FIGURY

FIGURY

PRZESTRZENNE

PRZESTRZENNE

GRANIASTOSŁUPY

GRANIASTOSŁUPY

Graniastosłup (wielościan)

Graniastosłup (wielościan)

jest figurą przestrzenną, której

jest figurą przestrzenną, której

obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi,

obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi,

a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne

a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne

graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość.

graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość.

Wysokość

Wysokość

graniastosłupa jest to

graniastosłupa jest to

odcinek prostopadły do podstaw i

odcinek prostopadły do podstaw i

zawarty między obydwoma podstawami.

zawarty między obydwoma podstawami.

Przekątna

Przekątna

graniastosłupa jest to

graniastosłupa jest to

odcinek łączący dwa wierzchołki nie

odcinek łączący dwa wierzchołki nie

leżące na jednej ścianie (np.: BD

leżące na jednej ścianie (np.: BD

1

1

).

).

Graniastosłupy dzielimy na:

Graniastosłupy dzielimy na:

PROSTE

PROSTE

POCHYŁE

POCHYŁE

dalej

Graniastosłupy proste

Graniastosłupy proste

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty

to taki

to taki

graniastosłup, w którym

graniastosłup, w którym

wszystkie ściany boczne są

wszystkie ściany boczne są

prostokątami.

prostokątami.

Graniastosłupem prostym

Graniastosłupem prostym

jest m.in. sześcian,

jest m.in. sześcian,

prostopadłościan.

prostopadłościan.

Wzór na objętość graniastosłupa

Wzór na objętość graniastosłupa

prostego:

prostego:

- pole powierzchni

- pole powierzchni

- wysokość graniastosłupa

- wysokość graniastosłupa

P

h

Ph

V 

Wzór na pole powierzchni siatki

Wzór na pole powierzchni siatki

graniastosłupa prostego:

graniastosłupa prostego:

-

pole powierzchni

pole powierzchni

-

wysokość graniastosłupa

wysokość graniastosłupa

- obwód podstawy

- obwód podstawy

P

lh

S

2





l

h

P

Sześcian

Sześcian

Sześcian (inaczej heksaedr)

Sześcian (inaczej heksaedr)

– wielościan foremny o sześciu

– wielościan foremny o sześciu

ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12

ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12

krawędzi, 8 wierzchołków i 4 przekątne.

krawędzi, 8 wierzchołków i 4 przekątne.

a

Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym.

Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym.

Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa

Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa

prawidłowego, hipersześcianu, prostopadłościanu i

prawidłowego, hipersześcianu, prostopadłościanu i

romboedru.

romboedru.

a

- długość jednej krawędzi sześcianu

- długość jednej krawędzi sześcianu

Wzór na objętość sześcianu:

Wzór na objętość sześcianu:

Wzór na pole powierzchni:

Wzór na pole powierzchni:

Wzór na długość przekątnej sześcianu:

Wzór na długość przekątnej sześcianu:

2

6a

S 

3

a

a

a

a

V









3

a

d 

Prostopadłościan

Prostopadłościan

Graniastosłup prosty, którego podstawy są

Graniastosłup prosty, którego podstawy są

prostokątami nazywamy

prostokątami nazywamy

prostopadłościanem.

prostopadłościanem.

Prostopadłościan ma trzy wymiary:

Prostopadłościan ma trzy wymiary:

długość, szerokość i wysokość (

długość, szerokość i wysokość (

a

a

,

,

b

b

,

,

c

c

).

).

Każdy prostopadłościan ma 6 ścian (4

Każdy prostopadłościan ma 6 ścian (4

ściany boczne i 2 podstawy), 8

ściany boczne i 2 podstawy), 8

wierzchołków i 12 krawędzi.

wierzchołków i 12 krawędzi.

Pole powierzchni całkowitej

Pole powierzchni całkowitej

Objętość prostopadłościanu:

Objętość prostopadłościanu:

   

- krawędzie

- krawędzie

podstawy

podstawy

- krawędź boczna

- krawędź boczna

- przekątna

- przekątna

prostopadłościanu

prostopadłościanu

abc

V 

ac

bc

ab

P

c

2

2

2







d

c

b

a,

Graniastosłupy pochyłe

Graniastosłupy pochyłe

Graniastosłup pochyły

Graniastosłup pochyły

to taki

to taki

graniastosłup, w którym krawędzie

graniastosłup, w którym krawędzie

boczne nie są prostopadłe do

boczne nie są prostopadłe do

podstaw, ale są do siebie

podstaw, ale są do siebie

równoległe.

równoległe.

W graniastosłupie pochyłym długość

W graniastosłupie pochyłym długość

wysokości jest mniejsza od długości

wysokości jest mniejsza od długości

krawędzi bocznej.

krawędzi bocznej.

Pole powierzchni i objętość takiej

Pole powierzchni i objętość takiej

figury obliczam z takiego samego

figury obliczam z takiego samego

wzoru, jak dla graniastosłupa

wzoru, jak dla graniastosłupa

prostego.

prostego.

OSTROSŁUPY

OSTROSŁUPY

P

C

Ostrosłup

Ostrosłup

– bryła geometryczna w postaci wielościanu,

– bryła geometryczna w postaci wielościanu,

którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w

którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w

jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.

jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.

Wzory

Wzory

na objętość:

na objętość:

                                                     

                                                     

na pole powierzchni:

na pole powierzchni:

gdzie:

gdzie:

–

–

długość wysokości ostrosłupa,

długość wysokości ostrosłupa,

–

–

pole powierzchni bocznej (suma pól ścian

pole powierzchni bocznej (suma pól ścian

bocznych),

bocznych),

–

–

pole podstawy ostrosłupa,

pole podstawy ostrosłupa,

–

–

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,

–

–

objętość ostrosłupa.

objętość ostrosłupa.

P

b

h

V

P

P





3

1

P

P

P

P

b

c





h

V

P

P

STOŻKI

STOŻKI

Stożek (dawniej

Stożek (dawniej

konus

konus

)

)

– bryła ograniczona przez

– bryła ograniczona przez

powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest

powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest

zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą

zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą

powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez

powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez

powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może

powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może

mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą

mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą

powierzchni stożkowej może być obwód podstawy.

powierzchni stożkowej może być obwód podstawy.

Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od

Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od

płaszczyzny podstawy.

płaszczyzny podstawy.

WALEC

WALEC

Walec

Walec

jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią

jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią

walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej

walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej

tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej,

tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej,

wówczas jest to

wówczas jest to

walec prosty

walec prosty

.

.

Walec kołowy

Walec kołowy

prosty

prosty

jest bryłą geometryczną powstałą w

jest bryłą geometryczną powstałą w

wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków.

wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków.

Podstawą walca oraz jego górną częścią jest koło, a jego

Podstawą walca oraz jego górną częścią jest koło, a jego

szerokość jest w każdym miejscu taka sama.

szerokość jest w każdym miejscu taka sama.

PRZEKRÓJ OSIOWY

PRZEKRÓJ OSIOWY

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.

PRZEKRÓJ POPRZECZNY

PRZEKRÓJ POPRZECZNY

Przekrojem poprzecznym walca jest koło.

Przekrojem poprzecznym walca jest koło.

NA KONIEC…

NA KONIEC…

Zadanie 1

Zadanie 1

Bryły przedstawione na poniższych rysunkach to:

Bryły przedstawione na poniższych rysunkach to:

                                                                                                                      

                                                                                                                      

                   

                   

a) I - stożek, II - walec, III - ostrosłup, IV - graniastosłup

a) I - stożek, II - walec, III - ostrosłup, IV - graniastosłup

b) I - walec, II - ostrosłup, III - stożek, IV - graniastosłup

b) I - walec, II - ostrosłup, III - stożek, IV - graniastosłup

c) I - walec, II - stożek, III - graniastosłup, IV - ostrosłup

c) I - walec, II - stożek, III - graniastosłup, IV - ostrosłup

d) I - walec, II - stożek, III - ostrosłup, IV - graniastosłup

d) I - walec, II - stożek, III - ostrosłup, IV - graniastosłup

Zadanie 2

Zadanie 2

Które z poniższych zdań są fałszywe?

Które z poniższych zdań są fałszywe?

a) Ściany boczne graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi

a) Ściany boczne graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi

wielokątami.

wielokątami.

b) Ściany boczne graniastosłupów prostych są zawsze prostokątami.

b) Ściany boczne graniastosłupów prostych są zawsze prostokątami.

c) Podstawy graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi

c) Podstawy graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi

wielokątami.

wielokątami.

d) Podstawą walca i stożka jest koło.

d) Podstawą walca i stożka jest koło.

Zadanie 3

Zadanie 3

Łączna długość krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 7cm, 2dm i 60mm wynosi:

Łączna długość krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 7cm, 2dm i 60mm wynosi:

a) 99cm

a) 99cm

b) 33cm

b) 33cm

c) 276cm

c) 276cm

d) 132cm

d) 132cm

Zadanie 4

Zadanie 4

Na wykonanie szkieletu sześcianu zużyto 48cm drutu. Na wykonanie ścian tego sześcianu

Na wykonanie szkieletu sześcianu zużyto 48cm drutu. Na wykonanie ścian tego sześcianu

potrzebna jest tektura o łącznej powierzchni:

potrzebna jest tektura o łącznej powierzchni:

a) 16cm²

a) 16cm²

b) 288cm²

b) 288cm²

c) 96cm²

c) 96cm²

d) 48cm²

d) 48cm²

Zadanie 5

Zadanie 5

Objętość sześcianu o polu powierzchni całkowitej 150cm² wynosi:

Objętość sześcianu o polu powierzchni całkowitej 150cm² wynosi:

a) 150cm³

a) 150cm³

b) 25cm³

b) 25cm³

c) 625cm³

c) 625cm³

d) 125cm³

d) 125cm³

ODPOWIEDZI

ODPOWIEDZI

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

•

www.wikipedia.pl

www.wikipedia.pl

•

www.gwo.pl

www.gwo.pl

•

www.zobaczycmatematyke.krk.pl

www.zobaczycmatematyke.krk.pl

•

www.figuryprzestrzenne.pl

www.figuryprzestrzenne.pl

•

„

„

Encyklopedia matematyki” GREG

Encyklopedia matematyki” GREG