Elementy kombinatoryki. Wariacje

Wariacje bez powtórzeń

Interesuje nas losowanie, w którym elementy losujemy bez zwracania (bez powtórzeń) i kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Liczbę wszystkich r elementowych wariacji wylosowanych ze zbioru n elementowego obliczamy wg wzoru:

!

n

nP r = (

n − r)!

przy czym 0 ≤ r ≤ .

n

W przypadku, gdy r = n , wyciągamy wszystkie elementy i ustawiamy je w ciąg. Liczbę takich ciągów obliczymy wg wzoru:

!

n

nP n = (

=

n − )

!

n

n !

Przykład 1. Ile trójek klasowych (przewodniczący, zastępca i skarbnik) można utworzyć w klasie liczącej 30 uczniów?

Mamy tutaj n = 3 ,

0 r = 3 , zatem

przy czym rachunki wykonaliśmy na ClassPadzie 300.

Przykład 2. Jacek nagrał 5 utworów swojego zespołu „BumBumBum” i pragnie je wypalić na płytach w ten sposób, aby na każdej płycie była inna kolejność utworów. Jedna płyta kosztuje 30

groszy i jej wypalenie zajmuje średnio 5 minut. Ile Jacek wypali płyt, ile mu to zajmie czasu i ile zapłaci za swój pomysł?

Mamy tutaj n = ,

5 r = 5 , zatem

liczba płyt:

łączny czas (w godzinach): koszt (w złotych):

Przykład 3. W biegu sprinterskim na 100 m startuje 8 zawodników, a wśród nich 3 Polaków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy Polacy staną na podium?

Wszystkich możliwych wyników ukończenia biegu mamy 8 P 8 . Pierwsze 3 miejsca muszą zająć Polacy i mogą to zrobić na 3 P 3 sposobów, a pozostali zawodnicy zajmują 5 miejsc na 5 P 5

sposobów. Łącznie mogą przybiec na 3

( P )

3 5

( P )

5 sposobów. Z klasycznej definicji

prawdopodobieństwa Laplace’a wynika, że szukane prawdopodobieństwo jest ilorazem tych wielkości, czyli

Wariacje z powtórzeniami

Interesuje nas losowanie, w którym elementy losujemy ze zwracaniem (z powtórzeniami) i kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Liczbę wszystkich r elementowych wariacji wylosowanych ze zbioru n elementowego obliczamy wg wzoru:

r

nW r = n

Przykład 4. Do windy 16 piętrowego budynku wsiada na parterze 5 osób.

a) Na ile sposobów mogą wysiąść z windy?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie osoby wysiądą powyżej 10 piętra?

Każda osoba może wysiąść na 16 sposobów, a więc

Skoro wszyscy mają wysiąść powyżej 10 piętra, to każda osoba może wysiąść na 6 sposobów, czyli

Poszukiwane prawdopodobieństwo jest ilorazem tych liczb: Przykład 5. Ile tablic rejestracyjnych postaci LITERA-LITERA-CYFRA-CYFRA-CYFRA-CYFRA

można utworzyć, skoro LITERA jest wzięta ze zbioru 20 liter, zaś CYFRA ze zbioru 10 cyfr?

Przykład 6. W pudełku leży 6 klocków z literami A, B, C, D, E i F. Wyciągamy klocek zapisujemy literę i wrzucamy z powrotem do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągając w ten sposób 3 klocki, litery nie powtórzą się?