„Żadne drzewo nie rośnie bez

korzeni, podobnie i ludzie

więdną bez rozsądku.”

Tales z Miletu

TWIERDZENIE O PROSTYCH

PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH

PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO

TWIERDZENIA TALESA.

Oba twierdzenia wymienione w temacie tej
lekcji wynikają bezpośrednio z twierdzenia
Talesa. Pierwsze z nich obrazuje trochę inne,
ogólniejsze podejście do twierdzenia Talesa a
drugie,

jak

mówi

sama

nazwa,

jest

twierdzeniem do niego odwrotnym.

TWIERDZENIE O PROSTYCH

PRZECINAJĄCYCH SIĘ

PRZECIĘTYCH PROSTYMI

RÓWNOLEGŁYMI.

Jeżeli dwie proste przecinające się przecięte

są prostymi równoległymi, to odcinki

wyznaczone na jednej prostej są

proporcjonalne do odpowiednich odcinków

na drugiej prostej.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.

Na podstawie twierdzenia o prostych
przecinających się przeciętych prostymi
równoległymi

układamy

proporcje

i

rozwiązujemy ją.

2 ∙ x = 3 ∙ 4
2x = 12 |: 2
x = 6

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednią
proporcję:

15 ∙ x = 60 ∙ 12
15x = 720 | :15
x = 48

TWIERDZENIE ODWROTNE

DO TWIERDZENIA TALESA.

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema

prostymi i odcinki wyznaczone przez te

proste na jednym ramieniu kąta są

proporcjonalne do odpowiednich odcinków

na drugim ramieniu, to proste te są

równoległe.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Czy proste k i l są równoległe?

Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są
proporcjonalne.

A więc proste k i l są
równoległe.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Czy proste k, l i m są równoległe?

Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są
proporcjonalne.

Pierwszy

ułamek

wystarczy

skrócić

przez

2

a

drugi

rozszerzyć przez 2 aby otrzymać
ostatni ułamek, a więc proste k,
l i m są równoległe.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Oblicz x i y jeżeli wiadomo, że x + y = 27.

Należy zbudować odpowiedni układ równań.
Pierwsze równanie już mamy:
x + y = 27.
Drugie równanie otrzymamy z proporcji:

8y = 10x

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Otrzymujemy

układ

równań,

który

rozwiązujemy

metodą

przeciwnych

współczynników.

18y = 270 |: 18
y = 15
x + 15 = 27
x = 27 – 15
x = 12

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Korzystając z twierdzenia odwrotnego do
twierdzenia

Talesa

uzasadnij,

że

dla

dowolnego trójkąta ABC odcinek łączący
środki boków AC i BC jest równoległy do
boku AB. Uzasadnij, że odcinek ten jest dwa
razy krótszy od boku AB.
Zaczniemy

od

wykonania

rysunku

przedstawiającego sytuację z zadania.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Mamy:
|AD| = |DC| = 0,5|AC|,
|BE| = |EC| = 0,5|BC|,
a więc:

- na mocy twierdzenia
odwrotnego do

twierdzenia Talesa odcinki AB i DE są
równoległe.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Udowodniliśmy już, że odcinki DE i AB
są równoległe, możemy więc teraz
skorzystać z twierdzenia Talesa.
|DC| = 0,5|AC|
Z twierdzenia Talesa wynika proporcja:

0,5|AB||AC| = |DE||AC| /: |AC|
0,5|AB| = |DE| - długość odcinka DE jest
równa połowie odcinka AB.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków
dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.
Zaczynamy od rysunku:

Na rysunku zaznaczyliśmy przerywanymi liniami
przekątne czworokąta ABCD. Przyjrzyjmy się
trójkątom ABD i BCD. Spełniają one warunki
poprzedniego zadania a więc możemy skorzystać
z jego wyników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
W oparciu o zadanie 2 stwierdzamy,
że odcinek EF jest równoległy do
odcinka BD i ma długość
0,5|BD|. Analogicznie odcinek
GH jest równoległy do odcinka
BD i ma długość 0,5|BD|. Skoro odcinki EF i
GH są równoległe do tego samego odcinka
(BD) są też równoległe do siebie, mają także
jednakową długość (0,5 |BD|). Powtarzając
rozumowanie dla trójkątów ABC i ACD
udowadniamy, że czworokąt EFGH jest
równoległobokiem.

TWIERDZENIE O ODCINKU

ŁĄCZĄCYM ŚRODKI BOKÓW

TRÓJKĄTA.

Zadanie 2, to tak naprawdę dowód
twierdzenia, które możemy sformułować
następująco:

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

jest równoległy do trzeciego boku, a jego

długość jest równa połowie długości tego

boku.

|DE| = 0,5|AB|

TWIERDZENIE O LINI

ŚRODKOWEJ TRAPEZU.

Dowód tego twierdzenia jest podobny do
dowodu twierdzenia poprzedniego - spróbuj
udowodnić je samodzielnie.

Odcinek łączący środki boków AD i BC

trapezu ABCD

(AB || CD) jest równoległy do podstaw i jego

długość jest równa połowie sumy długości

podstaw.

|EF| = 0,5(|AB| + |CD|)