PODSTAWY AUTOMATYKI

Rodzaje regulatorów

y Cx



y C xdt





y C x C xdt







y C



y C x C





y C x C xdt C







Reg. proporcjonalny -

Reg. całkujący -

Reg. proporcjonalno-
całkujący -

Reg. różniczkujący -

Reg.proporcjonalno-
różniczkujący -

Reg. proporcjonalno.-całkująco-
różniczkujący -

PID

Sprzężenie zwrotne



 

f x



x
x



k x















k x













 





x
x









Dla k







a )



)

1





k x













0,1

1/3

1/2

1/3

0,5

x
x











Zadanie 2:

regulatorze jak na rys. sygnał wejściowy ma wartość

= 0,9

a sygnał na wyjściu układu jest równy

= 6,0

bliczyć współczynnik wzmocnienia pętli sprzężenia zwrotnego

przy, którym błąd regulacji nie przekroczy

0,06

. Obliczyć

współczynnik wzmocnienia

Rozwiązanie

Dla błędu regulacji jest:

k = ?

= ?



 



k x

przy czym ma
być :

 006













09 006

014

Stą

Wzmocnienie układu  jest
równe:

015

x
x



x
x





Stąd oblicza
się:

k k















015 014

100

Zadanie 3:

regulatorze jak na rys. sygnał wejściowy ma wartość

= 0,8.

Po rozcięciu obwodu sprzężenia sygnał wyjściowy ma wartość

wy = 9,2.

Obliczyć błąd regulacji regulatora z zamkniętą pętlą sprzężenia

zwrotnego.



Rozwiązanie:

Obliczamy wzmocnienie k w otwartej pętli:

x
x



115

po czym błąd regulacji:

 







 























wy z

1 115

125

0064

Zadanie

1k - a :

Obliczyć stosunek amplitud

()

/Wy

( )

przy, którym

faza sygnału wyjściowego

układu jak na rysunku

wynosi

 = - 30 

Zadanie

1k - b :

Obliczyć współczynnik wzmocnienia

członu

inercyjnego I-go rzędu jak na rysunku

przy, którym

stała czasowa

zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego

będzie

4-krotnie

mniejsza niż

stała czasowa

otwartego toru.Obliczyć fazę



sygnału wyjściowego

dla zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego.

 

K s





( s )

 

2

sin



sin



 

  











sin

T 

 





 









 



arctg

dla



3

 



088



















 ,

Z transmitancji

operatorowej członu

wyznacza się

następn
ie

stąd

Rozwiązanie

zad.

1k - a :

 

K s





 

K s

s k











 





 

Rozwiązanie

zad.1k - b:

Transmitancja operatorowa w otwartej pętli jest równa:

Transmitancja układu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego
jest równa:















2
2

Ma być :
oraz







1

stąd ,

 





 












 

arctg

lub

 05

Dla
jest







 





U t





, min

220 24

770











770

220









min

 

K s

T s














480 1





min









max











min







 

k k

1000

5 10







max







 

OFF

k k

2000

5 10











230



min

 







210



max

 







270



















 











 





 



 











 



max

min ln

, min

770

270

770

357











min

max

min

max

min ln

, min









 











 





 



 











 



210

270

220







max

min

max

min

min ln

, min












 











 





 



 











 



770

270

770

210

091

t t

  





220

091

311

, min

 





 





W s






 





 





W j

F x





- transmitancja operatorowa ( przekształcenie
Laplace’a )

- transmitancja widmowa ( przekształcenie
Fouriera )

 

Jeśli X

const to

a x

n wy





 

'' ...

 





 





Jeśli X

const to

a x

b x

m we





 

 





 





...

1 )

2 )

Ad 1 )

  

  

a s a s

a s

a X





 





...



m.  n - dla fizycznych obiektów

Rodzaje charakterystyk

częstotliwościowych UAR

 

Ogó iedla K s

b s

b s b

a s

a s a

n m

...

;





 



 











Jeśli

to wektor K j

kreśli krzyw na p aszczyźniezespolonej









 

K j

j Q



 







1 )

amplitudowo -fazowa

charakterystyka
częstotliwościowa

2
)

 





 





K j







amplitudowa cha-ka

częstotliwościowa

 

 








arctg

3
)

fazowa cha-ka częstotliwościowa

 







 



cos

4 )

rzeczywista cha-ka częstotliwościowa

5
)

 







 



sin

urojona cha-ka częstotliwościowa

Transmitancje układów UAR

( s )

K ( s )

. . .

( s )

K ( s )

.
.
.

 





K s





 





K s





W( s )

= f ( x

we,

, W )

(s) = W(s)

np.: x

= 1 sin  t

= A sin (  t +  )

= A (  ) sin [  t +  (  )]







 

j Q (  )

P (  )



  )

W ( j  )

 





j t







 



 

W j



 



K ( s )

( s )

 X ( s )

 

   

X s K s



 

   

 X s

K s X





 

   





K s X





   





 

K s X

K s K s X

 

 

   

K s

K s K s





K ( s )

( s )

 X ( s )

 

K s





 

X s

K s





Człon proporcjonalny

(

bezinercyjny

)

transmitancja operatorowa błędu

regulacji

 

f x



Jeśli x

= const. To:

 

a x





 





'' ...



Człon oscylacyjny

a x





ozn

a
a





 

K s

T s





Jeżeli T

albo

s s

























 









 

t A

t x











cos

sin

Jeżeli T

albo















   

 









Jeżeli x

A e









Po zastąpieniu członami I-go rzędu można napisać:







1 0









 

 

 

T s

gdzie T

T T

' ,

Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego

 

K s

T s





 

   

 

K j

j T

j Q








 















 





 









K j













2 2

 

 












j Q  

P  





  

  

  

  

 

W s

b s

b s b

a s a s

a s a





 



 





...

Przykład 1:

Regulacja prędkości obrotowej silnika prądu

stałego za pomocą uzwojenia wzbudzenia. Cewka wzbudzenia
ma indukcyjność

i rezystancję

.wyznaczyć transmitancję

operatorową dla uzwojenia wzbudzenia.

L , R

L ,R

u = L i' + R i

i i

'  

ozn

T oraz



Ti i ku

'  

stąd



  

 

i s

ku s





   

 

W s

i s

u s



1

   

 

W s

i s

u s



1

Przykład 2 :

Wyznaczyć kształt charakterystyki amplitudowo-

fazowej układu z przykładu 1.

Przyjmując uogólnienie dla transmitancji
operatorowej

 

u s

i s



Jest:

 

W s



1

zatem

 

W j

A j

k
j T

k T








 













 







 

k T









 

W j

k
j T











 





 










arctg

Oznaczamy
:

 

W j

x j y

  















gdzie

















( 1 )

( 2 )

Z ( 1 ) i ( 2 )

wynika:

lub









 

























albo

 

k
2

 

W j

 0



j y

Zad. 4. Czy człon II-go rzędu o równaniu :

( s

+ 5s + 6 ) X

( s )

= 5 X

( s )

jest oscylacyjny ? Wyznaczyć parametry szeregowego

układu równoważnego złożonego z członów inercyjnych I-go rzędu.

 

K s



 





5
6

1
6

5
6







 1







 















T s





  

 

1 2





T s

T s X

k k X









 

T T s

1 2

5
6





k k

np k

1 2

5
6

083

 



 

K s

T s

































5
6

 

K s

U s

R Ls

LCs

RCs









cz onoscylacyjny









 

K s

U s

T T s

T s





1 2

Zad. 5. Sprawdzić czy człon jak na rysunku jest oscylacyjny oraz
naszkicować charakterystyki: amplitudową częstotliwościową i
widmową na płaszczyźnie zespolonej.

 

RC T

 

  



2 10



100





Należy znaleźć maksymalną amplitudę, pulsację i
fazę.

Obliczamy

 











 

max



 





T T

max







 







1 2

 



max











2 10

1 2

T T T

T T

 





T T

max









1 2

2 2

 





max









 









1 10 2 10 2 10

4 10 2 10

0243

8 2

T T





max









 

 



 

 





1 2

2 10 2 10

1 2 10 10

2 10

2 094



max





433

Przykład
:

 





K s

U s

R R

R Cs

R R Cs









R C T

R R









 

K s

T s





 



 

   

 

U s

K s U s

U s



 





 









 

dla

T s

R R

U s

T s

U s



 







 









j Q (



)

P (



)

K ( j



)

K ( s )

( s )

 ( s )

 

X s

 

K s





 

K s

X s



 



X s





 

   

K s

K s X





 

   

K s

K s K s









K ( s )

( s )

= 0

( s )



( s )

Sygnał

odebrany

Sygnał

przyłożony

Wzmocnienieuk aduotwartego

Sygna odebrany

Sygna przy ożony



 

   





K s K s

otw

Jeśli S

= 1 to:

 

K s

otw





 

K s

otw







- Transmitancja operatorowa błędu

 

K s

s k











 

d x

k x







ozn x

x x



 

x t

def



 















0 0
0



 



























Stabilność UAR

 

   

 

K s

K s K s







 



 













 



 



































 

 



















 







 

 

 





 

K e









Odpowiedzi obiektu na skok jednostkowy

1 0.05

2 0.2

3 0.5

k 1

0 1

0.00.1 25

w1

0 1 1

w2

0 1 2

w3

0 1 3

1 asin 1 1

2 asin 1 2

3 asin 1 3

h1( )

exp(

)

1 0 t

1 1

sin(

)

w1t 1

h2( )

exp(

)

2 0 t

1 2

sin(

)

w2t 2

h3( )

exp(

)

3 0 t

1 3

sin(

)

w3t 3

T1 0.2

T2 2

h_in( )

T1exp

T2exp

(

)

T1 T2

0.5

1.5

h1( )

h2( )

h3( )

h_in( )

1 0.05 2 0.2 3 0.5

4 1

5 2

k 1

0 1



0.010.1 96

Transmitancja widmowa ( II-go rzędu )

Kz1( )



k 0 0

(

)

i 

2 1 0 i  0

K1( )



20log(

)

Kz1( )



1( )



arg(

)

Kz1( )



180



Kz2( )



k 0 0

(

)

i 

2 2 0 i  0

K2( )



20log(

)

Kz2( )



2( )



arg(

)

Kz2( )



180



Kz3( )



k 0 0

(

)

i 

2 3 0 i  0

K3( )



20log(

)

Kz3( )



3( )



arg(

)

Kz3( )



180



Kz4( )



k 0 0

(

)

i 

2 4 0 i  0

K4( )



20log(

)

Kz4( )



4( )



arg(

)

Kz4( )



180



Kz5( )



k 0 0

(

)

i 

2 5 0 i  0

K5( )



20log(

)

Kz5( )



5( )



arg(

)

Kz5( )



180







 

Diraca

funkcji

transforma

impulsowa

odpowiedź

jego

przedziale

calkowa

bezwzględn

jest

układu

ości

stabi

waunkiem

ącym

wystarczaj

Koniecznym













 

   

 

   















 

  







y t

h T

x t T dT wymagane jest aby

x t T











 







 





 





Warunek wystarczajacy wdziedzinieczęstotliwości

h t

H s e ds

jeśli funkcja jest meromorficzna można wyznaczyćh t

za pomoc residuów

h t

K t e

h t dt

przy

LPP







 



























Kryterium Routha-Hurwitza













oraz

być

musi

styczne

charaktery

równanie

się

Bada

Przykład: Układ regulacji prędkości silnika lotniczego ( układ
odśrodkowy ze sprężyną )

 





K s













 



s k





T s





12 10

3 10

 





  





K s





 





12 10

3 10

 

K s

s k















 



12 10

312 10

1003

3 3

312 10

1003

1003 312 10

1003

312 10

322

312 10

1003

12 10

312 10

1003

12 10

312 10

313 10

12 10

973 10































 









 







301 10

973 10

310











,
,

zapaswzmocnienia

maksyma y wspó czynnik wzmocnienia uk adustabi ego

wspó czynnik wzmocnienia uk adu

np dla k

wynosi



310

Kryterium Nyquista

 

K s

 





1 0

  





K s





 





12 10

3 10

K + 1

K + 1 = (

s -



) ( s -



) ...

- 1 + j0



j 



Pładszczyzna

3, 4

- 1 + j 0

Płaszczyzna

( Wykres Nyquista )

s j

  







 







 







 







 





707

135

202

154

106

1615

061

166

176

, ,





= 2



= 3



= 4



= 10

k = 0,03 w punkcie przecięcia

zapas fazy





= 18

Przykład: Zbadać stabilność układu (kryterium Nyquista -
cha-ka A-F)

Metoda 1:

Rozcięcie pętli w punkcie 1.





 





H H H

s s













 





s s









40 30

( s )







s s









Po zamknięciu pętli zewnętrznej transmitancja wypadkowa
jest równa:

 







A s

s s























 





2 10

Płaszczyzna

 = 1,5

 = 1

 = 3

 = 1,7

 = 2

- 1 + j 0

- 3 + j 0



Przykład: Zbadać stabilność UAR ( kryterium Hurwitza i
Nyquista )

Dane K

004

005

0242

117



















 

K s

T s

K s

T s

K s

T s

K s

T s

004

005 1

03 1

0242

117

































Rozwiąza
nie:

 















K s

k k k k

T s





 















K s

k k k k

T s

k k k k









 

Równanie charakterystyczne po uwzględnieniu
danych:

00071

00353

0491

156

342 0





Wyznaczniki
Hurwitza:







a a a

a a

a a a















00185 0



000626 0









a a

UAR
stabilny

Kryterium Nyquista:

 















K s

k k k k

T s





 















K j

k k k k

j T







UAR
stabilny



j Q (  )

P (  )

K (

j )

- 1

Rozwiązanie:

 

       

         

















 









































100















016

100























 





 









Zadanie 2k a :

Podać transmitancję operatorową H ( s ) oraz

określić stabilność układu o równaniu różniczkowym:

Zadanie 2k b :

Podać transmitancję operatorową H ( s ) oraz

określić stabilność układu o równaniu czasowym:

Przyjąć zerowe warunki początkowe. Uzasadnić
odpowiedź !

( szkic transmitancji widmowej )

 













Przyjąć zerowe warunki początkowe. Uzasadnić
odpowiedź !

( szkic transmitancji widmowej )

Document Outline