ny

Fałszywie

ujemny

(c=10)

Prawdziwie

ujemny

(d=303)

→ Wartość

predykcyjna

(c+d=313)

ujemna

wynosi c/

(c+d)

↓ (a+c=84)

Czułość

=a/(a+c)

↓(b+d=324)

Swoistość

=d/(b+d

OR- iloraz szansz
OR= (a/(a+b))/ (c/
(c+d))

Przykład

Powstało też wiele metod
przewidujących wartości
zmiennych na tej skali, np.

regresja logistyczna

.

W odróżnieniu od innych
zmiennych na skali nominalnej, do
zmiennych dychotomicznych po
ich zakodowaniu jako 0 i 1 można
też stosować niektóre metody
dostosowane do skali ilorazowej.

Istnieją specjalne metody

statystyczne dostosowane do skali

dychotomicznej, np.

chi kwadrat

Skala ilorazowa

• Skala ilorazowa (także: skala stosunkowa) – jeden

z rodzajów

skal pomiarowych

.

Zmienna

jest na skali

ilorazowej, gdy

stosunki

miedzy dwiema jej

wartościami mają interpretację w świecie
rzeczywistym.

• Przykłady zmiennych ilorazowych: temperatura w

kelwinach

(temperatura w

stopniach Celsjusza

jest na

skali interwałowej

),

napięcie elektryczne

,

inflacja

,

bezrobocie

• Skala ilorazowa, w odróżnieniu od uboższych skal, nie

nakłada ograniczeń w stosowaniu operacji
matematycznych i metod statystycznych. W
odróżnieniu jednak od

skali absolutnej

z natury

zjawiska nie wynika naturalna

jednostka miary

, jaką

należy zastosować.

Zastosowania skali

stosunkowej w

pomiarach

pedagogicznych

•

Skala stosunkowa nie wnosi żadnych ograniczeń w

stosowaniu operacji arytmetycznych do wyników

pomiaru. Oprócz obliczeń uprawnionych dla

skali przedziałowej

, dopuszcza ona przekształcenia

logarytmiczne

i ustalanie

współczynnika

zmienności.

•

Przykładem skali stosunkowej w dziedzinie

pomiaru dydaktycznego

może być czas rozwiązywania

testu

szybkości. Początek testowania jest tu

naturalnym punktem zerowym, a

sekunda

(lub

minuta

) pracy badanego —

jednostką miary

. Dzięki tym dwu

stałym

wartościom

potrafimy ustalać stosunki między

osiągnięciami

szkolnymi

, np. stwierdzić, że dany

uczeń

rozwiązuje pewnego typu tekst dwa razy

szybciej od innego ucznia

Skala interwałowa

• Skala interwałowa (przedziałowa) – jeden z

rodzajów

skal pomiarowych

.

Zmienna

jest na

skali interwałowej, gdy

różnice

miedzy dwiema

jej wartościami dają się obliczyć i mają
interpretację w świecie rzeczywistym, jednak
nie ma sensu dzielenie dwóch wartości
zmiennej przez siebie. Innymi słowy określona
jest

jednostka miary

, jednak punkt zero jest

wybrany umownie.

• Przykłady zmiennych interwałowych: daty,

np. data urodzenia, temperatura w

stopniach Celsjusza

,

energia potencjalna

,

potencjał elektryczny

Dopuszczalne operacje

statystyczne

•

Przekształcenie liniowe

jednej lub

większej liczby zmiennych interwałowych
daje także wielkość na skali interwałowej.

• Różnica dwóch wielkości na skali

interwałowej jest na

skali ilorazowej

.

• Rangowanie zmienia skalę interwałową

na

porządkową

Obliczanie:

średnia arytmetyczna

,

wariancja

,

odchylenie standardowe

,

korelacja

Pearsona,

metody rangowe

,

regresja liniowa

i

regresja logistyczna

Niedopuszczalne są:

• wyliczanie zmian względnych

(procentowych) w szeregu czasowym

• mnożenie i dzielenie dwóch wielkości

interwałowych

• logarytmowanie
• potęgowanie
•

średnie potęgowe

oprócz arytmetycznej,

takie jak

średnia kwadratowa

,

harmoniczna

,

geometryczna

Skala porządkowa

• Skala porządkowa – jeden z rodzajów

skal pomiarowych

.

Zmienne

są na skali

porządkowej, gdy przyjmują wartości, dla

których dane jest

uporządkowanie

(kolejność),

jednak nie da się w sensowny sposób określić

różnicy

ani

ilorazu

miedzy dwiema

wartościami.

• Przykłady zmiennych porządkowych:

wykształcenie, kolejność zawodników na

podium.

• Przykłady zmiennych nie będących

porządkowymi: płeć, wiek, temperatura

Dopuszczalne operacje

statystyczne:

• porównywanie, która wartość jest mniejsza, a

która większa (ale bez określania o ile)

• zliczanie,
• obliczanie

frakcji

(procent całości),

•

binaryzacja

(zamiana zmiennej nominalnej x na

szereg zmiennych dychotomicznych xi,
przyjmujących np. wartość 1, gdy x = i i 0 w
przeciwnym wypadku).

•

moda

,

•

rangowanie

i

metody rangowe

, w szczególności:

–

korelacja rangowa Spearmana

– obliczanie centyli, w tym mediany
– wyliczanie minimum i maksimum

Nie są jednak

dopuszczalne takie operacje,
jak działania arytmetyczne,
średnia arytmetyczna,
odchylenie standardowe,
klasyczna korelacja, regresja
liniowa

• Dowolną zmienną na skali

interwałowej bądź ilorazowej można
przekształcić w porządkową za
pomocą rangowania

Skala absolutna

• Skala absolutna – najbogatszy rodzaj skal

pomiarowych, w którym z natury danego
zjawiska wynika zarówno umiejscowienie
zera na skali, jak i jednostka miary. Skala
absolutna łączy cechy skali interwałowej i
ilorazowej. Dla zmiennych na skali
absolutnej interpretację mają zarówno
iloraz, jak i różnica dwóch pomiarów.

• Przykład zmiennej na skali absolutnej:

liczba jabłek, liczba pacjentów.

Prawdopodobieństwo

subiektywistyczne

• P(X) jest więc obserwowanym

prawdopodobieństwem X, zaś P(X | T) to

prawdopodobieństwo, że X nastąpi według teorii T.

Z kolei P(T) to prawdopodobieństwo, że teoria T

jest prawdziwa, P(T | X) to prawdopodobieństwo,

że teoria T jest prawdziwa, jeśli zaobserwowano X.

• Zdania typu "prawdopodobieństwo, że teoria T jest

prawdziwa" są z punktu widzenia interpretacji

obiektywistycznej nie do przyjęcia – teoria jest

prawdziwa (prawdopodobieństwo równe jedności)

lub też nie (prawdopodobieństwo równe zeru), czyli

prawdziwość teorii nie jest zdarzeniem losowym.

Przykład użycia

• Twierdzenia Bayesa można użyć do

interpretacji rezultatów badania przy użyciu

testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że

przy badaniu narkomana test wypada

pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy

badaniu osoby nie zażywającej narkotyków

wypada negatywnie w 99% przypadków.

Pewna firma postanowiła przebadać swoich

pracowników takim testem wiedząc, że 0,5%

z nich to narkomani. Chcemy obliczyć

prawdopodobieństwo, że osoba u której test

wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa

narkotyki. Oznaczmy następujące zdarzenia:

D - dana osoba jest narkomanem

N - dana osoba nie jest narkomanem

+ - u danej osoby test dał wynik pozytywny

− - u danej osoby test dał wynik

negatywny

Wiemy, że:

P(D) = 0,005, gdyż 0,5% pracowników to

narkomani

P(N) = 1 − P(D) = 0,995

P( + | D) = 0,99, gdyż taką skuteczność ma

test przy badaniu narkomana

P( − | N) = 0,99, gdyż taką skuteczność

ma test przy badaniu osoby nie będacej

narkomanem

P( + | N) = 1 − P( − | N) = 0,01

Mając te dane chcemy obliczyć
prawdopodobieństwo,
że osoba u której test wypadł pozytywnie,
rzeczywiście jest narkomanem. Tak więc:

Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności

testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest
badany pracownik u którego test dał wynik
pozytywny, jest równe około 33%, więc jest
nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba
nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje,
dlaczego ważne jest, aby nie polegać na
wynikach tylko pojedynczego testu.