WYKŁAD

WYKŁAD

SFORMUŁOWANIE

SFORMUŁOWANIE

WARIACYJNE-

WARIACYJNE-

Przybliżone metody

Przybliżone metody

rozwiązywania

rozwiązywania

WYKŁAD

WYKŁAD



Sformułowanie wariacyjne

Sformułowanie wariacyjne

zastosowane do

zastosowane do

układów kontynualnych, mających nieskończenie

układów kontynualnych, mających nieskończenie

wiele stopni swobody, umożliwia wyznaczenie

wiele stopni swobody, umożliwia wyznaczenie

rzeczywistych pól wielkości fizycznych, opisujących

rzeczywistych pól wielkości fizycznych, opisujących

zachowanie się tych układów.

zachowanie się tych układów.



Rzeczywiste pola uzyskuje się z warunku

Rzeczywiste pola uzyskuje się z warunku

stacjonarności funkcjonałów, co oznacza zerowanie

stacjonarności funkcjonałów, co oznacza zerowanie

się ich pierwszej wariacji.

się ich pierwszej wariacji.



Prowadzi to do równań różniczkowych Eulera, które

Prowadzi to do równań różniczkowych Eulera, które

należy rozwiązać.

należy rozwiązać.



Wykonalność takiego zadania ogranicza się do

Wykonalność takiego zadania ogranicza się do

klasy stosunkowo prostych funkcjonałów, raczej o

klasy stosunkowo prostych funkcjonałów, raczej o

teoretycznym niż praktycznym znaczeniu.

teoretycznym niż praktycznym znaczeniu.

WYKŁAD

WYKŁAD



Dlatego poszukuje się rozwiązań przybliżonych

Dlatego poszukuje się rozwiązań przybliżonych

przez zakładanie niezależnych wielkości funkcyjnych

przez zakładanie niezależnych wielkości funkcyjnych

w postaci skończonego zbioru znanych funkcji,

w postaci skończonego zbioru znanych funkcji,

spełniających pewne warunki i zawierających

spełniających pewne warunki i zawierających

skończoną liczbę parametrów, traktowanych jako

skończoną liczbę parametrów, traktowanych jako

niewiadome.

niewiadome.



W ten sposób

W ten sposób

funkcjonały przekształcają się w

funkcjonały przekształcają się w

funkcje wielu zmiennych

funkcje wielu zmiennych

, a układy ciągłe zostają

, a układy ciągłe zostają

zdyskretyzowane.

zdyskretyzowane.



Warunkiem stacjonarności nie jest teraz zanikanie

Warunkiem stacjonarności nie jest teraz zanikanie

pierwszej wariacji, ale różniczki zupełnej, obliczonej

pierwszej wariacji, ale różniczki zupełnej, obliczonej

względem wprowadzonych parametrów.

względem wprowadzonych parametrów.

WYKŁAD

WYKŁAD



W rezultacie otrzymuje się nie równania

W rezultacie otrzymuje się nie równania

różniczkowe Eulera, ale układ równań

różniczkowe Eulera, ale układ równań

algebraicznych, których rozwiązanie jest

algebraicznych, których rozwiązanie jest

stosunkowo proste.

stosunkowo proste.



Takie metody postępowania nazywają się

Takie metody postępowania nazywają się

bezpośrednimi, ponieważ wyniki uzyskuje

bezpośrednimi, ponieważ wyniki uzyskuje

się przez bezpośrednie wykorzystanie

się przez bezpośrednie wykorzystanie

funkcjonałów.

funkcjonałów.

WYKŁAD

WYKŁAD



Metody te można podzielić na:

Metody te można podzielić na:



analityczne –

analityczne –

Ritza, Treftza, Kantorowicza

Ritza, Treftza, Kantorowicza



numeryczne –

numeryczne –

WMRS, MES

WMRS, MES



Przemieszczeniowy model MES

Przemieszczeniowy model MES

Podstawą otrzymania modelu przemieszczeniowe-

Podstawą otrzymania modelu przemieszczeniowe-

go jest funkcjonał całkowitej energii potencjalnej

go jest funkcjonał całkowitej energii potencjalnej

w odniesieniu do elementu:

w odniesieniu do elementu:

WYKŁAD

WYKŁAD

.

.

dS

dV

I

S

T

S

V

T

B

T

u

f

u

f

u

D

u

u























)

(

)

(

2

1

)

(

)

,

,

(

z

y

x

















WYKŁAD

WYKŁAD

Jedyną zmienną niezależną od której zależy

Jedyną zmienną niezależną od której zależy

przedstawiony funkcjonał jest pole

przedstawiony funkcjonał jest pole

przemieszczeń.

przemieszczeń.

Zakłada się opis tego pola, zgodnie z

Zakłada się opis tego pola, zgodnie z

algorytmem MES w postaci:

algorytmem MES w postaci:



N

u



-macierz jednokolumnowa, zawierająca
wartości przemieszczeń węzłowych elementu

WYKŁAD

WYKŁAD



Macierz N zawiera funkcje aproksymacyjne

Macierz N zawiera funkcje aproksymacyjne

odpowiadające poszczególnym

odpowiadające poszczególnym

parametrom węzłowym (składowym

parametrom węzłowym (składowym

wektora

wektora



)

Są to tzw. funkcje kształtu .

Występujący w funkcjonale symbol nabla



można teraz przedstawić:







B

N

N

u













)

(

gdzie B – macierz odkształceń

WYKŁAD

WYKŁAD



Podstawiając przyjęty opis pola u i

Podstawiając przyjęty opis pola u i

uwzględniając

uwzględniając



B

u 



Funkcjonał całkowitej

energii potencjalnej ma postać:

δ

Q

δ

k

δ

T

T

u

I





2

1

)

(

gdzie:

dV

T

V

B

D

B

k





nazywa się macierzą sztywności
elementu

WYKŁAD

WYKŁAD

.

.

dS

dV

T

S

S

T

V

B

N

f

N

f

Q









siły skupione w węzłach od
obciążenia masowego i
powierzchniowego

Parametry węzłowe



należy wyznaczyć z

warunku stacjonarności funkcjonału całkowitej
energii potencjalnej, który w tym przypadku jest
warunkiem ekstremum (minimum):

0

)

(











T

T

u

I

Q

k

δ

δ

WYKŁAD

WYKŁAD

Stąd:

Stąd:

Q

δ

k 

Jest to macierzowe równanie równowagi dla
elementu skończonego, będące układem równań
algebraicznych względem

i



, stanowiące opis

modelu przemieszczeniowego.

WYKŁAD

WYKŁAD

Przykładowo: ELEMENT BELKOWY

Przykładowo: ELEMENT BELKOWY

Wyrażenie na energię deformacji sprężystej:

dx

dx

x

w

d

EJ

l

e

d

2

0

2

2

)

(

2

1



















WYKŁAD

WYKŁAD

Zakładamy:

Zatem:

przy założeniu EJ=const.





4

4

3

3

2

2

1

1

2

2

1

1

4

3

2

1

)

(













N

N

N

N

w

w

N

N

N

N

x

w

e



































 δ

N

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l

e

d

2

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2





























WYKŁAD

WYKŁAD

Warunek konieczny istnienia ekstremum:

Warunek konieczny istnienia ekstremum:

1

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

w

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l































dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d























4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2











2

1

w

e

d

0

)

(



















δ

δ

L

d

C

2

1

2

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

dx

N

d

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l





























WYKŁAD

WYKŁAD

Podobnie:

Podobnie:









1



e

d

2

2

2

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

dx

N

d

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l



































2

w

e

d

2

3

2

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

dx

N

d

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l



































2



e

d

2

4

2

0

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

dx

N

d

dx

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

w

dx

N

d

EJ

l



























WYKŁAD

WYKŁAD



Otrzymujemy zatem:

Otrzymujemy zatem:





































































2

2

1

1

0

2

,

4

,

3

,

4

2

,

3

,

2

,

4

,

2

,

3

2

,

2

,

1

,

4

,

1

,

3

,

1

,

2

2

,

1





w

w

N

sym

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

EJ

l

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

e

e

δ

k 



2

2

,

dx

N

d

xx

N



gdzie:

WYKŁAD

WYKŁAD



A więc jawna postać elementu macierzy

A więc jawna postać elementu macierzy

sztywności

sztywności

dx

N

N

EJ

k

xx

j

l

xx

i

ij

,

0

,







Funkcje kształtu elementu belkowego:

3

2

4

3

3

3

2

2

3

1

8

8

8

8

4

1

4

3

2

1

8

8

8

8

4

1

4

3

2

1





















e

e

e

e

e

e

e

e

l

l

l

l

N

N

l

l

l

l

N

N































WYKŁAD

WYKŁAD



Podstawiając funkcje kształtu do wyrażenia

Podstawiając funkcje kształtu do wyrażenia

opisującego macierz sztywności elementu i

opisującego macierz sztywności elementu i

dokonując zaznaczonych całkowań

dokonując zaznaczonych całkowań

otrzymuje się:

otrzymuje się:

























































e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

l

sym

l

l

l

l

l

l

l

l

l

EJ

4

6

12

2

6

4

6

12

6

12

2

3

2

2

3

2

3

k

Jest to znana postać macierzy sztywności elementu
belkowego.

WYKŁAD

WYKŁAD



Wariacyjne sformułowanie problemu

Wariacyjne sformułowanie problemu

brzegowego na przykładzie danego

brzegowego na przykładzie danego

równania różniczkowego

równania różniczkowego

0

)

(

)

(

,

)

(

2

2











b

u

a

u

a

x

b

x

f

dx

u

d

gdzie f(x) jest funkcją daną

WYKŁAD

WYKŁAD



Równanie to może reprezentować problem

Równanie to może reprezentować problem

statyki struny obciążonej obciążeniem f(x).

statyki struny obciążonej obciążeniem f(x).

Rozwiązaniem tego problemu brzegowego

Rozwiązaniem tego problemu brzegowego

jest funkcja, która spełnia warunki:

jest funkcja, która spełnia warunki:

1) u(x) ma ciągłe pochodne do drugiej

1) u(x) ma ciągłe pochodne do drugiej

włącznie w przedziale [a,b]

włącznie w przedziale [a,b]

2) u(a)=u(b)=0

2) u(a)=u(b)=0

)

(

2

2

x

f

dx

u

d



3)

dla każdego

]

,

[ b

a

x

WYKŁAD

WYKŁAD



Kryteria 1) i 2) definiują klasę funkcji,

Kryteria 1) i 2) definiują klasę funkcji,

nazywaną

nazywaną

]

,

[

2

0

b

a

C

co można zapisać:





0

)

(

)

(

]

,

[

|

)

(

]

,

[

2

0







b

u

a

u

i

b

a

x

u

b

a

C



ma ciągłe II-gie pochodne

Tę klasę funkcji nazywa się

przestrzenią rozwiązania

dla danego problemu brzegowego.

WYKŁAD

WYKŁAD



Kryterium 3) jest dużo trudniejsze do

spełnienia niż kryteria 1) i 2). Przyczyna

tkwi w tym, że w przedziale [a,b] jest

nieskończona liczba punktów x , więc

spełnienie równości 3) jest bardzo

mocnym

warunkiem nałożonym na funkcję u(x).



Stąd też sformułowanie w tej postaci

nazywane jest

sformułowaniem mocnym

(lub też lokalnym).

WYKŁAD

WYKŁAD



Jest wiele funkcji, które spełniają obydwa

Jest wiele funkcji, które spełniają obydwa

kryteria 1) i 2), ale

kryteria 1) i 2), ale

jest tylko jedna

jest tylko jedna

funkcja u(x),

funkcja u(x),

która spełnia wszystkie

która spełnia wszystkie

trzy kryteria.

trzy kryteria.



Funkcję tę nazywa się

Funkcję tę nazywa się

mocnym

mocnym

rozwiązaniem

rozwiązaniem

problemu brzegowego.

problemu brzegowego.

WYKŁAD

WYKŁAD



Rozważmy przedstawiony problem

Rozważmy przedstawiony problem

brzegowy jako problem reprezentujący

brzegowy jako problem reprezentujący

przemieszczenia struny poddanej

przemieszczenia struny poddanej

obciążeniu f(x), które jest przyłożone

obciążeniu f(x), które jest przyłożone

punktowo w postaci siły skupionej.

punktowo w postaci siły skupionej.

Widoczne jest, że ugięcie u(x) struny nie ma żadnej
ciągłej pochodnej.

WYKŁAD

WYKŁAD



Tak więc nie ma

Tak więc nie ma

mocnego rozwiązania

mocnego rozwiązania

tego problemu w świetle kryteriów 1), 2),

tego problemu w świetle kryteriów 1), 2),

3).

3).



Aby „obejść” ten problem można poszukać

Aby „obejść” ten problem można poszukać

alternatywnego sposobu rozwiązania.

alternatywnego sposobu rozwiązania.

Wprowadźmy definicję

funkcji residuum

r(x,u):

0

)

(

)

,

(

2

2







x

f

dx

u

d

x

u

r

dla każdego

]

,

[ b

a

x

WYKŁAD

WYKŁAD



Dla każdego branego pod uwagę

Dla każdego branego pod uwagę

rozwiązania u(x),

rozwiązania u(x),

jeżeli r(x,u) jest równe

jeżeli r(x,u) jest równe

zeru, to u(x) jest wtedy mocnym

zeru, to u(x) jest wtedy mocnym

rozwiązaniem.

rozwiązaniem.



Weźmy pod uwagę całkę z funkcji

Weźmy pod uwagę całkę z funkcji

residuum względem funkcji wagowej

residuum względem funkcji wagowej

(zwykle nazywanej funkcją testową):

(zwykle nazywanej funkcją testową):







b

a

x

v

x

u

r

0

)

(

)

,

(

WYKŁAD

WYKŁAD



Funkcja residuum ma fizykalną

Funkcja residuum ma fizykalną

interpretację

interpretację

błędu w rozwiązywaniu

błędu w rozwiązywaniu

równania różniczkowego.

równania różniczkowego.

Jeżeli u(x) jest

dokładnym rozwiązaniem równania
różniczkowego to r(x,u) jest równe zeru.



Jeżeli oznaczymy przez

)

(

ˆ x

u

aproksymację

rozwiązania dokładnego to residuum

)

ˆ

,

( u

x

r

nie będzie równe zeru.

WYKŁAD

WYKŁAD



Forma

Forma







b

a

x

v

x

u

r

0

)

(

)

,

(

znana jako

forma słaba

jest wyrażona jako forma całkowa równania
różniczkowego, jako iloczyn skalarny r(u,x) i v(x).

• Całka z r(u,x) i v(x) jest nazywana

ważonym

residuum.

Należy zauważyć, że jakikolwiek problem, który
dopuszcza mocne rozwiązanie dopuszcza także
identyczne rozwiązanie słabe.

WYKŁAD

WYKŁAD



Do rozważanego problemu brzegowego

Do rozważanego problemu brzegowego

struny

struny

definiujemy

definiujemy

słabe rozwiązanie

słabe rozwiązanie

przez

przez

zastąpienie kryterium 3) przez następujący

zastąpienie kryterium 3) przez następujący

warunek:

warunek:

0

)

(

)

(

2

2



















dx

x

v

x

f

dx

u

d

b

a

dla dowolnej ciągłej v(x), takiej że
v(a)=v(b)=0

Funkcja v(x) nazywana jest funkcją testową i należy
do przestrzeni funkcji testowych, czyli klasy funkcji
ciągłych, które są zerowe na końcach a i b.

WYKŁAD

WYKŁAD



Jeżeli do rozważanego problemu struny

Jeżeli do rozważanego problemu struny

zastosujemy obciążenie o wielkości F w

zastosujemy obciążenie o wielkości F w

punkcie

punkcie

x=c (a<c<b) możemy rozważyć, że

x=c (a<c<b) możemy rozważyć, że

pochodne funkcji u(x) spełniają

pochodne funkcji u(x) spełniają

następującą definicję:

następującą definicję:

stalymi

sa

c

i

c

gdzie

c

b

c

u

b

u

c

dx

du

i

dx

u

d

b

x

c

dla

a

c

a

u

c

u

c

dx

du

i

dx

u

d

c

x

a

dla

2

1

2

2

2

1

2

2

)

(

)

(

0

)

(

)

(

0





























WYKŁAD

WYKŁAD



W punkcie x=c jest „skok” pierwszej

W punkcie x=c jest „skok” pierwszej

pochodnej funkcji u(x), który jest równy

pochodnej funkcji u(x), który jest równy

wielkości (c2-c1).

wielkości (c2-c1).



Prowadzi to do ważnego wniosku, że

Prowadzi to do ważnego wniosku, że

2

2

dx

u

d

zachowuje się jak funkcja delta Diraca

)

(

c

x



c

x

dla

c

x

c

x

dla

c

x















0

)

(

)

(





WYKŁAD

WYKŁAD



Tak więc

Tak więc

)

(

c

x



jest symbolicznym zapisem

jednostkowego obciążenia działającego w punkcie
x=c.

Sformułowanie mocne rozważanego problemu
Brzegowego możemy zatem symbolicznie zapisać:

0

)

(

)

(

)

(

2

2









b

u

a

u

i

c

x

F

dx

u

d



Delta Diraca jest pomnożona przez F, gdyż obciąże-
nie ma wartość F, a nie wartość jednostkową.

WYKŁAD

WYKŁAD



Odpowiednio też możemy sformułować

Odpowiednio też możemy sformułować

symbolicznie słabą formę rozważanego

symbolicznie słabą formę rozważanego

problemu brzegowego:

problemu brzegowego:

















b

a

b

a

x

v

ej

dowo

dla

c

v

F

dx

x

v

c

x

F

dx

x

v

dx

u

d

)

(

ln

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2



Można zauważyć, że jeżeli v(x) jest interpretowana
( w analogii do u(x)) jako przemieszczenie to całka
przedstawia jednostkową pracę i Fv(c) jest pracą
wykonaną przez siłę działającą na tzw. wirtualnym
przemieszczeniu v(x).

WYKŁAD

WYKŁAD



Tak więc

Tak więc

zasada prac wirtualnych

zasada prac wirtualnych

jest

jest

przykładem

przykładem

sformułowania słabego.

sformułowania słabego.



Problemem jaki pojawia się przy

Problemem jaki pojawia się przy

przedstawionym sformułowaniu słabym

przedstawionym sformułowaniu słabym

rozważanego problemu jest to, że

rozważanego problemu jest to, że

wymagana jest druga pochodna u(x) w

wymagana jest druga pochodna u(x) w

funkcji podcałkowej i tylko prosta ciągłość

funkcji podcałkowej i tylko prosta ciągłość

funkcji testowej v(x).

funkcji testowej v(x).

WYKŁAD

WYKŁAD



Trudność tę można przezwyciężyć

Trudność tę można przezwyciężyć

redukując rząd pochodnej funkcji u(x),

redukując rząd pochodnej funkcji u(x),

zarazem zwiększając rząd pochodnej

zarazem zwiększając rząd pochodnej

funkcji testowej v(x).

funkcji testowej v(x).



Wykorzystać można w tym celu całkowanie

Wykorzystać można w tym celu całkowanie

przez części

przez części

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f



















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

WYKŁAD

WYKŁAD

.

.













































b

a

x

g

x

f

b

a

x

g

x

f

b

a

b

a

b

a

x

g

x

f

b

a

x

f

x

v

dx

dx

dv

dx

du

dx

du

x

v

x

f

x

v

dx

dx

u

d

x

v

x

v

x

u

r

)

(

)

(

|

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

(

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

 

 



 

 



WYKŁAD

WYKŁAD



Ale v(a)=v(b)=0 występuje jawnie w

Ale v(a)=v(b)=0 występuje jawnie w

definicji przestrzeni funkcji testowych więc

definicji przestrzeni funkcji testowych więc

0

|

)

(

)

(

)

(







 

 



x

g

x

f

b

a

dx

du

x

v

I otrzymujemy prostszy zapis formy słabej:

0

)

(

)

(



























dx

fv

dx

dv

dx

du

dx

x

v

x

f

dx

dx

dv

dx

du

b

a

b

a

b

a

WYKŁAD

WYKŁAD



Zauważyć można, że zostały przez to

Zauważyć można, że zostały przez to

osłabione wymogi nałożone na rozwiązanie

osłabione wymogi nałożone na rozwiązanie

u(x) :

u(x) :

z drugiej ciągłej pochodnej (warunek mocny)

z drugiej ciągłej pochodnej (warunek mocny)

na całkowalność dwóch pierwszych

na całkowalność dwóch pierwszych

pochodnych (słaby warunek).

pochodnych (słaby warunek).



Równanie formy słabej można zapisać w

Równanie formy słabej można zapisać w

postaci:

postaci:

0

)

(

)

,

(

)

(

)

(













v

l

v

u

B

dx

x

v

x

f

dx

dx

dv

dx

du

b

a

b

a

gdzie B(u,v) i l(v) – odp. składnik biliniowy i liniowy

WYKŁAD

WYKŁAD



Ilekroć funkcjonał B(u,v) jest symetryczny,

Ilekroć funkcjonał B(u,v) jest symetryczny,

B(u,v)=B(v,u),

B(u,v)=B(v,u),

funkcjonał kwadratowy

funkcjonał kwadratowy

stowarzyszony z formą słabą

stowarzyszony z formą słabą

(wariacyjną)

(wariacyjną)

otrzymuje się z zależnosci:

otrzymuje się z zależnosci:

)

(

)

,

(

2

1

)

(

u

l

u

u

B

u

I





Tak więc otrzymuje się:



 



 









ZEWN

SIL

PRACA

b

a

SPR

DEF

EN

b

a

dx

x

u

x

f

dx

dx

du

u























)

(

)

(

2

1

)

(

2

.

.

WYKŁAD

WYKŁAD

Rozwiązaniem tego problemu

Rozwiązaniem tego problemu

brzegowego opisanego przez

brzegowego opisanego przez

funkcjonał

funkcjonał

)

(u



jest

funkcja

u(x), która minimalizuje ten funkcjonał

i

i podlega ograniczeniom u(a)=u(b)=0

Kroki sformułowania wariacyjnego (słabego):

•Pomnożenie równania różniczkowego przez funkcję
testową v(x) i scałkowanie w granicach danego
obszaru

WYKŁAD

WYKŁAD



Całkowanie przez części w celu osłabienia wymogów

Całkowanie przez części w celu osłabienia wymogów

nałożonych na rozwiązanie u(x)

nałożonych na rozwiązanie u(x)



Jeżeli część biliniowa formy słabej jest symetryczna,

Jeżeli część biliniowa formy słabej jest symetryczna,

możemy zdefiniować

możemy zdefiniować

funkcjonał, znany jako całkowita energia

funkcjonał, znany jako całkowita energia

potencjalna

potencjalna

Rozwiązanie definiujemy jako problem

Rozwiązanie definiujemy jako problem

minimaliza-

minimaliza-

cji funkcjonału.

cji funkcjonału.