PODSTAWY

AUTOMATYKI

Ćwiczenia 2

Jan Leks

REULACJA

AUTOMATYCZNA

1. Rodzaje regulacji

1. Regulacja astatyczna ( stabilizująca parametr regulowany )

2. Regulacja statyczna ( utrzymująca parametr regulowany z
pewną dokładnością )

min

max

x - parametr regulowany
z - zakłócenie
a - charakterystyka regulacji astatycznej
b - charakterystyka regulacji statycznej

K =

- X

max

min

max

- statyzm regulacji

( dla „a” K

s = 0 )

3. Regulacja ciągła ( X

we i X

funkcja ciągła

)

Regulacja przerywana ( X

- impulsy, których parametry zależą

od X

)

5. Regulacja przekaźnikowa { Sign ( X

) = f ( Xwe ) }



x = X

- X

Regulator

y = f ( x ) y - sygnał wejściowy
x = X

- X

Dla każdego
regulatora

Rodzaje regulatorów

y Cx



y C xdt





y C x C xdt







y C



y C x C





y C x C xdt C







Reg. proporcjonalny -

Reg. całkujący -

Reg. proporcjonalno-
całkujący -

Reg. różniczkujący -

Reg.proporcjonalno-
różniczkujący -

Reg. proporcjonalno.-całkująco-
różniczkujący -

PID

- czas wyprzedzenia
( różniczkowaniaowania )

- czas zdwojenia
( czas całkowania )

PID

idealny

rzeczywisty

Sprzężenie zwrotne



 

f x



x
x



k x















k x













 





x
x









Dla k







a )



)

1





k x













0,1

1/3

1/2

1/3

0,5

x
x











Zadanie 2:

regulatorze jak na rys. sygnał wejściowy ma wartość

= 0,9

a sygnał na wyjściu układu jest równy

= 6,0

bliczyć współczynnik wzmocnienia pętli sprzężenia zwrotnego

przy, którym błąd regulacji nie przekroczy

0,06

. Obliczyć

współczynnik wzmocnienia

Rozwiązanie

Dla błędu regulacji jest:

k = ?

= ?



 



k x

przy czym ma
być :

 006













09 006

014

Stą

Wzmocnienie układu jest
równe:

015

x
x



x
x





Stąd oblicza
się:

k k















015 014

100

Zadanie 3:

regulatorze jak na rys. sygnał wejściowy ma wartość

= 0,8.

Po rozcięciu obwodu sprzężenia sygnał wyjściowy ma wartość

wy = 9,2.

Obliczyć błąd regulacji regulatora z zamkniętą pętlą sprzężenia

zwrotnego.



Rozwiązanie:

Obliczamy wzmocnienie k w otwartej pętli:

x
x



115

po czym błąd regulacji:

 







 























wy z

1 115

125

0064

Zadanie

1k - a :

Obliczyć stosunek amplitud

()

/Wy

( )

przy, którym

faza sygnału wyjściowego

układu jak na rysunku

wynosi

 = - 30 

Zadanie

1k - b :

Obliczyć współczynnik wzmocnienia

członu

inercyjnego I-go rzędu jak na rysunku

przy, którym

stała czasowa

zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego

będzie

4-krotnie

mniejsza niż

stała czasowa

otwartego toru.Obliczyć fazę



sygnału wyjściowego

dla zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego.

 

K s





( s )

 

2

sin



sin



 

  











sin

T 

 





 









 



arctg

dla



3

 



088



















 ,

Z transmitancji

operatorowej członu

wyznacza się

następn
ie

stąd

Rozwiązanie

zad.

1k - a :

 

K s





 

K s

s k











 





 

Rozwiązanie

zad.1k - b:

Transmitancja operatorowa w otwartej pętli jest równa:

Transmitancja układu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego
jest równa:















2
2

Ma być :
oraz







1

stąd ,

 





 












 

arctg

lub

 05

Dla
jest





OFF

U = 220 V

= 2,3 V

= 5

= 10 mV/

O N

= 1 V

OFF

= 2V





po czasie

t = 24 min

temperatura
praktycznie ustala się


= 770

Z adanie 3

: - wyznaczyć temperaturę regulowaną

 ,

- transmitancję operatorową

K obiektu,

- czas cyklu pracy termoregulatora,



min



max



 





U t





, min

220 24

770











770

220









min

 

K s

T s














480 1





min









max











min







 

k k

1000

5 10







max







 

OFF

k k

2000

5 10











230



min

 







210



max

 







270



















 











 





 



 











 



max

min ln

, min

770

270

770

357











min

max

min

max

min ln

, min









 











 





 



 











 



210

270

220







max

min

max

min

min ln

, min












 











 





 



 











 



770

270

770

210

091

t t

  





220

091

311

, min

Transmitancje i
charakterystyki

częstotliwościowe

UAR

 





 





W s






 





 





W j

F x





- transmitancja operatorowa ( przekształcenie
Laplace’a )

- transmitancja widmowa ( przekształcenie
Fouriera )

 

Jeśli X

const to

a x

n wy





 

'' ...

 





 





Jeśli X

const to

a x

b x

m we





 

 





 





...

1 )

2 )

Ad 1 )

  

  

a s a s

a s

a X





 





...



m.  n - dla fizycznych obiektów

Rodzaje charakterystyk

częstotliwościowych UAR

 

Ogó iedla K s

b s

b s b

a s

a s a

n m

...

;





 



 











Jeśli

to wektor K j

kreśli krzyw na p aszczyźniezespolonej









 

K j

j Q



 







1 )

amplitudowo -fazowa

charakterystyka
częstotliwościowa

2
)

 





 





K j







amplitudowa cha-ka

częstotliwościowa

 

 








arctg

3
)

fazowa cha-ka częstotliwościowa

 







 



cos

4 )

rzeczywista cha-ka częstotliwościowa

5
)

 







 



sin

urojona cha-ka częstotliwościowa

Transmitancje układów UAR

( s )

K ( s )

. . .

( s )

K ( s )

.
.
.

 





K s





 





K s





W( s )

= f ( x

we,

, W )

(s) = W(s)

np.: x

= 1 sin  t

= A sin (  t +  )

= A (  ) sin [  t +  (  )]







 

j Q (  )

P (  )



  )

W ( j  )

 





j t







 



 

W j



 



K ( s )

( s )

 X ( s )

 

   

X s K s



 

   

 X s

K s X





 

   





K s X





   





 

K s X

K s K s X

 

 

   

K s

K s K s





K ( s )

( s )

 X ( s )

 

K s





 

X s

K s





Człon proporcjonalny

(

bezinercyjny

)

transmitancja operatorowa błędu

regulacji

 

f x



Jeśli x

= const. To:

 

a x





 





'' ...



Człon oscylacyjny

a x





ozn

a
a





 

K s

T s





Jeżeli T

albo

s s

























 









 

t A

t x











cos

sin

Jeżeli T

albo















   

 









Jeżeli x

A e









Po zastąpieniu członami I-go rzędu można napisać:







1 0









 

 

 

T s

gdzie T

T T

' ,

Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego

 

K s

T s





 

   

 

K j

j T

j Q








 















 





 









K j













2 2

 

 












j Q  

P  





  

  

  

  

 

W s

b s

b s b

a s a s

a s a





 



 





...

Przykład 1:

Regulacja prędkości obrotowej silnika prądu

stałego za pomocą uzwojenia wzbudzenia. Cewka wzbudzenia
ma indukcyjność

i rezystancję

.wyznaczyć transmitancję

operatorową dla uzwojenia wzbudzenia.

L , R

L ,R

u = L i' + R i

i i

'  

ozn

T oraz



Ti i ku

'  

stąd



  

 

i s

ku s





   

 

W s

i s

u s



1

 

i t










Jeśli u = 1( t ) U
to

U/R

U k

   

 

W s

i s

u s



1

Przykład 2 :

Wyznaczyć kształt charakterystyki amplitudowo-

fazowej układu z przykładu 1.

Przyjmując uogólnienie dla transmitancji
operatorowej

 

u s

i s



Jest:

 

W s



1

zatem

 

W j

A j

k
j T

k T








 













 







 

k T









 

W j

k
j T











 





 










arctg

Oznaczamy
:

 

W j

x j y

  















gdzie

















( 1 )

( 2 )

Z ( 1 ) i ( 2 )

wynika:

lub









 

























albo

 

k
2

 

W j

 0



j y

Zad. 4. Czy człon II-go rzędu o równaniu :

( s

+ 5s + 6 ) X

( s )

= 5 X

( s )

jest oscylacyjny ? Wyznaczyć parametry szeregowego

układu równoważnego złożonego z członów inercyjnych I-go rzędu.

 

K s



 





5
6

1
6

5
6







 1







 















T s





  

 

1 2





T s

T s X

k k X









 

T T s

1 2

5
6





k k

np k

1 2

5
6

083

 



 

K s

T s

































5
6

 

K s

U s

R Ls

LCs

RCs









cz onoscylacyjny









 

K s

U s

T T s

T s





1 2

Zad. 5. Sprawdzić czy człon jak na rysunku jest oscylacyjny oraz
naszkicować charakterystyki: amplitudową częstotliwościową i
widmową na płaszczyźnie zespolonej.

 

RC T

 

  



2 10



100





Należy znaleźć maksymalną amplitudę, pulsację i
fazę.

Obliczamy

 











 

max



 





T T

max







 







1 2

 



max











2 10

1 2

T T T

T T

 





T T

max









1 2

2 2

 





max









 









1 10 2 10 2 10

4 10 2 10

0243

8 2

T T





max









 

 



 

 





1 2

2 10 2 10

1 2 10 10

2 10

2 094



max





433

 





K t

t e

dla t

 





1 10

5000

sin



j Q (



)

P (



)

K ( j



)

~ 314 Hz

~ 392 Hz

~ 3,14

kHz

- 40 d

B/de

0 dB

A (



)



314 Hz

3,14 kHz

Przykład
:

 





K s

U s

R R

R Cs

R R Cs









R C T

R R









 

K s

T s





 



 

   

 

U s

K s U s

U s



 





 









 

dla

T s

R R

U s

T s

U s



 







 









j Q (



)

P (



)

K ( j



)

PODSTAWY

AUTOMATYKI

Ćwiczenia 3

Jan Leks

K ( s )

( s )

 ( s )

 

X s

 

K s





 

K s

X s



 



X s





 

   

K s

K s X





 

   

K s

K s K s









K ( s )

( s )

= 0

( s )



( s )

Sygnał

odebrany

Sygnał

przyłożony

Wzmocnienieuk aduotwartego

Sygna odebrany

Sygna przy ożony



 

   





K s K s

otw

Jeśli S

= 1 to:

 

K s

otw





 

K s

otw







- Transmitancja operatorowa błędu

Równania stanu - dziedzina czasu

  



K s

s s









+
-

Przekładnia



Przykład. Regulator nadążny położeniowy

( s )

 ( s )

  



K s

s s







 

K s

s k











 

d x

k x







ozn x

x x



 

x t

def



 















0 0
0



 



























Stabilność UAR

 

   

 

K s

K s K s







 



 













 



 



































 

 



















 







 

 

 





 

K e









Odpowiedzi obiektu na skok jednostkowy

1 0.05

2 0.2

3 0.5

k 1

0 1

0.00.1 25

w1

0 1 1

w2

0 1 2

w3

0 1 3

1 asin 1 1

2 asin 1 2

3 asin 1 3

h1( )

exp(

)

1 0 t

1 1

sin(

)

w1t 1

h2( )

exp(

)

2 0 t

1 2

sin(

)

w2t 2

h3( )

exp(

)

3 0 t

1 3

sin(

)

w3t 3

T1 0.2

T2 2

h_in( )

T1exp

T2exp

(

)

T1 T2

0.5

1.5

h1( )

h2( )

h3( )

h_in( )

0.5

1.5

1.85358

h1( )

h2( )

h3( )

h_in( )

h_1st1( )

k 1 exp

h_1st2( )

k 1 exp

Inercja -go rzedu:

T1 1

T2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

h_1st1( )

h_1st2( )

Kz1( )



i  T 1

K1( )



20log(

)

Kz1( )



1( )



arg(

)

Kz1( )



180



Transmitancja widmowa

0.1

K1( )



k 1

0 1



0.10.12 9.6

0.1

-5.71059

1( )



9.6

0.1



1 0.05 2 0.2 3 0.5

4 1

5 2

k 1

0 1



0.010.1 96

Transmitancja widmowa ( II-go rzędu )

Kz1( )



k 0 0

(

)

i 

2 1 0 i  0

K1( )



20log(

)

Kz1( )



1( )



arg(

)

Kz1( )



180



Kz2( )



k 0 0

(

)

i 

2 2 0 i  0

K2( )



20log(

)

Kz2( )



2( )



arg(

)

Kz2( )



180



Kz3( )



k 0 0

(

)

i 

2 3 0 i  0

K3( )



20log(

)

Kz3( )



3( )



arg(

)

Kz3( )



180



Kz4( )



k 0 0

(

)

i 

2 4 0 i  0

K4( )



20log(

)

Kz4( )



4( )



arg(

)

Kz4( )



180



Kz5( )



k 0 0

(

)

i 

2 5 0 i  0

K5( )



20log(

)

Kz5( )



5( )



arg(

)

Kz5( )



180



0.01

0.1

100

-79.2884

K1( )



K2( )



K3( )



K4( )



K5( )



95.95

0.01



0.01

0.1

100

150

100

-0.0573015

180

1( )



2( )



3( )



4( )



5( )



95.95

0.01



K1nl( )



Kz2( )



0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

0.5

1.5

2.5

K1nl( )



0.01

0.1

100

Kin_m( )



0.01

0.1

100

150

100

( )



Kin( )



(

)

T11i 1 (

)

T21i 1

Kin_m( )



20log(

)

Kin( )



T1 5

T2 0.2

0.01

0.1

100

150

100

-2.977

180

( )



95.95

0.01



( )



arg(

)

Kin( )



180



PODSTAWY AUTOMATYKI

- Stabilność UAR -

Ćwiczenia 4

Płaszczyzna

1 





 

Diraca

funkcji

transforma

impulsowa

odpowiedź

jego

przedziale

calkowa

bezwzględn

jest

układu

ości

stabi

waunkiem

ącym

wystarczaj

Koniecznym













 

   

 

   















 

  







y t

h T

x t T dT wymagane jest aby

x t T











 







 





 





Warunek wystarczajacy wdziedzinieczęstotliwości

h t

H s e ds

jeśli funkcja jest meromorficzna można wyznaczyćh t

za pomoc residuów

h t

K t e

h t dt

przy

LPP







 



























Kryterium Routha-Hurwitza













oraz

być

musi

styczne

charaktery

równanie

się

Bada

Przykład: Układ regulacji prędkości silnika lotniczego ( układ
odśrodkowy ze sprężyną )

 





K s













 



s k





T s





12 10

3 10

 





  





K s





 





12 10

3 10

 

K s

s k















 



12 10

312 10

1003

3 3

312 10

1003

1003 312 10

1003

312 10

322

312 10

1003

12 10

312 10

1003

12 10

312 10

313 10

12 10

973 10































 









 







301 10

973 10

310











,
,

zapaswzmocnienia

maksyma y wspó czynnik wzmocnienia uk adustabi ego

wspó czynnik wzmocnienia uk adu

np dla k

wynosi



310

Kryterium Nyquista

 

K s

 





1 0

  





K s





 





12 10

3 10

K + 1

K + 1 = (

s -



) ( s -



) ...

- 1 + j0



j 



Pładszczyzna

3, 4

- 1 + j 0

Płaszczyzna

( Wykres Nyquista )

s j

  







 







 







 







 





707

135

202

154

106

1615

061

166

176

, ,





= 2



= 3



= 4



= 10

k = 0,03 w punkcie przecięcia

zapas fazy





= 18

Przykład: Zbadać stabilność układu (kryterium Nyquista -
cha-ka A-F)

Metoda 1:

Rozcięcie pętli w punkcie 1.





 





H H H

s s













 





s s









40 30

( s )







s s









- 2 + j 0

Płaszczyzna

- 1 + j 0

- j



= 3



= 2



= 1



= 0

s j

 



























431

130

157

167

074

183

, ,



Metoda 2:

Rozcięcie pętli w punkcie 3

 

 



s s

wew





Bada się tylko stabilność pętli
wewnętrznej

Płaszczyzna

- j



= 2



= 1



= 0

- 1 + j 0

Po zamknięciu pętli zewnętrznej transmitancja wypadkowa
jest równa:

 







A s

s s























 





2 10

Płaszczyzna

 = 1,5

 = 1

 = 3

 = 1,7

 = 2

- 1 + j 0

- 3 + j 0



Przykład: Zbadać stabilność UAR ( kryterium Hurwitza i
Nyquista )

Dane K

004

005

0242

117



















 

K s

T s

K s

T s

K s

T s

K s

T s

004

005 1

03 1

0242

117

































Rozwiąza
nie:

 















K s

k k k k

T s





 















K s

k k k k

T s

k k k k









 

Równanie charakterystyczne po uwzględnieniu
danych:

00071

00353

0491

156

342 0





Wyznaczniki
Hurwitza:







a a a

a a

a a a















00185 0



000626 0









a a

UAR
stabilny

Kryterium Nyquista:

 















K s

k k k k

T s





 















K j

k k k k

j T







UAR
stabilny



j Q (  )

P (  )

K (

j )

- 1

Zadanie:

Dla jakich parametrów regulatora PD układ regulacji

nadążnej jest stabilny?

Dane: K

( s ) = 20 [V/V], K

( s ) = 0,04

/ s [mm/obr] , K

( s ) = k

/ ( 1

+ s T ) = 100 / ( 1 + 0,1 s ) [ obr/V], K

( s ) = k

= 0,05 [V/mm]

( kryterium Hurwitza , wykres )

( s )

Wzmacniacz

Silnik

Przekładnia

( s )

Układ pomiarowy

Regulator

Rozwiązanie:

 

       

         

















 









































100















016

100























 

064

016





 

















064

 





 









Zadanie 2k a :

Podać transmitancję operatorową H ( s ) oraz

określić stabilność układu o równaniu różniczkowym:

Zadanie 2k b :

Podać transmitancję operatorową H ( s ) oraz

określić stabilność układu o równaniu czasowym:

Przyjąć zerowe warunki początkowe. Uzasadnić
odpowiedź !

( szkic transmitancji widmowej )

 













Przyjąć zerowe warunki początkowe. Uzasadnić
odpowiedź !

( szkic transmitancji widmowej )



 





 









 





 





 













 





 





Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
Slide 62
Slide 63
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
Slide 72
Slide 73
Slide 74
Slide 75
Slide 76
Slide 77
Slide 78
Slide 79
Slide 80
Slide 81

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zad Au JLs
1
1
X~1
SEM18 ~1
1
1
1
1
J Jednostka astronomiczna AU (2)
1
1
14 gal~1
1
1
11-nkb~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l2
2-eukl~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l2

więcej podobnych podstron

JLS AU~1

Document Outline