Elementy kombinatoryki. Kombinacje

Interesuje nas losowanie, w którym elementy losujemy bez zwracania (bez powtórzeń) i kolejność wylosowanych elementów jest nieistotna.

Liczbę wszystkich r elementowych kombinacji wylosowanych ze zbioru n elementowego obliczamy wg wzoru:

przy czym

Przykład 1. Na ile sposobów można rozdzielić 15 biletów do kina wśród 30 uczniów?

Mamy tutaj
, zatem

Uwaga. Rachunki wykonujemy na kalkulatorze ClassPad 300.

Przykład 2. Nauczyciel wybiera na pierwszej lekcji w poniedziałek dyżurnych, którzy będą pełnili swoje obowiązki przez tydzień. Na karteczkach ma napisane numery uczniów z dziennika od 1 do 32 i losuje 3 karteczki z kapelusza. Ile tygodni potrzeba, aby jakaś wylosowana trójka uczniów powtórzyła się?

Mamy tutaj
, zatem

A to ponad 95 lat...

Przykład 3. W urnie mamy 10 kul, a wśród nich 5 czerwonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągając losowo z urny 5 kul, wyciągniemy:

1. 0 kul czerwonych,

2. 1 kulę czerwoną,

3. 2 kule czerwone,

4. 3 kule czerwone,

5. 4 kule czerwone,

6. 5 kul czerwonych?

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wyciągniętych kul czerwonych?

Mamy tutaj
, zatem pięć dowolnych kul możemy wylosować na
sposobów.

Aby wylosować wszystkie kule innego koloru niż czerwone, należy wyciągnąć 5 kul innego koloru i 0 kul czerwonych, co realizujemy na
sposobów.

Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Aby wylosować 1 kulę czerwoną, należy wyciągnąć 4 kule innego koloru i 1 kulę czerwoną, co realizujemy na
sposobów.

Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Aby wylosować 2 kule czerwone, należy również wyciągnąć 3 kule innego koloru, co realizujemy na
sposobów.

Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Aby wylosować 3 kule czerwone, należy również wyciągnąć 2 kule innego koloru, co realizujemy na
sposobów. Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Aby wylosować 4 kule czerwone, należy również wyciągnąć 1 kulę innego koloru, co realizujemy na
sposobów. Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Aby wylosować 5 kul czerwonych, należy również wyciągnąć 0 kul innego koloru, co realizujemy na
sposobów. Poszukiwane prawdopodobieństwo jest, zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa Laplace'a, ilorazem podanych wielkości, czyli

Najbardziej prawdopodobna liczba wyciągniętych kul czerwonych to 2 oraz 3 kule.

---