RODZAJE WIELOŚCIANÓW

Wśród wielościanów wyróżniamy:

1. Wielościany foremne (tzw. BRYŁY PLATOŃSKIE ):

   • czworościan foremny - tetraedr

   • sześcian - heksaedr

   • ośmiościan foremny - oktaedr

   • dwunastościan foremny - dodekaedr

   • dwudziestościan foremny - ikosaedr

2. Ostrosłupy

   • ostrosłup prosty - to ostrosłup na podstawie którego można opisać okrąg; a punkt w którym wysokość styka się z podstawą jest jednocześnie środkiem tego okręgu

   • czworościan - ostrosłup o podstawie trójkąta;

   • ostrosłup prawidłowy - ma krawędzie boczne równej długości i jego podstawą jest wielokąt foremny.

3. Graniastosłupy

   • prosty - ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw;

   • pochyły - jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw;

   • prawidłowy - to graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi;

   • równoległościan - jego podstawą jest równoległobok, dodatkowo przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe;

   • prostopadłościan - wszystkie ściany tej figury przestrzennej to prostokąty;

   • sześcian - wszystkie ściany sześcianu są kwadratami.

WIELOŚCIANY FOREMNE - galeria

OSTROSŁUPY

DEFINICJA

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.

Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem nazywamy ostrosłupem n-kątnym.

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy (tzw. spodkiem podstawy).

Ostrosłup nazywamy foremnym (prawidłowym),jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości leży w środku koła opisanego na podstawie.

WZORY

Pc = Pp + Pb V = 1/3 • Pp • h gdzie    h - długość wysokości ostrosłupa,            Pb - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych),            Pp - pole podstawy ostrosłupa,            Pc - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,            V - objętość ostrosłupa.

RODZAJE OSTROSŁUPÓW

1. Czworościan

Czworościanem nazywamy ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami.
Odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości przeciwległych im ścian przecinają sie w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem ciężkości czworościanu i dzieli każdy z tych odcinków, licząc od wierzchołka, w stosunku 3:1.
Możemy więc powiedzieć, że czworościan jest przestrzennym odpowiednikiem trójkąta.

Czworościan którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

1. Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłupem prawidłowym nazywamy ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i którego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

1. Ostrosłup ścięty

Ostrosłupem ściętym nazywamy część ostrosłupa zawartą między jego podstawą i przekrojem płaszczyzny równoległej do podstawy wraz z tą płaszczyzną.

Ściany boczne ostrosłupa ściętego są trapezami.

Podstawy ostrosłupa ściętego są wielokątami podobnymi.



gdzie   P₁,P₂ - pola podstaw ostrosłupa ściętego,
           h - długość wysokości ostrosłupa ściętego.

GRANIASTOSŁUPY

DEFINICJA

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwana podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.

Graniastosłup, którego podstawa jest n-kątem, nazywa się graniastosłupem n-kątnym.

Wysokość graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego postaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa.

WZORY

Pc = Pp + Pb V = 2Pp • h gdzie    h - długość wysokości graniastosłupa,            d - długość przekątnej graniastosłupa,            Pb - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych),            Pp - pole podstawy graniastosłupa,            Pc - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa,            V - objętość graniastosłupa.

RODZAJE GRANIASTOSŁUPÓW

1. Graniastosłup prosty Graniastosłup prosty to graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.
   
   Długość wysokości graniastosłupa prostego jest równa długości jego krawędzi bocznej.

V = P_b * h           P_b = 2_p * h

gdzie:    2p - długość obwodu podstawy graniastosłupa,
           P_b - pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych),
           h - długość wysokości graniastosłupa.

1. Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi.

Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego jest równa długości krawędzi bocznej.

1. Prostopadłościan

Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami. Pp = a*b Pb = 2(ac + bc) Pc = 2(ac + ab+ bc) V = abc	Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają jednakową długość (ściany są kwadratami). Pc = 6a^2 V = a^3

1. Graniastosłup pochyły
   

Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.

W graniastosłupie pochyłym długość wysokości jest mniejsza od długości krawędzi bocznej.

1. Równoległościan

Równoległościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są równoległobokami.

V= P_p * h

WALEC

DEFINICJA

Walcem nazywamy bryłę obrotową powstałą przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta. Bok prostokąta zawarty w osi obrotu jest wysokością walca, a drugi jego bok jest promieniem podstawy walca.

P_p = π r²            P_b = 2π r h

P_c = 2 P_p + P_b = 2 π r (r + h)

V = π r² h

gdzie:    h - długość wysokości walca,
            r - długość promienia podstawy walca,
           P_p - pole podstawy walca,
           P_b - pole powierzchni bocznej walca,
           V - objętość walca.

	Model siatki walca Siatka walca składa się z dwóch okręgów o promieniu r oraz prostokąta o bokach r i 2πr.

PRZEKROJE WALCA

Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu. Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach długości h oraz 2r
Przekrojem poprzecznym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu. Przekrój poprzeczny walca to okrąg o promieniu r

STOŻEK

DEFINICJA

Stożkiem nazywamy bryłę obrotową powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

P_p = π r²            P_b = π r l

P_c = P_p + P_b = π r (r + l)

V = 1⁄3 • π r² h

gdzie:    h - długość wysokości stożka,
            r - długość promienia podstawy stożka,
            l - długość tworzącej stożka,
           P_p - pole podstawy stożka,
           P_b - pole powierzchni bocznej stożka,
           V - objętość.

	Model siatki stożka Siatka stożka składa się z okręgu o promieniu r oraz wycinka koła o promieniu l. Długość wycinka koła wynosi 2πr.

PRZEKROJE STOŻKA

Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu. Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o podstawie długości 2r i ramionach długości l
Przekrojem poprzecznym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu. Przekrój poprzeczny walca to okrąg o promieniu r1 < r

KULA

DEFINICJA

Kulą o środku O i promieniu R nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzenie, których odległość od punktu O jest nie większa od R.

Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola dookoła prostej, w której zawarta jest średnica tego półkola.

Sferą o środku O i promieniu R nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest równa R.

Sfera jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półokręgu dookoła prostej, w której zawarta jest średnica tego półokręgu.

P = 4π R²            V = 4⁄3 • π R³

gdzie:    P - pole powierzchni kuli,             R - długość promienia kuli,            V - objętość kuli.

PRZEKROJE KULI

Jeżeli kulę przetniemy płaszczyzną, to otrzymamy przekrój kuli. Każdy przekrój kuli jest kołem.

	Każdy przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli nazywamy kołem wielkim kuli
	Każdy przekrój kuli płaszczyzną nie przechodzącą przez środek kuli nazywamy kołem małym kuli

POJĘCIA ZWIĄZANE Z KULĄ

• Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

• Odcinkiem kuli nazywamy każdą z dwóch części kuli, na które dzieli tę kulę płaszczyzna przechodząca przez jej wnętrze wraz z przekrojem kuli tą płaszczyzną. Płaszczyzna dzieli tę sferę na dwie części zwane czaszami kuli.

	r = [(2R - h)•h]^1/2 P = 2 π R h V = ½ π r ^2• h + 1/6 π h^3 gdzie:    k(O1,r) - podstawa odcinka kuli, r - długość promienia podstawy czaszy kuli, h - długość wysokości czaszy, R - długość promienia kuli, P - pole powierzchni czaszy, V - objętość odcinka kuli.

• Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli.

• Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

• Wycinkiem kuli nazywamy część kuli ograniczoną powierzchnią kuli i powierzchnią boczną stożka o wierzchołku w środku tej kuli.

	V = 2/3 π R^2• h gdzie:   h - długość promienia podstawy czaszy, r1, r2 - długość promienia podstaw warstwy kuli, R - długość promienia kuli, V - objętość wycinka kuli.

• Warstwą kuli czyli inaczej pasem sferycznym nazywamy zbór punktów tej kuli znajdujących się między dwiema równoległymi, przecinającymi kulę, płaszczyznami wraz z przekrojami kuli tymi płaszczyznami.

	V = ½ π r1^2• h + ½ π r2^2 • h + 1/6 π h^3 gdzie:    k(O1,r1), k(O2,r2) - podstawy warstwy kuli, r1, r2 - długość promienia podstaw warstwy kuli, h - długość wysokości warstwy, R - długość promienia kuli, V - objętość warstwy kuli.