Metody analizy 

danych 

eksperymentalnych

 Metody redukcji wymiaru

 

Metoda analizy składowych głównych 

(ang. 

Principal Component Analysis - PCA),

 

obok

 

analizy 

czynnikowej i metody komponentów definiowanych przez 
użytkownika, 

należy do metod redukcji wymiaru i polega 

na określaniu nowego zbioru zmiennych (atrybutów, 
cech), tzw. 

składowych głównych

, analizowanej 

rzeczywistości na potrzeby budowy modelu tej 
rzeczywistości. Utworzone zmienne w pewnym sensie są 
nowymi abstrakcyjnymi źródłami danych. Są one 
jednoczenie pewnymi kombinacjami (często liniowymi) 
oryginalnych zmiennych. Zatem jest metoda redukująca 
wymiarowo pierwotny zbiór zmiennych. Metoda PCE 
określa równie (w postaci wartości liczbowej) w jakim 
stopniu oryginalne zmienne wpływają na wyliczone 
zmienne, czyli jaka jest ich wartość informacyjna. Nowe 
zmienne z reguły nie mają jasnej interpretacji fizycznej. 
Są jednak użyteczne przy realizacji różnych zdań 
eksploracyjnych.

Metoda analizy składowych 

głównych (PCA)

2

GK (MADE(03) - 2010)

 

Metoda PCA 

charakteryzuje się tym, że:



opiera się na obserwacji zmienności w jej naturalnym 

przebiegu,



nie ustala arbitralnie (jak np. w metodzie regresji) 

zbioru zmiennych, które mają być badane, 



nie wymaga wstępnych założeń odnośnie zmiennych, w 

szczególności nie wymaga spełnienia warunku rozkładu 
normalnego zmiennych, jak w metodzie regresji,



nie wymaga wstępnych założeń co do tego, które 

zmienne są niezależne, a które nie, nie przesądza sprawy 
związku przyczynowego.

Ze względu na swoje zalety metoda PCA jest stosowana w 
analizie zjawisk ekonomicznych, w badaniach 
psychologicznych i socjologicznych.

Metoda analizy składowych 

głównych (PCA)

3

GK (MADE(03) - 2010)

Niech 

X

1

, X

2

, …, X

m

 

będą równolicznymi wektorami 

rzeczywistych (zaobserwowanych) wartości

 m 

zmiennych, 

będących dowolnymi cechami dowolnej badanej grupy obiektów 
np. osób (wzrost, waga, wiek itp.), 

 

samochodów 

(długość, rozstaw 

osi, pojemność silnika, moment obrotowy itp

.).  Jeżeli grupa 

obiektów liczy 

n 

egzemplarzy (osób, samochodów itp.), to każda 

zmienna 

X

i

, 

(i=1,2,…,m) 

jest wektorem wartości 

i

-tej cechy 

zaobserwowanej u wszystkich obiektów, tj.

Zmienne 

X

i

, nazywane dalej 

zmiennymi oryginalnymi

,  tworzą 

układ współrzędnych w 

m

-wymiarowej przestrzeni. 

Składowe 

główne 

reprezentują nowy układ współrzędnych, uzyskany poprzez 

odpowiednie rzutowanie układu oryginalnego. 

Czynnością poprzedzającą wyznaczanie składowych 

głównych musi być 

standaryzacja zmiennych oryginalnych

, co 

oznacza wyznaczenie nowych wartości zmiennych oryginalnych 
poprzez wykonanie następujących obliczeń: 

gdzie: 

Podstawy PCA

(

)

T

i

i1

i2

it

in

i=1,2,...,m;   t=1,2,...,n

X

x ,x ,...,x ,...,x ,    

.

=

it

i

it

i

 i=1,2,…,m;    t=1,2,…,n

x

m

z

,   

,

s

-

=

(

)

n

n

2

i

it

i

it

i

t=1

t=1

1

1

m =

x ,        s =

x -m .

n

n

�

�

4

GK (MADE(03) - 2010)

Istota 

metody analizy składowych głównych (PCA)

. 

Niech zmienne 

Z

1

, Z

2

, …, Z

m 

oznaczają

 

wektory 

kolumnowe standaryzowanych zmiennych oryginalnych 

X

1

, X

2

, …, X

m

, a 

Z= [Z

1

, Z

2

, …, Z

m

]

 – macierz o wymiarach 

(n



m)

 utworzoną 

przez te zmienne. Metoda PCA pozwala na zastąpienie 
zbioru zmiennych 

Z

1

, Z

2

, …, Z

m 

, a tym samym i zmiennych 

X

1

, X

2

, …, X

m

 nowymi zmiennymi 

(składowe główne) 

Y

1

, Y

2

, 

…, Y

m

, będącymi liniowymi kombinacjami  zmiennych 

oryginalnych przy zachowaniu zasady, że całkowita 
zmienność zbioru zmiennych oryginalnych i zbioru 
składowych głównych będą się różnić nie więcej niż o 
akceptowalną, z góry ustaloną wielkość. 

Podstawy PCA

5

GK (MADE(03) - 2010)

Zatem PCA polega na wyznaczeniu takich zmiennych 

Y

1

, Y

2

, …, 

Y

m

, tj. składowych głównych, że: 

•są one liniowymi kombinacjami zmiennych 

Z

1

, Z

2

, …, Z

m 

 

•liczby 



pj

 

są takimi liczbami rzeczywistymi, że 

•

Y

1

, Y

2

, …, Y

m 

są wzajemnie nieskorelowane,

•wariancje składowych głównych są malejące

( )

( )

( )

1

2

m

i=1,2,...,m.

var Y

var Y

... var Y ,   

 

�

� �

(

)

i j

YY

i

j

i,j=1,2,...,m

  ρ =0,    

,

�

"

i

i1

1

i2

2

im

m

i=1,2,...,m,

Y =α Z +α Z +...+α Z ,   

 

�

�

�

m

2

ij

i=1

j=1,2,...,m

α =1,   

,

�

Podstawy PCA

6

GK (MADE(03) - 2010)

Macierz 

Z= [Z

1

, Z

2

, …, Z

m

] 

standaryzowanych zmiennych 

oryginalnych jest podstawową macierzą danych w procesie 
wyznaczania składowych głównych, bowiem 

i

-ta 

składowa 

główna 

jest obliczana z zależności (zapis wektorowy):

 

gdzie      oznacza transponowany 

i

-ty wektor własny 

macierzy kowariancji dla macierzy 

Z

.

Niech macierz 



 będzie 

macierzą korelacji 

dla macierzy 

Z

 

postaci:

Ze względu na standaryzację zmiennych, macierz korelacji 



 jest równa macierzy kowariancji 

S

 dla macierzy 

Z

, tj. 

S = 



.

T

i

a

T

i

i

i=1,2,...,m

Y

Z,      

,

a

=

12

1m

21

2m

m1

m2

1

...

1

...

.

...

...

... ...
... 1

r

r

r

r

r

r

r

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

Podstawy PCA

7

GK (MADE(03) - 2010)

Niech wektor 

=(

1

, 



2

, …, 



m

) 

oznacza

 

wektor wartości 

własnych 

macierzy korelacji 



, otrzymanych jako rozwiązanie 

równania macierzowego

gdzie 

I

 – macierz jednostkowa o wymiarach 

m×m

.

Wektorem własnym macierzy korelacji 



, dla wektora 

wartości własnych 



 jest wektor 



 spełniający zależność 

  = 

. 

Niech 



i

 oznacza 

i

-ty wektor własny, odpowiadający 

wartości własnej 



i

. Stąd składowe główne przyjmują postać:

Dla zmiennych 

Z

i

 i składowych głównych 

Y

i

 

zachodzi:

Z powyższego wynika, że część zmienności zmiennej 

Z

, która jest 

wyjaśniana 

przez 

i

-tą składową główną 

Y

i

, tzw. 

udział składowej głównej

, jest 

równa 

I

0,

r l

-

=

( )

( )

m

m

m

i

i

i

i=1

i=1

i=1

Var Y = Var Z =

m.

l =

�

�

�

i

i

u

.

m

l

=

i

i1

1

i2

2

im

m

i=1,2,...,m,

Y =α Z +α Z +...+α Z ,   

 

�

�

�

Podstawy PCA

8

GK (MADE(03) - 2010)

Tworzenie składowych głównych przebiega według 
następującego algorytmu:



pierwsza

 składowa główna jest kombinacją 

która maksymalizuje wariancję                           gdzie 



 - macierz korelacji dla macierzy 

Z

,



druga

 składowa główna jest kombinacją 

która jest niezależna od 

Y

1

 i maksymalizuje wariancję 

                          



i-ta

 składowa główna jest kombinacją 

która jest niezależna od wszystkich poprzednich 

składowych głównych 

Y

1

, Y

2

, …, Y

i-1

 

i maksymalizuje wariancję                       

    

T

1

1

11

1

12

2

1m

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

�

( )

T

1

1

1

Var Y =

,

a ra

T

i

i

i1

1

i2

2

im

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

( )

T

i

i

i

Var Y =

.

a ra

T

2

2

21

1

22

2

2m

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

( )

T

2

2

2

Var Y =

,

a ra

Podstawy PCA

9

GK (MADE(03) - 2010)

Obliczone składowe główne tworzą 

macierz 

składowych głównych 

postaci:

w której każda kolumna 

Y

i

 

reprezentuje jedną składową 

główną. Poszczególne elementy macierz y

Y

, tj. 

y

ij

 (i,j=1,2,

…,m)

 noszą nazwę 

wag składowych głównych

 

(ładunków 

składowych)

 i reprezentują korelację cząstkową 

Corr(Y

i 

, Z

j

)

 

pomiędzy składową główną 

Y

i

 i zmienną 

Z

j

, 

uwzględniającą wpływ wszystkich pozostałych zmiennych i 
obliczaną z następującej zależności:

Wagi składowych głównych przyjmują wartości z przedziału 

[-1,1]

.

11

12

1m

21

22

2m

m1

m2

mm

y

y

... y

y

y

... y

Y

,

...

...

… ...

y

y

... y

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

(

)

ij

i

j

ij

i

i,j=1,2, ,m

y

Corr Y ,Z

,   

... .

a

l

=

=

Podstawy PCA

10

GK (MADE(03) - 2010)

Wyznaczenie składowych głównych nie zamyka procesu 

redukcji liczby zmiennych opisujących rozpatrywany problem. 
Problemem staje się wybór takiej liczby składowych głównych, 
która zagwarantuje istotne zmniejszenie liczby zmiennych przy 
akceptowalnej utracie zmienności zbioru zmiennych 
oryginalnych. Wybór składowych głównych jest zwykle oparty 
na najczęściej stosowanych równocześnie następujących 
kryteriach: 

1.Kryterium wartości własnej.

Według tego kryterium 

w wynikowym zbiorze 

składowych głównych należy uwzględniać tylko te, dla których 
związane z nimi wartości własne mają wartość nie mniejszą niż 
1

. 

Stosując tylko to kryterium można do wynikowego 

zbioru składowych głównych zaliczyć zbyt małą liczbę 
składowych głównych (gdy zbiór zmiennych oryginalnych liczy 
nie więcej niż 20 zmiennych) lub zbyt dużą liczbę składowych 
głównych (gdy zbiór zmiennych oryginalnych liczy nie mniej 
niż 50 zmiennych). Z tego względu kryterium wartości własnej 
powinno być stosowane jako kryterium „pierwszego sita” 
zbioru składowych głównych, a jego umiejętne 
wykorzystywanie zależy od wiedzy jego użytkownika. 

Kryteria wyboru składowych 

głównych

11

GK (MADE(03) - 2010)

2. Kryterium części wariancji wyjaśnionej przez składowe 

główne.

Zastosowanie tego kryterium wymaga od jego użytkownika 

uprzedniego określenia jaka część zmienności  oryginalnego 
zbioru zmiennych objaśniających ma zostać wyjaśniona za 
pomocą tworzonego zbioru składowych głównych

. Następnie 

wybiera się po kolei składowe główne, aż do osiągnięcia 
założonej wartości wyjaśnionej zmienności, co jest 
równoznaczne z co najmniej osiągnięciem tego poziomu przez 
sumę udziałów wszystkich wybranych składowych głównych 
(

skumulowany udział składowych

). Omawiane kryterium 

można sformalizować w sposób następujący:

•

całkowita zmienność składowych głównych:

•

składowa główna 

Y

i

 wyjaśnia następującą część całkowitej 

zmienności:

•

wybiera się taką ostateczną liczbę 

k

 składowych głównych, 

które w sumie wyjaśniają z góry zadaną część zmienności 
(zwykle nie mniej niż 75%):

( )

m

i

i=1

var Y ,

�

( )

i

m

i

i=1

Y

,

var Y

�

( )

( )

k

i

i=1

m

i

i=1

var Y

.

var Y

�

�

Kryteria wyboru składowych 

głównych

12

GK (MADE(03) - 2010)

3. Kryterium wykresu osypiskowego (piargowego).

Wykres osypiskowy stanowi  graficzną prezentację wartości 
własnych względem numeru składowej głównej. Omawiane 
kryterium jest przydatne do wyznaczania maksymalnej liczby 
składowych głównych, tzw. kres górny, które powinny 
stanowić wynik obliczeń. 
Wykres osypiskowy jest tworzony dla uprzednio 
uporządkowanego niemalejąco ciągu wartości własnych. 
Przykładowa postać wykresu osypiskowego:

Kryterium wykresu osypiskowego:

maksymalna liczba składowych 
głównych, które powinny zostać 
zachowane (uwzględnione), to 
wartość znajdująca się na osi 

x

 

dokładnie przed tym miejscem, które 
początkuje część wykresu najbardziej 
zbliżoną do linii poziomej.

 

Dla sytuacji przedstawionej na wykresie 
takim kryterialnym punktem jest punkt 

5

, 

co oznacza, że należy uwzględnić nie 
więcej niż 

4

 składowe główne 

charakteryzujące się kolejnymi 
najwyższymi wartościami własnymi. 

Kryteria wyboru składowych 

głównych

13

GK (MADE(03) - 2010)

4. Test istotności.

W rozpatrywanym teście istotności przyjmuje się, że składowe 
główne są wyznaczane w zbiorze 

n

 obiektów 

charakteryzowanych za pomocą 

m

 cech, który stanowi próbę 

z 

m

-wymiarowego rozkładu normalnego z dodatnio określoną 

macierzą kowariancji 



 przy założeniu, że 

n > m

, oraz macierz 

kowariancji z tej próby 

S

 jest również dodatnio określona.  

Sekwencyjnie są testowane hipotezy zerowe postaci:

gdzie:  



1 

 

2 

 …  

m

 są wartościami własnymi macierzy 



 , a 



 

jest nieznaną wartością.
Test ilorazu wiarogodności przedstawionej hipotezy zerowej 
jest opisany twierdzeniem Lawleya (1956), z którego wynika, 
że jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa i 

n

 jest dostatecznie 

duże, to sprawdzian testu jest statystyką o rozkładzie 
zbieżnym z prawdopodobieństwem do rozkładu chi-kwadrat.

  

,

       

,

...

       

:

H

2

m

0,1,...,

k

m

1

k

k

0



















Kryteria wyboru składowych 

głównych

14

GK (MADE(03) - 2010)

Statystyka będąca sprawdzianem testu:

Hipoteza zerowa zostaje odrzucona, gdy:

gdzie                          jest kwantylem rzędu 

1-



 rozkładu chi-

kwadrat z  
 
stopniami swobody.





.

,

,

,

lnV

λ

λ

λ

q

6

2

q

q

2

k

1

n

P

k

m

q

λ

q

1

λ

λ

λ

V

m

1

k

i

i

q

m

1

k

i

i

k

k

k

1

i

2

q

i

2

q

2

k































































q

q

gdzie







,

P

2

2

1

q

2

q

α,

1

k

















2

2

1

q

2

q

α,

1









2

1

q

2

q





























Kryteria wyboru składowych 

głównych

15

GK (MADE(03) - 2010)

Jeżeli hipotezy zerowe są testowane kolejno dla 

k = 0,1,2,

…,m-2 

i dla któregoś 

k

 hipoteza zerowa po raz pierwszy nie 

została odrzucona, to oznacza, że         

q = m - k 

najmniejszych 

wartości własnych macierzy 



 ma tę samą wartość 



. Jeżeli 

wartość 



 jest mało znacząca w porównaniu z pozostałymi 

wartościami własnymi, to można odrzucić 

q 

ostatnich wartości 

głównych i przyjąć, że tylko 

k

 pierwszych z nich będzie branych 

pod uwagę.

5.Kryterium średniej wartości własnej.

Pomijane są te składowe główne, których wartości własne 

są mniejsze od średniej:
  

.

m

1

m

1

j

j











Kryteria wyboru składowych 

głównych

16

GK (MADE(03) - 2010)

Profil składowych głównych

Określenie liczby zmiennych składowych 

reprezentujących zbiór zmiennych 

Z

 jest czynnością 

poprzedzająca tworzenie 

profili 

tych składowych. Profil 

można traktować jak zbiór 

Z

i

 



 Z 

tych zmiennych, które 

będą „reprezentowane” przez składową główną 

Y

i

. Niech 

określonych zostało 

k

 składowych głównych. Przy 

tworzeniu profili składowych głównych należy uwzględniać 
następujące postulaty:



do zbioru 

Z

i

 

należy włączać te zmienne 

Z

j

, (j=1,2,…m)

, dla 

których wagi spełniają nierówność 



w przypadku, gdy zmienna 

Z

j

 może być przyporządkowane 

do więcej niż jednej składowe głównej, sprawę jej 
przynależności należy rozstrzygnąć stosując inne kryteria, 
np. merytoryczne,



zbiory 

Z

i

 muszą być rozłączne, tj.:



podział  zbioru zmiennych 

Z

 na zbiory 

Z

i

 

musi być 

wyczerpujący, tj.:

ij

y >0,5,

(

)

i

l

i,l : i

l; i,l=1,2,...,k

,

�

"

�

=�

Z

Z

k

i

i=1

Z,

=

U

Z

17

GK (MADE(03) - 2010)

Wyniki stosowania kryteriów w celu ustalenia 

liczby składowych głównych oraz „przydziału” 
zmiennych do tych składowych należy uznawać za 
wskazówki, a nie jako wyniki ostateczne, nie 
podlegające korekcie przez analityka prowadzącego 
badania. 

W praktyce stosuje się wielokrotne 

powtórzenie procedury wyznaczania składowych 
głównych na innych zbiorach wartości dla tych samych 
zmiennych oryginalnych 

X

j

, (j=1,2,…,m)

. Uzyskanie 

takich samych lub bardzo podobnych wyników 
uzasadnia dopiero trafność wyboru składowych  
głównych, co jest sygnałem, że mogą być one 
wykorzystywane jako „uszczuplony” ilościowo, ale w 
pełni równoważny reprezentant zbioru zmiennych 
oryginalnych.

Metoda PCA - podsumowanie

18

GK (MADE(03) - 2010)

 

Metoda komponentów definiowanych przez 

użytkownika 

(ang. User-defined Composites - UDC) 

jest 

skierowana do analityków, którym stosowanie innych 
metod 

redukcji wymiaru z różnych względów nie 

odpowiada. Metoda 

UDC

 jest metodą bardzo prostą, gdyż 

komponenty definiowane przez użytkownika są liniową 
kombinacją wszystkich, bądź niektórych wybranych przez 
użytkownika zmiennych ze zbioru 

Z

 o liczności 

m 

zmiennych, uzyskanych poprzez standaryzację zbiory 
zmiennych oryginalnych 

X

.  Zatem komponent łączy kilka 

zmiennych w pojedynczą, złożoną zmienną. Każdy 

j

-ty 

komponent zdefiniowany przez użytkownika wyraża się 
zależnością:

gdzie 



j

- wektor wag stosowany do wyznaczania 

j

-tego 

komponentu taki, że:

Metoda komponentów 

definiowanych przez 

użytkownika (UDC)

T

j

j

j1

1

j2

2

jm

m

 j=1,2,

W =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,    

...

j

j

j

j

(

)

(

)

[ ]

(

)

m

ji

ji

i=1

j 1,2,

i=1,2, ,m

...   

1;

...

0,1

.

j

j

=

�

�

"

=

"

�

�

�

�

�

�

19

GK (MADE(03) - 2010)

W przypadku, gdy użytkownik nie ma informacji odnośnie 
natury zmiennych uwzględnianych w komponencie, ustala 
wagi jednakowe dla zmiennych, z których tworzony jest ten 
komponent, tzn. ustala wagi następujące:
 

gdzie 

Z

j

 

oznacza zbiór zmiennych 

Z

i

, z których jest 

tworzony 

j

-ty komponent.

Zmienne składające się na komponent powinny być 

silnie skorelowane ze sobą i nieskorelowane z pozostałymi 
zmiennymi.

Stosowanie metody komponentów, oprócz 

zmniejszania liczby zmiennych, zmniejsza również skutki 
błędów pomiaru,  tj. rozrzutu pomiędzy rzeczywistą 
wartością, a pomierzoną (zaobserwowaną). Taki błąd może 
powstać ze względu na błąd przyrządu, za którego pomocą 
dokonano pomiaru.

(

)

(

)

(

)

1

ji

ji

j

Z

Z

j

j

i

i

0 ,

j

j

�

�

�

�

�

�

"

=

� "

=

�

�

�

�

Z

Z

Z

Metoda komponentów 

definiowanych przez 

użytkownika (UDC)

20

GK (MADE(03) - 2010)

Przeprowadzono badania zdolności  

motorycznych mężczyzn nie uprawiających sportu i 
turystyki kwalifikowanej. Badaniu poddano grupę 120 
mężczyzn w różnym wieku (od 20 do 60 lat) ze względu 
na 11 następujących cech (zmiennych oryginalnych):

wiek, wysokość, ciężar, siła kończyn górnych, siła ogólna, wysokość 
dosiężna, siła kończyn dolnych, siła mięśni brzucha, szybkość ruchu 
ręką, zwinność, gibkość dynamiczna. 

Zarejestrowano następujące dane (zmienne oryginalne):

Przykład

Badani

Wiek 

Wysokość 

ciała [cm] 

Ciężar 

ciała [kg] 

Siła 

kończyn 

górnych 

Siła 

ogólna 

Wyskok 

dosiężny 

Siła 

kończyn 

dolnych 

Siła 

mięśni 

brzucha 

Szybkość 

ruchu 

ręką 

Zwinność 

Gibkość 

dynamicz

na 

A

20

177

76,2

16

557

34

36

18

27

8

9

B

21

176

76,3

15

519

29

35

16

25

8

8

C

23

182

81

18

553

30

30

16

20

7

9

D

23

181

79,1

17

570

25

32

16

20

7

6

E

25

181

78,7

17

527

25

29

15

20

5

9

F

25

177

76,7

16

562

25

30

15

20

7

7

G

30

175

76,4

12

500

25

36

17

25

8

7

H

30

174

75,9

10

472

25

35

16

25

8

7

I

31

180

79,5

10

468

24

34

16

30

8

6

21

GK (MADE(03) - 2010)

Redukcję liczby zmiennych przeprowadzono 

metodą składowych głównych.

W tym celu obliczono wartości własne, udział 

poszczególnych składowych w zmienności (wariancji) 
zbioru badanych zmiennych:

Numer 

składowe

j głównej

Wartość 

własna

 

Udział

 

w 

wariancji

 

Skumulowany 

udział w 

wariancji

 

1

7,0189

 

0,6381

 

0,6381

 

2

1,2197

 

0,1109

 

0,749

 

3

0,9534

 

0,0867

 

0,8356

 

4

0,7417

 

0,0674

 

0,9031

 

5

0,3734

 

0,0339

 

0,937

 

6

0,247

 

0,0225

 

0,9595

 

7

0,1577

 

0,0143

 

0,9738

 

8

0,1259

 

0,0114

 

0,9852

 

9

0,0729

 

0,0066

 

0,9919

 

10

0,0628

 

0,0057

 

0,9976

 

11

0,0266

 

0,0024

 

1

 

Przykład

22

GK (MADE(03) - 2010)

Macierz wag (ładunków) składowych głównych

Składowa 

główna

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

11

 

Zmienna

Wiek

-0,368 0,011 0,095 0,042 0,014 -0,081 0,260 0,146 0,164

-

0,152 -0,841

Wysokość

0,292 0,409 0,386 0,116 0,005 -0,001 0,015

-

0,305

0,313

-

0,625

0,053

Ciężar

0,242 0,506 0,455 0,253 -0,026-0,075 0,057 0,291 -0,250 0,498 -0,099

Siła kończyn 

górnych

0,339 0,038 -0,157

-

0,237

0,060 0,326 0,691

-

0,394

-0,080 0,202 -0,115

Siła ogólna

0,353 -0,011-0,084

-

0,190

-0,129 0,028 -0,588

-

0,356

-0,319 0,028 -0,489

Wysokość 

dosiężna

0,300 -0,299 0,093 0,052 -0,745 0,308 0,068 0,353 0,142

-

0,097

-0,037

Siła kończyn 

dolnych

0,344 0,064 -0,254

-

0,023 0,332 0,139 -0,219 0,231 0,703 0,268 -0,127

Siła mięśni 

brzucha

0,325 -0,052-0,205

-

0,115

-0,191-0,866 0,207 0,029 0,082 0,000 -0,006

Szybkość 

ruchu ręką

0,182 -0,496 0,085 0,769 0,181 -0,062 0,046

-

0,267

-0,004 0,081 -0,077

Zwinność

0,344 -0,036-0,221 0,046 0,397 0,088 0,089 0,513 -0,427

-

0,455 -0,060

Gibkość 

dynamiczna

0,124 -0,482 0,657

-

0,467 0,296 -0,077-0,001 0,072 0,040 0,050 0,013

Przykład

23

GK (MADE(03) - 2010)

Ustalenie liczby składowych głównych.

Przyjmuje się, że składowe główne powinny wyjaśniać 

95% 

zmienności (wariacji) zmiennych badanych.

1.Ze względu na 

kryterium wartości własnej 

należy wybrać 

tylko 

2

-wie pierwsze składowe, tj. 

1

 i 

2

, które wyjaśniają w 

sumie 

74,9%

 zmienności, tj. poniżej wymaganego poziomu.

2.Ze względu na 

kryterium

 

części wariancji wyjaśnionej przez 

składowe główne

, należy uwzględnić 

6

 pierwszych, które 

wyjaśniają w sumie 

95,95%

 zmienności, tj. przekraczają 

wymagany poziom.
3.

Kryterium 

wykresu osypiskowego

.

 

Ze względu na to kryterium 
wynika, że należy uwzględnić 

6

 

składowych głównych, tj. 

1

 – 

6

, 

podobnie ze względu na kryterium 
poprzednie.

Przykład

24

GK (MADE(03) - 2010)

4. Ze względu na wyniki 

testu 

należy wybrać 

wszystkie (11) 

składowe.

5. Ze względu na 

kryterium średniej wartości własnej 

należy 

wybrać 

2

-wie pierwsze składowe, tj. 

1

 i 

2

, dla których 

wartości własne są większe od średniej równej 

1

.

k

P

k

Stopnie 

swobody

Wartość 

krytyczna testu

0

1556,12

65

47,45

1

715,87

54

38,12

2

572,89

44

29,79

3

421,06

35

22,47

4

241,37

27

16,15

5

154,53

20

10,85

6

94,5

14

6,57

7

62,81

9

3,33

8

29,06

5

1,15

9

20,07

2

0,1

Przykład

25

GK (MADE(03) - 2010)

Składowa 

główna

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Zmienna

Wiek

0,368 0,011 0,095 0,042 0,014 0,081 0,260 0,146 0,164 0,152

0,841

Wysokość

0,292 0,409 0,386 0,116 0,005 0,001 0,015 0,305 0,313

0,625

0,053

Ciężar

0,242

0,506

0,455 0,253 0,026 0,075 0,057 0,291 0,250 0,498 0,099

Siła kończyn 
górnych

0,339 0,038 0,157 0,237 0,060 0,326

0,691

0,394 0,080 0,202 0,115

Siła ogólna

0,353 0,011 0,084 0,190 0,129 0,028

0,588

0,356 0,319 0,028 0,489

Wysokość 
dosiężna

0,300 0,299 0,093 0,052

0,745

0,308 0,068 0,353 0,142 0,097 0,037

Siła kończyn 
dolnych

0,344 0,064 0,254 0,023 0,332 0,139 0,219 0,231

0,703

0,268 0,127

Siła mięśni 
brzucha

0,325 0,052 0,205 0,115 0,191

0,866

0,207 0,029 0,082 0,000 0,006

Szybkość 
ruchu ręką

0,182 0,496 0,085

0,769

0,181 0,062 0,046 0,267 0,004 0,081 0,077

Zwinność

0,344 0,036 0,221 0,046 0,397 0,088 0,089

0,513

0,427 0,455 0,060

Gibkość 
dynamiczna

0,124 0,482

0,657

0,467 0,296 0,077 0,001 0,072 0,040 0,050 0,013

Wybrano 

6

 pierwszych składowych głównych:

Przykład

26

GK (MADE(03) - 2010)

Badani

Wiek 

Wysokość 

ciała [cm] 

Ciężar 

ciała [kg] 

Siła 

kończyn 

górnych 

Siła 

ogólna 

Wyskok 

dosiężny 

Siła 

kończyn 

dolnych 

Siła 

mięśni 

brzucha 

Szybkość 

ruchu 

ręką 

Zwinność 

Gibkość 

dynamicz

na 

A

20

177

76,2

16

557

34

36

18

27

8

9

B

21

176

76,3

15

519

29

35

16

25

8

8

C

23

182

81

18

553

30

30

16

20

7

9

D

23

181

79,1

17

570

25

32

16

20

7

6

E

25

181

78,7

17

527

25

29

15

20

5

9

F

25

177

76,7

16

562

25

30

15

20

7

7

G

30

175

76,4

12

500

25

36

17

25

8

7

H

30

174

75,9

10

472

25

35

16

25

8

7

I

31

180

79,5

10

468

24

34

16

30

8

6

Badani

Składowe główne

1

2

3

4

5

6

A

316,7

45

149,3

29

180,1

65

180,2

73

127,4

06

62,45

9

B

300,1

11

145,3

89

174,6

15

170,2

49

117,3

59

57,54

45

C

314,2

05

148,6

76

181,4

2

175,9

02

120,1

84

59,28

7

D

317,9

31

144,6

42

179,5

13

176,6

83

118,3

14

57,80

05

E

301,7

18

145,1

18

176,4

71

169,6

21

111,6

91

55,50

05

F

312,8

66

141,9

89

176,1

82

174,2

45

116,6

08

56,16

15

G

294,7

76

143,2

44

172,4

92

165,6

78

112,0

98

56,46

6

H

283,1

32

142,0

82

168,7

54

159,5

04

107,8

25

53,98

65

I

284,8

53

147,9

6

171,8

88

163,6

96

106,9

79

54,01

75

Przykład

27

GK (MADE(03) - 2010)

28

GK (MADE(03) - 2010)