29.05.21

1

Podstawy geometrii

wykreślnej

Zapis konstrukcji

29.05.21

Zapis konstrukcji

2

Tematyka zajęć

Podstawowe konstrukcje geometryczne:

Podział odcinka na równe części
Wykreślanie i dzielenie kątów
Podział okręgu na równe części
Wieloboki foremne
Proste styczne do okręgów
Okrąg i łuk styczny
Podstawowe krzywe płaskie

Zaawansowane konstrukcje geometryczne

Krzywe płaskie
Krzywe cykliczne

Literatura

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

3

Podział odcinka na równe części

Podział odcinka na 2, 4, 8 ... części
Podział odcinka na dowolną liczbę równych części

29.05.21

Podział odcinka na równe części

4

r

Podział odcinka na 2, 4, 8 ... części

A

E

r

A

E

H

G

F

B

C

D

B

A, B, C, ... – punkt

r – promień łuku, okręgu

AB, CD, ... – odcinek prostej

3:5

np.

Podział odcinka w stosunku 3:5

29.05.21

Podział odcinka na równe części

5

Podział odcinka

na dowolną liczbę części

r

a

r

A

B

E

D

C

F

G

a, b, c, ... – prosta, półprosta, łuk, okrąg, krzywa ...

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

6

Wykreślanie i dzielenie kątów

Kąt prosty - proste prostopadłe
Dwusieczna kąta – wykreślanie kąta 45º
Kąty n

x

30º i wykreślanie kąta 15º

Dwusieczna kąta bez widocznego wierzchołka
Sieczna, przechodząca przez punkt A, w kącie bez
widocznego wierzchołka

29.05.21

Wykreślanie i dzielenie kątów

7

Proste prostopadłe

a

b

r

2

D

B

C

r

1

a

b

D

A

r

1

r

1

r

1

C

A

B

29.05.21

Wykreślanie i dzielenie kątów

8

Dwusieczna kąta – wykreślanie kąta 45º

a

b

r

1

r

r

2

d

c

22,5
°

45°

90°

A

C

B

E

F

D

29.05.21

Wykreślanie i dzielenie kątów

9

Kąty n

x

30º i wykreślanie kąta 15º

c

a

r

1

d

b

15
°

30
°

60
°

C

E

r

1

r

2

A

D

B

e

F

29.05.21

Wykreślanie i dzielenie kątów

10

Dwusieczna kąta bez widocznego

wierzchołka

A

B

C

a

D

c

b

d

29.05.21

Wykreślanie i dzielenie kątów

11

Sieczna, przechodząca przez punkt A, w

kącie bez widocznego wierzchołka

A

a

c

b

k

C

D

B

G

F

E

d

g

f

e

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

12

Podział okręgu na równe części

Podział okręgu na 4 równe części
Podział okręgu na 8 równych części
Podział okręgu na 3 równe części
Podział okręgu na 6 równych części
Podział okręgu na 12 równych części

29.05.21

Podział okręgu na równe części

13

Podział okręgu na 4 równe części

a

b

3

1

2

4

0

29.05.21

Podział okręgu na równe części

14

Podział okręgu na 8 równych części

a

b

3

7

6

8

2

1

4

5

0

29.05.21

Podział okręgu na równe części

15

Podział okręgu na 3 równe części

a

2

3

1

b

r

r

B

C

D

0

A

29.05.21

Podział okręgu na równe części

16

Podział okręgu na 6 równych części

a

b

r

r

2

3

1

A

B

0

4

5

6

29.05.21

Podział okręgu na równe części

17

Podział okręgu na 12 równych części

1
2

8

1
1

a

3

2

1

b

9

6

r

r

r

7

1
0

5

4

B

C

D

A

0

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

18

Wieloboki foremne

5-bok foremny
7-bok foremny
Wielobok foremny – metoda ogólna 1
Wielobok foremny – metoda ogólna 2

29.05.21

Wieloboki foremne

19

Pięciobok foremny

5

2

1

r

1

r

2

B

D

A

0

C

4

3

29.05.21

Wieloboki foremne

20

Siedmiobok foremny

1

5

7

C

A

0

2

B

6

3

4

r

29.05.21

Wieloboki foremne

21

Wielobok foremny (9) – metoda ogólna 1

9

3 2 1

B

E

F

D

A

0

C

1
’

3
’

A1’ =

1/n

x

AC

A3’ =

3/n

x

AC

29.05.21

Wieloboki foremne

22

Wielobok foremny (11) – metoda ogólna 2

r

30
º

1
1

3 2 1

B

H

F

A

G

0

D

E

C

BC = 3r

DG = r

DE =

2/n

x

CD

AF = DE

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

23

Proste styczne do okręgów

Styczna do okręgu w punkcie A
Styczna do okręgu przechodząca przez punkt A
Styczna do dwóch okręgów – 1
Styczna do dwóch okręgów – 2

29.05.21

Proste styczne do okręgów

24

Styczna do okręgu w punkcie A

a

b

0

B

A

29.05.21

Proste styczne do okręgów

25

Styczna do okręgu przechodząca

przez punkt A

b

a

c

d

A

B

O

C

29.05.21

Proste styczne do okręgów

26

Styczna do dwóch okręgów – 1

c

d

b

a

R

1

R

2

R

1

- R

2

C

B

A

0

1

0

2

29.05.21

Proste styczne do okręgów

27

Styczna do dwóch okręgów – 2

a

b

d

c

A

e

R

R+
r

r

0

1

B

C

0

2

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

28

Łuk (okrąg) styczny do ...

... prostej i przechodzący przez punkt A
... dwóch prostych przecinających się

...

prostej w punkcie A i do drugiej prostej

... trzech prostych
... łuku w punkcie A
... okręgu i prostej, zewnętrznie
... okręgu i prostej w punkcie A, wewnętrznie
... okręgu i prostej w punkcie A, zewnętrznie
... okręgu w punkcie A i do prostej
... okręgu w punkcie A i do okręgu
Dwa łuki styczne do dwóch prostych równoległych
i wzajemnie w punkcie A

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

29

Łuk styczny do prostej

i przechodzący przez punkt A

b

d

c

a

r

r

r

e

r =

B

C

A

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

30

Łuk styczny do dwóch prostych

przecinających się

a

c

b

d

r

r

r

C

A

e

r =

B

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

31

Łuk styczny do prostej w punkcie A

i do drugiej prostej

a

d

c

b

r

1

r

2

D

A

C

B

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

32

Łuk styczny do trzech prostych

b

c

a

e

d

r

f

D

C

A

B

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

33

Łuk styczny do łuku w punkcie A

a

c

b

r

r

B

0

A

r =

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

34

Łuk styczny do okręgu i prostej,

zewnętrznie

a

d

b

c

R

e

r

r

R+
r

B

A

C

r =

0

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

35

Łuk styczny do okręgu i prostej w

punkcie A, wewnętrznie

b

a

c

d

D

R

r

R

B

A

C

0

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

36

Łuk styczny do okręgu i prostej w

punkcie A, zewnętrznie

b

c

a

d

r

e

R

r

A

0

1

CA = CD = R

C

B

D

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

37

Łuk styczny do okręgu w punkcie A

i do prostej

a

b

c

d

e

r

R

B

A

C

D

0

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

38

Łuk styczny do okręgu w punkcie A

i do okręgu

a

b

c

R

1

d

R

2

r

B

A

0

2

C

0

1

D

AB = R

2

AC = CD = r

29.05.21

Okręgi i łuki styczne do ...

39

Dwa łuki styczne do dwóch prostych

równoległych i wzajemnie w punkcie A

a

b

d

e

f

g

c

r

2

r

1

A

B

C

0

2

0

1

29.05.21

Podstawowe konstrukcje geometryczne

40

Podstawowe krzywe płaskie

Owal – 1
Owal – 2
Elipsa – 1
Elipsa – 2

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

41

Owal – 1

b

a

d

c

r

e

DF = EB

0

C

B

E

F

0

1

0

2

0

3

0

4

A

D

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

42

R

2

R

1

f

Owal – 2

b

a

C

0

0

2

0

1

e

d

c

F

E

A

B

0

3

0

4

D

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

43

Elipsa – 1

b

a

R

1

R

2

F

E

F

1

E

1

F

2

E

2

B

C

A

0

D

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

44

Elipsa – 2

r

A

0

2

B

0

1

D’

A’

H’

G’

F’

E’

E

F

G

H

D

1

5

4

3

2

1’

5’

4’

3’

2’

B’

29.05.21

Zaawansowane konstrukcje geometryczne

45

Krzywe płaskie

Owal w izometrii prostokątnej
Elipsa o osiach sprzężonych
Łuk z cięciwy i strzałki ugięcia
Parabola z wierzch. w punkcie W, przez punkt A – 1
Parabola z wierzch. w punkcie W, przez punkt A – 2
Parabola styczna do dwu prostych w punktach A i B
Hiperbola równoboczna z asymptotami i punktem A
Spirala Archimedesa o skoku H
Spirala Archimedesa o skoku H – uproszczenie
Ewolwenta

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

46

5

Elipsa o osiach sprzężonych

G

E

F

C

0

B

D

A

H

1
’

2
’

2

1

3
’

5
’

3

4

4
’

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

47

Owal w izometrii prostokątnej

z

x

y

r

1

r

2

F

D

A

0

B

H

G

E

J

C

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

48

Łuk z cięciwy i strzałki ugięcia

H

f

B

A

2’

3’

1’

3

C

2

1

G

F

D

E

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

49

Parabola z wierzch. w punkcie W,

przechodząca przez punkt A – 1

D

B

A

w

C

5
’
4
’
3
’
2
’
1
’

7
’

7

3 2 1

5 4

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

50

Parabola z wierzch. w punkcie W,

przechodząca przez punkt A – 2

A

w

5 4 3 2 1

4
’

2
’
1
’

5
’

3
’

C

B

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

51

Parabola styczna do dwu prostych

w punktach A i B

4

1

2

3

1

2

3

4

a

b

C

B

A

29.05.21

Podstawowe krzywe płaskie

52

Hiperbola równoboczna,

gdy dane są asymptoty i punkt A

d

b

a

C

E

c

B

D

A

29.05.21

Krzywe płaskie

53

Spirala Archimedesa o skoku H

0

1’

2’

5’

6’

7’

8’

9’

10
’

11
’

12
’

3 6

12

9

3’

4’

h

29.05.21

Krzywe płaskie

54

Spirala Archimedesa o skoku H

(wersja uproszczona)

A

1

F

E

D

A

B

C

A

1

H

r

F

f

e

d

c

b

a

h

B

1

C

1

D

1

r

C

r

D

r

E

E

1

F

1

29.05.21

Krzywe płaskie

55

Ewolwenta

a

6

4

1
2

2

1
0

8

6
’

4
’

2
’

10
’

12
’

8
’

12
”

10
”

8
”

6
”

4
”

2
”

b

O

A

29.05.21

Zaawansowane konstrukcje geometryczne

56

Krzywe cykliczne

Sinusoida
Cykloida
Krzywe cykliczne – pochodne cykloidy
Epicykloida

Hipocykloida

Trochoida
inne warianty trochoidy
Linia śrubowa

29.05.21

Krzywe cykliczne

57

Sinusoida

5

6

7

1

2

3

4

A

0°

90
°

180
°

270
°

360
°

1’

3’

6’ 7’

2’

12’

10’

8’

4’

11’

9’

5’

9

10

8

1
1

29.05.21

Krzywe cykliczne

58

Cykloida

7

b

a

1’

7
’

5
’

6
’

4
’

3
’

2
’

8
’

9
’

10’

11
’

12
’

6

5

4

3

2

1

8

9

10

11

12

0

3

0

1

0

2

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

0

1

0

0

1

1

0

1

2

A

29.05.21

Zapis konstrukcji

59

Krzywe cykliczne – pochodne cykloidy

a

b

a

b

Elementy wyjściowe:
a – element odtaczany
b – bieżnia
A – punkt rysujący
krzywą

epicykloida

hipocykloida

A

A

29.05.21

Krzywe cykliczne

60

Epicykloida

0

1

b

a

1
’

2’

7’

5’

6’

4’

3
’

8
’

0

11

0

12

0

1

0

0

9

0

8

0

7

0

6

0

5

0

4

0

3

0

2

0

0

7

6

8

9

1
0

5

4

3

2

1

9’

10
’

11
’

12’

A

11

1
2

29.05.21

Krzywe cykliczne

61

Hipocykloida

7

0

1

0

a

b

0

2

1
’

7’

5’

6’

4’

3
’

2’

8
’

9’

10
’

11
’

12’

0

9

0

8

0

7

0

6

0

5

0

4

0

3

0

1

0

11

0

12

6

5

4

3

2

1

8

9

1
0

11

1
2

0

0

A

29.05.21

Krzywe cykliczne

62

Trochoida

b

1
’

7
’

5
’

6
’

4
’

3
’

2
’

8
’

9
’

10’ 11

’

12
’

0

1

0

0

2

0

9

0

8

0

7

0

6

0

5

0

4

0

3

0

1

0

1

1

0

1

2

7

6

5

1
1

1
2

8

9

10

1

0

0

4

2

3

A

a

29.05.21

Zapis konstrukcji

63

inne warianty trochoidy

a

b

a

b

Elementy wyjściowe:
a – element odtaczany
b – bieżnia
A – punkt rysujący
krzywą

A

A

29.05.21

Zaawansowane konstrukcje geometryczne

64

Linia śrubowa ...

... na walcu

... na stożku

29.05.21

Linia śrubowa

65

... na walcu

29.05.21

Linia śrubowa

66

... na stożku

7

1
’

7
’

5
’

6
’ 4

’

3
’

2
’

8
’

9
’

10
’

11
’

12
’

6

5

4

3

2

1

8

9

10

1
1

1
2

1
’

5
’

3
’

7
’

6
’ 4

’2

’

29.05.21

Zapis konstrukcji

67

Literatura

T. Dobrza

T. Dobrza

ńs

ńs

ki,

ki,

„Rysunek techniczny maszynowy”

„Rysunek techniczny maszynowy”

,

,

WNT 2005

WNT 2005

E. F. Otto,

E. F. Otto,

„Podr

„Podr

ę

ę

cznik geometrii wykre

cznik geometrii wykre

ś

ś

lnej”

lnej”

, PWN 1975

, PWN 1975

J. Waligórski,

J. Waligórski,

„Geometria wykre

„Geometria wykre

ś

ś

lna dla in

lna dla in

ż

ż

ynierów i

ynierów i

techników”,

techników”,

WSiP 1967

WSiP 1967

T. Buksi

T. Buksi

ń

ń

ski A. Szpecht,

ski A. Szpecht,

„Rysunek techniczny”

„Rysunek techniczny”

, WSiP 1961

, WSiP 1961

J. Rogowski, „Podstawowe konstrukcje geometryczne w
rzutach Monge’a”, PWN 1993
L. Giełdowski, „Rzutowanie prostokątne, widoki. Ćwiczenia
i zadania rysunkowe z rozwiązaniami” WSiP 1998
T. Rachwał, „Ćwiczenia z geometrii wykreślnej” t.1, WSiP
1987