Elementy kombinatoryki. Permutacje z powtórzeniami

Permutacją z powtórzeniami zbioru k elementowego nazywamy ciąg, w którym pewne elementy powtarzają się n₁, n₂, ..., n_k razy. Liczba n elementowych permutacji wyraża się wzorem

przy czym n₁+ n₂ + ...+ n_k = n.

Przykład 1. Wypisać wszystkie 3 elementowe permutacje zbioru {a,b}, w których element a powtarza się dwa razy.

Przykład 2. Obliczyć, ile można utworzyć 5 elementowych permutacji z elementów {0,1}, w których 0 powtarza się trzy razy.

Mamy tutaj , a więc

Rachunki wykonujemy za pomocą kalkulatora ClassPad 300.

Przykład 3. W urnie znajdują się dwie kule oznaczone numerem 1, jedna kula oznaczona numerem 2 i dwie kule oznaczone numerem 3. Wyciągamy kolejno 5 kul i notujemy numery wg kolejności wyciągnięcia. Ile można tym sposobem otrzymać różnych liczb?

Mamy tutaj , a więc

Przykład 4. Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można utworzyć, przestawiając wszelkimi sposobami litery w wyrazie MATEMATYKA ?

Mamy tutaj , a więc

Przykład 5. Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można utworzyć przestawiając litery w wyrazie ABRAKADABRA i ile to zajmie czasu, jeżeli jeden nowy wyraz układamy w 10 sekund?

Mamy tutaj , a więc Łączny czas (w godzinach) otrzymamy mnożąc powyższą liczbę przez 10 i dzieląc przez 3600.

Przykład 6. W woreczku leżą klocki z literami K, K, A, A, J. Wyciągamy po kolei po jednym klocku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułożymy słowo KAJAK?

Mamy tutaj , a więc Wśród 30 słów jest jedno słowo, które nas interesuje, zatem prawdopodobieństwo ułożenia słowa KAJAK jest równe 1/30.

---