PODSTAWOWE

KONSTRUKCJE

GEOMETRYCZNE

Bartosz

Bartosz

Michalski

Michalski

MEN

MEN

U

U

1.

1.

Konstrukcje elementarne

Konstrukcje elementarne

2.

2.

Podział odcinka na pięć części

Podział odcinka na pięć części

3.

3.

Wielokąty foremne

Wielokąty foremne

4.

4.

Konstrukcje wielokątów foremnych

Konstrukcje wielokątów foremnych

5.

5.

Okrąg wpisany w wielokąt

Okrąg wpisany w wielokąt

6.

6.

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie

7.

7.

Kwadrat wpisany w dany trójkąt

Kwadrat wpisany w dany trójkąt

ostrokątny

ostrokątny

A

B

r

r

C

D

Dany jest odcinek AB

Wybieramy r >

1

/

2

|AB|

Rysujemy o(A,r)

Rysujemy o(B,r)

Otrzymujemy punkty C

i D przecięcia tych

okręgów

Rysujemy prostą CD

Konstrukcja symetralnej odcinka

Opis konstrukcji

E

F

G

F
’

G’

Konstrukcja dwusiecznej odcinka

Opis

konstrukcji

Dany jest kąt FEG

Zakreślamy okrąg o

środku E i dowolnym

promieniu

Otrzymujemy punkty F’

i G’ przecięcia tego

okręgu z ramionami

kąta

Konstruujemy

symetralną odcinka E’G’

Część wspólna tej

symetralnej i kąta FEG

jest poszukiwaną

dwusieczną

Konstrukcja prostej prostopadłej

do danej prostej przechodzącej

przez dany punkt

Opis

konstrukcji

Dana jest prosta k i

punkt A

Kreślimy okrąg o środku

A tak, aby miał on z

prostą k dwa punkty

wspólne

Otrzymujemy odcinek

BC

Kreślimy symetralną

odcinka BC

k

A

B

C

a

a

A

a

k

B

1

B

2

Konstrukcja prostej równoległej

do danej prostej k w odległości a

od tej prostej

Opis

konstrukcji

Dana jest prosta k i

odcinek a

Na prostej k wybieramy

dowolnie punkt A

Kreślimy prostą l

prostopadłą do k,

przechodzącą przez punkt

A

Kreślimy okrąg o(A, a),

który przecina prostą l w

punktach B

1

i B

2

Kreślimy proste

prostopadłe do prostej l

przechodzące przez

punkty B

1

i B

2

A

O

O

1

B

1

B

2

Konstrukcja stycznej do danego

okręgu przechodzącej przez dany

punkt leżący na zewnątrz okręgu

Dany jest okrąg o(O,r)

oraz punkt A leżący na

zewnątrz okręgu

Kreślimy odcinek OA

Kreślimy symetralną

odcinka OA, która

przecina go w punkcie

O

1

Kreślimy okrąg o(O

1

,

O

1

O), który przecina

dany okrąg w punktach

B

1

i B

2

Kreślimy proste B

1

A i

B

2

A

.

Opis

konstrukcji

X’

C’

x

x

x

x

x

B

A

X’

C

D

E

F

G

X’

D’

X’

E’

X’

F’

s

m

Podział odcinka na 5 równych

części

Opis

konstrukcji

Dany jest odcinek AB. Z

punktu A kreślimy półprostą

m, tworzącą z odcinkiem AB

kąt ostry.

Od punktu A na półprostej m

odmierzamy w kolejności pięć

odcinków równej długości; AC,

CD, DE, EF i FG.

Otrzymujemy na półprostej

pięć odcinków: |AC| = |CD| = |

DE| = |EF| = |FG| = x

Przez punkty G i B

kreślimy prostą s, a

następnie przez punkty

C, D, E i F kreślimy

proste równoległe do

prostej s.

Na odcinku AB

otrzymujemy punkty C’,

D’, E’ i F’, które dzielą

odcinek AB na pięć

równych odcinków x’.

Wielokąty foremne

Wielokąty foremne – jest to

wielokąt mający wszystkie
boki równej długości i wszystkie
kąty równe.

Własności:

1. Jest wypukły.

2. Na każdym wielokącie można opisać

okrąg. W każdy wielokąt foremny
można opisać okrąg.

3. Symetralna boku jest jego osią

symetrii.

4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego

osi symetrii.

Konstrukcje wielokątów

foremnych

Trójkąt równoboczny

Kwadrat

Pięciokąt foremny

Sześciokąt foremny

konstrukc
ja

konstrukc
ja

konstrukc
ja

konstrukc
ja

a

A

B

C

a

a

Konstrukcja trójkąta

równobocznego o danym boku a

Opis

konstrukcji

Dany jest odcinek o

długości a.

Rysujemy okrąg o(A,a).

Rysujemy okrąg o(B,a)

Otrzymujemy punkt C

przecięcia

tych okręgów

Punkt C jest trzecim

wierzchołkiem trójkąta.

Konstrukcja kwadratu o danym

boku a

D

C

B

A

a

a

a

a

Opis

konstrukcji

Dany jest odcinek AB o

długości a.

Kreślimy prostą

prostopadłą do AB przez

punkt A.

Rysujemy okrąg o(A,a).

Otrzymujemy punkt C

przecięcia tego okręgu z

prostą prostopadłą do AB.

Rysujemy okręgi o(C,a)

oraz o(B,a).

Otrzymujemy punkt D

przecięcia tych okręgów,

który jest czwartym

wierzchołkiem kwadratu.

Konstrukcja pięciokąta foremnego

o danym boku a

Opis konstrukcji

Dany jest odcinek AB o długości

a.

Kreślimy okręgi o(A,a) oraz

o(B,a). Otrzymujemy punkt P

oraz symetralną odcinka AB.

Kreślimy okrąg o(P,a).

Otrzymujemy punkty R, S i T

przecięcia odpowiednio z

okręgami o(A,a), o(B,a) oraz z

symetralną odcinka AB.

Kreślimy proste RT i ST.

Otrzymujemy punkty C i E

przecięcia tych prostych z o(A,a)

i o(B,a).

Z punktów C i E zakreślamy łuki

okręgu o promieniu a. Przecinają

się one w punkcie D należącym

do symetralnej odcinka AB.

Łączymy kolejno punkty

A,B,C,D,E.

A

B

P

R

S

T

C

E

D

a

Konstrukcja sześciokąta

foremnego o danym boku a

Opis konstrukcji

Dany jest odcinek o

długości a.

Rysujemy okrąg o
promieniu a.

Wybieramy dowolny punkt
A na okręgu.

Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a

Otrzymujemy punkty B, C,
D, E, F przecięcia tych
łuków z okręgiem.

B

C

D

E

F

A

a

a

a

a

a

a

a

Okrąg wpisany w wielokąt

Jeżeli każdy bok wielokąta jest styczny do

okręgu, to wielokąt jest opisany na

okręgu, a okrąg nazywa się

okręgiem

okręgiem

wpisanym w wielokąt.

wpisanym w wielokąt.

TWIERDZENIE

Wielokąt można opisać na okręgu (okrąg można wpisać w

wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne kątów

wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym

punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu wpisanego w

wielokąt.

Okrąg można wpisać w dowolny

trójkąt.

Okrąg można wpisać w czworokąt

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy

długości przeciwległych boków

czworokąta są równe.

ZOBACZ

ZOBACZ

A

B

C

S

D

r

Okrąg wpisany w trójkąt

Opis konstrukcji

Dany jest trójkąt ABC.

Kreślimy dwusieczną kąta

BAC.

Kreślimy dwusieczną kąta

ABC.

Otrzymujemy punkt

przecięcia S.

Prowadzimy odcinek SD 

AB.

Kreślimy okrąg o środku S i

promieniu r=SD.

Okrąg wpisany w romb

A

D

C

B

S

r

E

Opis konstrukcji

Dany jest romb ABCD.

Kreślimy przekątne AC i

BD.

Otrzymujemy punkt

przecięcia S.

Prowadzimy odcinek SE 

AB.

Kreślimy okrąg o środku S i

promieniu r=SE.

Okrąg opisany na wielokącie

Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki

należą do pewnego okręgu, nazywa się

wielokątem wpisanym w

okrąg , okrąg

zaś-

okręgiem opisanym na

okręgiem opisanym na

wielokącie.

wielokącie.

TWIERDZENIE

Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można opisać na

wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne boków tego

wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest

środkiem okręgu opisanego na wielokącie.

Na dowolnym trójkącie można opisać

okrąg.

Okrąg można opisać na czworokącie

wtedy i tylko wtedy, gdy sumy

przeciwległych kątów czworokąta są

równe (i wynoszą 180°).

ZOBACZ

ZOBACZ

Okrąg opisany na trójkącie

A

B

C

S

R

R

R

Opis konstrukcji

Dany jest trójkąt ABC.

Kreślimy symetralne boków

AB i BC.

Otrzymujemy punkt

przecięcia S.

Otrzymujemy równe odcinki

SA, SB i SC.

Kreślimy okrąg o środku S i

promieniu R

=SA=SB=SC

Okrąg opisany na prostokącie

A

B

C

D

S

r

Opis konstrukcji

Dany jest prostokąt ABCD.

Kreślimy przekątne AC i BD.

Otrzymujemy punkt

przecięcia S.

Z własności prostokąta

SA=SB=SC=SD, czyli S

jest środkiem okręgu

opisanego na ABCD.

Kreślimy okrąg o środku

o(S,r), gdzie r =SA.

Okrąg opisany na trójkącie

Trójkąt ostrokątny

r

r

r

Trójkąt prostokątny

r

r

r

Środek okręgu jest punktem

leżącym wewnątrz trójkąta.

Środkiem okręgu jest środek

przeciwprostokątnej (bo kąt

wpisany w okrąg oparty na

półokręgu jest kątem

prostym)

Okrąg opisany na trójkącie

Trójkąt ostrokątny

r

r

r

Środek okręgu jest punktem

leżącym na zewnątrz trójkąta.

Kwadrat wpisany w dany trójkąt

ostrokątny

M

A

B

C

K

L

N

D

E

F

G

Opis konstrukcji

Dany jest trójkąt

ostrokątny ABC.

Kreślimy kwadrat DEFG

taki, że punkty D, E  AB, G

 AC

Kreślimy półprostą AF.

Otrzymujemy punkt M

przecięcia z bokiem BC,

który jest obrazem F w

jednokładności o środku A i

skali s=AM:AF.

Przez M kreślimy prostą

równoległą do AB.

Otrzymujemy punkt N.

Przez punkty M i N

kreślimy proste

prostopadłe do AB.

Otrzymujemy punkty K i L

przecięcia z AB.