ANALIZA WARIANCJI

ANOVA

(

AN

alysis

O

f

VA

riance)

Za pomocą analizy wariancji możemy porównywać

średnie

więcej

niż dwóch grup. Porównując te średnie korzystamy z dwóch źródeł
zróżnicowania wyników: wariancji między grupami i wariancji
wewnątrz grup. W analizie wariancji porównujemy te dwie wartości
za pomocą statystyki F-Fishera.

Stosunek wariancji międzygrupowej do wariancji wewnątrzgrupowej

mówi nam o tym czy zmienność w grupach jest mniejsza niż zmienność

między grupami.

Wyniki w obrębie każdej grupy
jednorodne (mała wariancja
wewnątrzgrupowa)

Zróżnicowane wyniki pomiędzy
grupami (duża wariancja
międzygrupowa)

Porównajmy długości ogonów trzech ras kotów

10 kotów perskich:

10, 11, 12, 11, 10, 9, 12, 11, 10, 11;

10 syjamów:

14, 15, 16, 15, 13, 15, 13, 14, 15, 15;

10 norweskich leśnych:

17, 18, 18, 19, 17, 16, 18, 16,

17, 18;

Wprowadzamy dane do edytora

Zmienne w kolumnach, przypadki w
wierszach

Analizę wariancji znajdujemy
w grupie „porównywanie
średnich”

Zmienną zależną jest długość ogona
(skala ilościowa)

Jako czynnik wrzucamy rasę
(zmienna kategorialna na co
najmniej 3 poziomach).

Ponieważ sam wynik testu
F nie mówi o tym, które
konkretnie grupy się
między sobą różnią,
dodatkowo wybieramy testy
„post hoc”

Który post hoc jest najlepszy?

W wyborze testu
post hoc mamy
dużą swobodę
działania (ich
dobór jest bardzo
indywidualny).
Najczęściej
stosowane testy są
zaznaczone,

NIR jest testem,
który może pokazać
również różnice
przypadkowe (nie
polecam). NIR i
Duncan to testy
najbardziej liberalne
– uznają za istotne
nawet małe różnice.
Najbardziej
konserwatywny jest
test Scheffe –
wykazuje tylko
największe różnice
między średnimi.

Bardzo dobrze jest również sprawdzić równość

wariancji w porównywanych grupach (jedno z

założeń testu ANOVA)

Aby to zrobić klikamy
przycisk „opcje” i
następnie zaznaczamy
jednorodność wariancji.

Dodatkowo możemy
poprosić program o
wykres średnich

Test Levene’a okazał się
nieistotny (p=0,978), czyli
nie możemy odrzucić
hipotezy zerowej o równości
wariancji w porównywanych
grupach. Wariancje są równe.

Test F jest również bardzo
istotny:

F(2,27)=121,93; p<0,001 –
wobec tego odrzucamy
hipotezę zerową.
Przynajmniej dwie średnie
w porównywanych grupach
są istotnie różne od siebie

Pytanie
tylko
które??

Odpowie na nie analiza
testów post hoc. W tabeli
mamy wartości średnie dla
każdej z porównywanych
grup (średnia długość ogona
każdej rasy). Te grupy,
których średnie znajdują się
w tej samej kolumnie tabeli
nie różnią się między sobą
istotnie.

Różnią się natomiast

grupy, których średnie
znajdują się w oddzielnych
kolumnach

. W naszym

przykładzie występują
różnice pomiędzy wszystkimi
trzema grupami (każdy wynik
znajduje się w osobnej
kolumnie).

Analiza post hoców

Istotność a wielkość efektu (eta-kwadrat)

Eta

2

=F*df

m/g

/(F*df

m/g

+df

w/g

)

Nasz wynik:

F(2,27)=121,9; p<0,001

Eta

2

=121,9*2/(121,9*2+27) = 243,8/243,8+27

= 243,8/270,8= 0,9

Interpretacja podobnie jak R

2

Równie dobrym sposobem jest

analiza wykresu

średnich

.

Program domyślnie pokazuje wykres liniowy, który bardzo
prosto (wybierając z menu Galeria) możemy zamienić na
słupkowy

Jeśli wynika to z teorii możemy porównywać grupy za pomocą tzw.

porównań planowanych. Ich stosowanie jest uzasadnione nawet

wtedy, gdy wyniki analizy wariancji są nieistotne. W SPSS

znajdziemy je w klawiszu KONTRASTY

Aby dokonać porównań
pewnych grup między sobą
wprowadzamy
współczynniki kontrastu (o
przeciwnych znakach). Zero
oznacza, że wykluczamy
jakąś grupę z analizy.

Wszystkie współczynniki
kontrastu muszą się
sumować do zera.
Wprowadzamy je kolejno,
po jednej cyfrze i
przenosimy do okna za
pomocą przycisku DODAJ

.

W naszym przykładzie

porównywaliśmy ze

sobą koty perskie i

norweskie leśne. Test

kontrastu okazał się

istotny, wobec czego

możemy wnioskować

o tym, że grupy te

różnią się od siebie.

• Jeżeli chcemy porównywać połączone grupy

muszą mieć one takie same znaki
współczynników

• Grupy które mają być skontrastowane mają

przeciwne znaki współczynników

• Przykłady kontrastów z połączonymi grupami:

2, 2, 2, 0, 0, -3, -3

1, 1, 0, 0, 0, 0, -2

Jeżeli te same grupy chcemy porównywać
za pomocą kontrastów wielokrotnie,
kontrasty powinny być ORTOGONALNE,
czyli nieskorelowane i niezależne od siebie

Jak to sprawdzić?

Dla rozrywki sprawdźmy:
(2, 2, 2, 0, 0, -3, -3) z (-2, 1, 1, 0, 0, 0,
0)

Jeżeli suma iloczynów odpowiadających sobie

współczynników kontrastów wynosi 0, oznacza
to, że są one ortogonalne

W badaniu z k grupami istnieje k-1 porównań

ortogonalnych – czyli jeśli mamy 3 grupy, to
możemy mieć tylko dwa kontrasty ortogonalne.

gr1 gr2 gr3

1 0 -1

1 -2 1`

• Szczególną odmianą kontrastów są

wielomiany - pozwalają one na sprawdzenie
czy układ średnich odpowiada kolejnej
funkcji - liniowej, kwadratowej, sześciennej
itd.

• W istocie są to określone współczynniki

kontrastów automatycznie przypisywane do
kolejnych poziomów zmiennej niezależnej

• Ważne, wielomiany mają sens wtedy kiedy

kolejne kategorie mają ze sobą jakiś
związek (np. mało, średnio, dużo; a nie:
blond, czarny, rudy))

Analiza wariancji - tabelka

SS

(suma

kwadratów)

df

(stopnie

swobody)

MS

(średni

kwadrat=waria

ncja)

F =

MS

MG

/MS

WG

MG

(między-

grupowa

)

SS

MG

k-1

 
k – liczba

grup

SS

MG

/ df

MG

WG

(wewnąt

rz-

grupowa

)

SS

WG

N-k

 
N – liczba

osób

SS

WG

/ df

WG

Ogółe
m

SS

MG

+

SS

WG

N-1

lub

df

MG

+

df

WG

Ile grup
porównujemy

dwi
e

więcej niż
dwie

Na jakiej skali zmienna
zależna?

nominalna

porządkow
a

ilościowa

Chi-
Kwadrat

U-Manna-
Whitneya

T-
Studenta

Chi-
Kwadrat

Jaki test wybrać, kiedy sprawdzamy istnienie

różnic między grupami (próby

niezależne)?

Spełnione
założenia

tak

nie

nominalna

porządkow
a

ilościow
a

H
-Kruskala-
Wallisa

Spełnione
założenia

nie

tak

F-
Fishera
(analiza
wariancji
)