Metody analizy

danych

eksperymentalnych

Metody redukcji wymiaru

Metoda analizy składowych głównych

(ang.

Principal Component Analysis - PCA),

obok

analizy

czynnikowej i metody komponentów definiowanych przez
użytkownika,

należy do metod redukcji wymiaru i polega

na określaniu nowego zbioru zmiennych (atrybutów,
cech), tzw.

składowych głównych

, analizowanej

rzeczywistości na potrzeby budowy modelu tej
rzeczywistości. Utworzone zmienne w pewnym sensie są
nowymi abstrakcyjnymi źródłami danych. Są one
jednoczenie pewnymi kombinacjami (często liniowymi)
oryginalnych zmiennych. Zatem jest metoda redukująca
wymiarowo pierwotny zbiór zmiennych. Metoda PCE
określa równie (w postaci wartości liczbowej) w jakim
stopniu oryginalne zmienne wpływają na wyliczone
zmienne, czyli jaka jest ich wartość informacyjna. Nowe
zmienne z reguły nie mają jasnej interpretacji fizycznej.
Są jednak użyteczne przy realizacji różnych zdań
eksploracyjnych.

Metoda analizy składowych

głównych (PCA)

2

GK (MADE(03) - 2010)

Metoda PCA

charakteryzuje się tym, że:



opiera się na obserwacji zmienności w jej naturalnym

przebiegu,



nie ustala arbitralnie (jak np. w metodzie regresji)

zbioru zmiennych, które mają być badane,



nie wymaga wstępnych założeń odnośnie zmiennych, w

szczególności nie wymaga spełnienia warunku rozkładu
normalnego zmiennych, jak w metodzie regresji,



nie wymaga wstępnych założeń co do tego, które

zmienne są niezależne, a które nie, nie przesądza sprawy
związku przyczynowego.

Ze względu na swoje zalety metoda PCA jest stosowana w
analizie zjawisk ekonomicznych, w badaniach
psychologicznych i socjologicznych.

Metoda analizy składowych

głównych (PCA)

3

GK (MADE(03) - 2010)

Niech

X

1

, X

2

, …, X

m

będą równolicznymi wektorami

rzeczywistych (zaobserwowanych) wartości

m

zmiennych,

będących dowolnymi cechami dowolnej badanej grupy obiektów
np. osób (wzrost, waga, wiek itp.),

samochodów

(długość, rozstaw

osi, pojemność silnika, moment obrotowy itp

.). Jeżeli grupa

obiektów liczy

n

egzemplarzy (osób, samochodów itp.), to każda

zmienna

X

i

,

(i=1,2,…,m)

jest wektorem wartości

i

-tej cechy

zaobserwowanej u wszystkich obiektów, tj.

Zmienne

X

i

, nazywane dalej

zmiennymi oryginalnymi

, tworzą

układ współrzędnych w

m

-wymiarowej przestrzeni.

Składowe

główne

reprezentują nowy układ współrzędnych, uzyskany poprzez

odpowiednie rzutowanie układu oryginalnego.

Czynnością poprzedzającą wyznaczanie składowych

głównych musi być

standaryzacja zmiennych oryginalnych

, co

oznacza wyznaczenie nowych wartości zmiennych oryginalnych
poprzez wykonanie następujących obliczeń:

gdzie:

Podstawy PCA

(

)

T

i

i1

i2

it

in

i=1,2,...,m; t=1,2,...,n

X

x ,x ,...,x ,...,x ,

.

=

it

i

it

i

i=1,2,…,m; t=1,2,…,n

x

m

z

,

,

s

-

=

(

)

n

n

2

i

it

i

it

i

t=1

t=1

1

1

m =

x , s =

x -m .

n

n

�

�

4

GK (MADE(03) - 2010)

Istota

metody analizy składowych głównych (PCA)

.

Niech zmienne

Z

1

, Z

2

, …, Z

m

oznaczają

wektory

kolumnowe standaryzowanych zmiennych oryginalnych

X

1

, X

2

, …, X

m

, a

Z= [Z

1

, Z

2

, …, Z

m

]

– macierz o wymiarach

(n



m)

utworzoną

przez te zmienne. Metoda PCA pozwala na zastąpienie
zbioru zmiennych

Z

1

, Z

2

, …, Z

m

, a tym samym i zmiennych

X

1

, X

2

, …, X

m

nowymi zmiennymi

(składowe główne)

Y

1

, Y

2

,

…, Y

m

, będącymi liniowymi kombinacjami zmiennych

oryginalnych przy zachowaniu zasady, że całkowita
zmienność zbioru zmiennych oryginalnych i zbioru
składowych głównych będą się różnić nie więcej niż o
akceptowalną, z góry ustaloną wielkość.

Podstawy PCA

5

GK (MADE(03) - 2010)

Zatem PCA polega na wyznaczeniu takich zmiennych

Y

1

, Y

2

, …,

Y

m

, tj. składowych głównych, że:

•są one liniowymi kombinacjami zmiennych

Z

1

, Z

2

, …, Z

m

•liczby



pj

są takimi liczbami rzeczywistymi, że

•

Y

1

, Y

2

, …, Y

m

są wzajemnie nieskorelowane,

•wariancje składowych głównych są malejące

( )

( )

( )

1

2

m

i=1,2,...,m.

var Y

var Y

... var Y ,

�

� �

(

)

i j

YY

i

j

i,j=1,2,...,m

ρ =0,

,

�

"

i

i1

1

i2

2

im

m

i=1,2,...,m,

Y =α Z +α Z +...+α Z ,

�

�

�

m

2

ij

i=1

j=1,2,...,m

α =1,

,

�

Podstawy PCA

6

GK (MADE(03) - 2010)

Macierz

Z= [Z

1

, Z

2

, …, Z

m

]

standaryzowanych zmiennych

oryginalnych jest podstawową macierzą danych w procesie
wyznaczania składowych głównych, bowiem

i

-ta

składowa

główna

jest obliczana z zależności (zapis wektorowy):

gdzie oznacza transponowany

i

-ty wektor własny

macierzy kowariancji dla macierzy

Z

.

Niech macierz



będzie

macierzą korelacji

dla macierzy

Z

postaci:

Ze względu na standaryzację zmiennych, macierz korelacji



jest równa macierzy kowariancji

S

dla macierzy

Z

, tj.

S =



.

T

i

a

T

i

i

i=1,2,...,m

Y

Z,

,

a

=

12

1m

21

2m

m1

m2

1

...

1

...

.

...

...

... ...
... 1

r

r

r

r

r

r

r

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

Podstawy PCA

7

GK (MADE(03) - 2010)

Niech wektor

=(

1

,



2

, …,



m

)

oznacza

wektor wartości

własnych

macierzy korelacji



, otrzymanych jako rozwiązanie

równania macierzowego

gdzie

I

– macierz jednostkowa o wymiarach

m×m

.

Wektorem własnym macierzy korelacji



, dla wektora

wartości własnych



jest wektor



spełniający zależność

 = 

.

Niech



i

oznacza

i

-ty wektor własny, odpowiadający

wartości własnej



i

. Stąd składowe główne przyjmują postać:

Dla zmiennych

Z

i

i składowych głównych

Y

i

zachodzi:

Z powyższego wynika, że część zmienności zmiennej

Z

, która jest

wyjaśniana

przez

i

-tą składową główną

Y

i

, tzw.

udział składowej głównej

, jest

równa

I

0,

r l

-

=

( )

( )

m

m

m

i

i

i

i=1

i=1

i=1

Var Y = Var Z =

m.

l =

�

�

�

i

i

u

.

m

l

=

i

i1

1

i2

2

im

m

i=1,2,...,m,

Y =α Z +α Z +...+α Z ,

�

�

�

Podstawy PCA

8

GK (MADE(03) - 2010)

Tworzenie składowych głównych przebiega według
następującego algorytmu:



pierwsza

składowa główna jest kombinacją

która maksymalizuje wariancję gdzie



- macierz korelacji dla macierzy

Z

,



druga

składowa główna jest kombinacją

która jest niezależna od

Y

1

i maksymalizuje wariancję



i-ta

składowa główna jest kombinacją

która jest niezależna od wszystkich poprzednich

składowych głównych

Y

1

, Y

2

, …, Y

i-1

i maksymalizuje wariancję

T

1

1

11

1

12

2

1m

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

�

( )

T

1

1

1

Var Y =

,

a ra

T

i

i

i1

1

i2

2

im

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

( )

T

i

i

i

Var Y =

.

a ra

T

2

2

21

1

22

2

2m

m

Y =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

a

a

a

a

�

�

�

( )

T

2

2

2

Var Y =

,

a ra

Podstawy PCA

9

GK (MADE(03) - 2010)

Obliczone składowe główne tworzą

macierz

składowych głównych

postaci:

w której każda kolumna

Y

i

reprezentuje jedną składową

główną. Poszczególne elementy macierz y

Y

, tj.

y

ij

(i,j=1,2,

…,m)

noszą nazwę

wag składowych głównych

(ładunków

składowych)

i reprezentują korelację cząstkową

Corr(Y

i

, Z

j

)

pomiędzy składową główną

Y

i

i zmienną

Z

j

,

uwzględniającą wpływ wszystkich pozostałych zmiennych i
obliczaną z następującej zależności:

Wagi składowych głównych przyjmują wartości z przedziału

[-1,1]

.

11

12

1m

21

22

2m

m1

m2

mm

y

y

... y

y

y

... y

Y

,

...

...

… ...

y

y

... y

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

(

)

ij

i

j

ij

i

i,j=1,2, ,m

y

Corr Y ,Z

,

... .

a

l

=

=

Podstawy PCA

10

GK (MADE(03) - 2010)

Wyznaczenie składowych głównych nie zamyka procesu

redukcji liczby zmiennych opisujących rozpatrywany problem.
Problemem staje się wybór takiej liczby składowych głównych,
która zagwarantuje istotne zmniejszenie liczby zmiennych przy
akceptowalnej utracie zmienności zbioru zmiennych
oryginalnych. Wybór składowych głównych jest zwykle oparty
na najczęściej stosowanych równocześnie następujących
kryteriach:

1.Kryterium wartości własnej.

Według tego kryterium

w wynikowym zbiorze

składowych głównych należy uwzględniać tylko te, dla których
związane z nimi wartości własne mają wartość nie mniejszą niż
1

.

Stosując tylko to kryterium można do wynikowego

zbioru składowych głównych zaliczyć zbyt małą liczbę
składowych głównych (gdy zbiór zmiennych oryginalnych liczy
nie więcej niż 20 zmiennych) lub zbyt dużą liczbę składowych
głównych (gdy zbiór zmiennych oryginalnych liczy nie mniej
niż 50 zmiennych). Z tego względu kryterium wartości własnej
powinno być stosowane jako kryterium „pierwszego sita”
zbioru składowych głównych, a jego umiejętne
wykorzystywanie zależy od wiedzy jego użytkownika.

Kryteria wyboru składowych

głównych

11

GK (MADE(03) - 2010)

2. Kryterium części wariancji wyjaśnionej przez składowe

główne.

Zastosowanie tego kryterium wymaga od jego użytkownika

uprzedniego określenia jaka część zmienności oryginalnego
zbioru zmiennych objaśniających ma zostać wyjaśniona za
pomocą tworzonego zbioru składowych głównych

. Następnie

wybiera się po kolei składowe główne, aż do osiągnięcia
założonej wartości wyjaśnionej zmienności, co jest
równoznaczne z co najmniej osiągnięciem tego poziomu przez
sumę udziałów wszystkich wybranych składowych głównych
(

skumulowany udział składowych

). Omawiane kryterium

można sformalizować w sposób następujący:

•

całkowita zmienność składowych głównych:

•

składowa główna

Y

i

wyjaśnia następującą część całkowitej

zmienności:

•

wybiera się taką ostateczną liczbę

k

składowych głównych,

które w sumie wyjaśniają z góry zadaną część zmienności
(zwykle nie mniej niż 75%):

( )

m

i

i=1

var Y ,

�

( )

i

m

i

i=1

Y

,

var Y

�

( )

( )

k

i

i=1

m

i

i=1

var Y

.

var Y

�

�

Kryteria wyboru składowych

głównych

12

GK (MADE(03) - 2010)

3. Kryterium wykresu osypiskowego (piargowego).

Wykres osypiskowy stanowi graficzną prezentację wartości
własnych względem numeru składowej głównej. Omawiane
kryterium jest przydatne do wyznaczania maksymalnej liczby
składowych głównych, tzw. kres górny, które powinny
stanowić wynik obliczeń.
Wykres osypiskowy jest tworzony dla uprzednio
uporządkowanego niemalejąco ciągu wartości własnych.
Przykładowa postać wykresu osypiskowego:

Kryterium wykresu osypiskowego:

maksymalna liczba składowych
głównych, które powinny zostać
zachowane (uwzględnione), to
wartość znajdująca się na osi

x

dokładnie przed tym miejscem, które
początkuje część wykresu najbardziej
zbliżoną do linii poziomej.

Dla sytuacji przedstawionej na wykresie
takim kryterialnym punktem jest punkt

5

,

co oznacza, że należy uwzględnić nie
więcej niż

4

składowe główne

charakteryzujące się kolejnymi
najwyższymi wartościami własnymi.

Kryteria wyboru składowych

głównych

13

GK (MADE(03) - 2010)

4. Test istotności.

W rozpatrywanym teście istotności przyjmuje się, że składowe
główne są wyznaczane w zbiorze

n

obiektów

charakteryzowanych za pomocą

m

cech, który stanowi próbę

z

m

-wymiarowego rozkładu normalnego z dodatnio określoną

macierzą kowariancji



przy założeniu, że

n > m

, oraz macierz

kowariancji z tej próby

S

jest również dodatnio określona.

Sekwencyjnie są testowane hipotezy zerowe postaci:

gdzie:



1

 

2

 …  

m

są wartościami własnymi macierzy



, a



jest nieznaną wartością.
Test ilorazu wiarogodności przedstawionej hipotezy zerowej
jest opisany twierdzeniem Lawleya (1956), z którego wynika,
że jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa i

n

jest dostatecznie

duże, to sprawdzian testu jest statystyką o rozkładzie
zbieżnym z prawdopodobieństwem do rozkładu chi-kwadrat.

,

,

...

:

H

2

m

0,1,...,

k

m

1

k

k

0



















Kryteria wyboru składowych

głównych

14

GK (MADE(03) - 2010)

Statystyka będąca sprawdzianem testu:

Hipoteza zerowa zostaje odrzucona, gdy:

gdzie jest kwantylem rzędu

1-



rozkładu chi-

kwadrat z

stopniami swobody.





.

,

,

,

lnV

λ

λ

λ

q

6

2

q

q

2

k

1

n

P

k

m

q

λ

q

1

λ

λ

λ

V

m

1

k

i

i

q

m

1

k

i

i

k

k

k

1

i

2

q

i

2

q

2

k































































q

q

gdzie







,

P

2

2

1

q

2

q

α,

1

k

















2

2

1

q

2

q

α,

1









2

1

q

2

q





























Kryteria wyboru składowych

głównych

15

GK (MADE(03) - 2010)

Jeżeli hipotezy zerowe są testowane kolejno dla

k = 0,1,2,

…,m-2

i dla któregoś

k

hipoteza zerowa po raz pierwszy nie

została odrzucona, to oznacza, że

q = m - k

najmniejszych

wartości własnych macierzy



ma tę samą wartość



. Jeżeli

wartość



jest mało znacząca w porównaniu z pozostałymi

wartościami własnymi, to można odrzucić

q

ostatnich wartości

głównych i przyjąć, że tylko

k

pierwszych z nich będzie branych

pod uwagę.

5.Kryterium średniej wartości własnej.

Pomijane są te składowe główne, których wartości własne

są mniejsze od średniej:

.

m

1

m

1

j

j











Kryteria wyboru składowych

głównych

16

GK (MADE(03) - 2010)

Profil składowych głównych

Określenie liczby zmiennych składowych

reprezentujących zbiór zmiennych

Z

jest czynnością

poprzedzająca tworzenie

profili

tych składowych. Profil

można traktować jak zbiór

Z

i



Z

tych zmiennych, które

będą „reprezentowane” przez składową główną

Y

i

. Niech

określonych zostało

k

składowych głównych. Przy

tworzeniu profili składowych głównych należy uwzględniać
następujące postulaty:



do zbioru

Z

i

należy włączać te zmienne

Z

j

, (j=1,2,…m)

, dla

których wagi spełniają nierówność



w przypadku, gdy zmienna

Z

j

może być przyporządkowane

do więcej niż jednej składowe głównej, sprawę jej
przynależności należy rozstrzygnąć stosując inne kryteria,
np. merytoryczne,



zbiory

Z

i

muszą być rozłączne, tj.:



podział zbioru zmiennych

Z

na zbiory

Z

i

musi być

wyczerpujący, tj.:

ij

y >0,5,

(

)

i

l

i,l : i

l; i,l=1,2,...,k

,

�

"

�

=�

Z

Z

k

i

i=1

Z,

=

U

Z

17

GK (MADE(03) - 2010)

Wyniki stosowania kryteriów w celu ustalenia

liczby składowych głównych oraz „przydziału”
zmiennych do tych składowych należy uznawać za
wskazówki, a nie jako wyniki ostateczne, nie
podlegające korekcie przez analityka prowadzącego
badania.

W praktyce stosuje się wielokrotne

powtórzenie procedury wyznaczania składowych
głównych na innych zbiorach wartości dla tych samych
zmiennych oryginalnych

X

j

, (j=1,2,…,m)

. Uzyskanie

takich samych lub bardzo podobnych wyników
uzasadnia dopiero trafność wyboru składowych
głównych, co jest sygnałem, że mogą być one
wykorzystywane jako „uszczuplony” ilościowo, ale w
pełni równoważny reprezentant zbioru zmiennych
oryginalnych.

Metoda PCA - podsumowanie

18

GK (MADE(03) - 2010)

Metoda komponentów definiowanych przez

użytkownika

(ang. User-defined Composites - UDC)

jest

skierowana do analityków, którym stosowanie innych
metod

redukcji wymiaru z różnych względów nie

odpowiada. Metoda

UDC

jest metodą bardzo prostą, gdyż

komponenty definiowane przez użytkownika są liniową
kombinacją wszystkich, bądź niektórych wybranych przez
użytkownika zmiennych ze zbioru

Z

o liczności

m

zmiennych, uzyskanych poprzez standaryzację zbiory
zmiennych oryginalnych

X

. Zatem komponent łączy kilka

zmiennych w pojedynczą, złożoną zmienną. Każdy

j

-ty

komponent zdefiniowany przez użytkownika wyraża się
zależnością:

gdzie



j

- wektor wag stosowany do wyznaczania

j

-tego

komponentu taki, że:

Metoda komponentów

definiowanych przez

użytkownika (UDC)

T

j

j

j1

1

j2

2

jm

m

j=1,2,

W =

Z =

Z +

Z +...+

Z ,

...

j

j

j

j

(

)

(

)

[ ]

(

)

m

ji

ji

i=1

j 1,2,

i=1,2, ,m

...

1;

...

0,1

.

j

j

=

�

�

"

=

"

�

�

�

�

�

�

19

GK (MADE(03) - 2010)

W przypadku, gdy użytkownik nie ma informacji odnośnie
natury zmiennych uwzględnianych w komponencie, ustala
wagi jednakowe dla zmiennych, z których tworzony jest ten
komponent, tzn. ustala wagi następujące:

gdzie

Z

j

oznacza zbiór zmiennych

Z

i

, z których jest

tworzony

j

-ty komponent.

Zmienne składające się na komponent powinny być

silnie skorelowane ze sobą i nieskorelowane z pozostałymi
zmiennymi.

Stosowanie metody komponentów, oprócz

zmniejszania liczby zmiennych, zmniejsza również skutki
błędów pomiaru, tj. rozrzutu pomiędzy rzeczywistą
wartością, a pomierzoną (zaobserwowaną). Taki błąd może
powstać ze względu na błąd przyrządu, za którego pomocą
dokonano pomiaru.

(

)

(

)

(

)

1

ji

ji

j

Z

Z

j

j

i

i

0 ,

j

j

�

�

�

�

�

�

"

=

� "

=

�

�

�

�

Z

Z

Z

Metoda komponentów

definiowanych przez

użytkownika (UDC)

20

GK (MADE(03) - 2010)

Przeprowadzono badania zdolności

motorycznych mężczyzn nie uprawiających sportu i
turystyki kwalifikowanej. Badaniu poddano grupę 120
mężczyzn w różnym wieku (od 20 do 60 lat) ze względu
na 11 następujących cech (zmiennych oryginalnych):

wiek, wysokość, ciężar, siła kończyn górnych, siła ogólna, wysokość
dosiężna, siła kończyn dolnych, siła mięśni brzucha, szybkość ruchu
ręką, zwinność, gibkość dynamiczna.

Zarejestrowano następujące dane (zmienne oryginalne):

Przykład

Badani

Wiek

Wysokość

ciała [cm]

Ciężar

ciała [kg]

Siła

kończyn

górnych

Siła

ogólna

Wyskok

dosiężny

Siła

kończyn

dolnych

Siła

mięśni

brzucha

Szybkość

ruchu

ręką

Zwinność

Gibkość

dynamicz

na

A

20

177

76,2

16

557

34

36

18

27

8

9

B

21

176

76,3

15

519

29

35

16

25

8

8

C

23

182

81

18

553

30

30

16

20

7

9

D

23

181

79,1

17

570

25

32

16

20

7

6

E

25

181

78,7

17

527

25

29

15

20

5

9

F

25

177

76,7

16

562

25

30

15

20

7

7

G

30

175

76,4

12

500

25

36

17

25

8

7

H

30

174

75,9

10

472

25

35

16

25

8

7

I

31

180

79,5

10

468

24

34

16

30

8

6

21

GK (MADE(03) - 2010)

Redukcję liczby zmiennych przeprowadzono

metodą składowych głównych.

W tym celu obliczono wartości własne, udział

poszczególnych składowych w zmienności (wariancji)
zbioru badanych zmiennych:

Numer

składowe

j głównej

Wartość

własna

Udział

w

wariancji

Skumulowany

udział w

wariancji

1

7,0189

0,6381

0,6381

2

1,2197

0,1109

0,749

3

0,9534

0,0867

0,8356

4

0,7417

0,0674

0,9031

5

0,3734

0,0339

0,937

6

0,247

0,0225

0,9595

7

0,1577

0,0143

0,9738

8

0,1259

0,0114

0,9852

9

0,0729

0,0066

0,9919

10

0,0628

0,0057

0,9976

11

0,0266

0,0024

1

Przykład

22

GK (MADE(03) - 2010)

Macierz wag (ładunków) składowych głównych

Składowa

główna

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

11

 

Zmienna

Wiek

-0,368 0,011 0,095 0,042 0,014 -0,081 0,260 0,146 0,164

-

0,152 -0,841

Wysokość

0,292 0,409 0,386 0,116 0,005 -0,001 0,015

-

0,305

0,313

-

0,625

0,053

Ciężar

0,242 0,506 0,455 0,253 -0,026-0,075 0,057 0,291 -0,250 0,498 -0,099

Siła kończyn

górnych

0,339 0,038 -0,157

-

0,237

0,060 0,326 0,691

-

0,394

-0,080 0,202 -0,115

Siła ogólna

0,353 -0,011-0,084

-

0,190

-0,129 0,028 -0,588

-

0,356

-0,319 0,028 -0,489

Wysokość

dosiężna

0,300 -0,299 0,093 0,052 -0,745 0,308 0,068 0,353 0,142

-

0,097

-0,037

Siła kończyn

dolnych

0,344 0,064 -0,254

-

0,023 0,332 0,139 -0,219 0,231 0,703 0,268 -0,127

Siła mięśni

brzucha

0,325 -0,052-0,205

-

0,115

-0,191-0,866 0,207 0,029 0,082 0,000 -0,006

Szybkość

ruchu ręką

0,182 -0,496 0,085 0,769 0,181 -0,062 0,046

-

0,267

-0,004 0,081 -0,077

Zwinność

0,344 -0,036-0,221 0,046 0,397 0,088 0,089 0,513 -0,427

-

0,455 -0,060

Gibkość

dynamiczna

0,124 -0,482 0,657

-

0,467 0,296 -0,077-0,001 0,072 0,040 0,050 0,013

Przykład

23

GK (MADE(03) - 2010)

Ustalenie liczby składowych głównych.

Przyjmuje się, że składowe główne powinny wyjaśniać

95%

zmienności (wariacji) zmiennych badanych.

1.Ze względu na

kryterium wartości własnej

należy wybrać

tylko

2

-wie pierwsze składowe, tj.

1

i

2

, które wyjaśniają w

sumie

74,9%

zmienności, tj. poniżej wymaganego poziomu.

2.Ze względu na

kryterium

części wariancji wyjaśnionej przez

składowe główne

, należy uwzględnić

6

pierwszych, które

wyjaśniają w sumie

95,95%

zmienności, tj. przekraczają

wymagany poziom.
3.

Kryterium

wykresu osypiskowego

.

Ze względu na to kryterium
wynika, że należy uwzględnić

6

składowych głównych, tj.

1

–

6

,

podobnie ze względu na kryterium
poprzednie.

Przykład

24

GK (MADE(03) - 2010)

4. Ze względu na wyniki

testu

należy wybrać

wszystkie (11)

składowe.

5. Ze względu na

kryterium średniej wartości własnej

należy

wybrać

2

-wie pierwsze składowe, tj.

1

i

2

, dla których

wartości własne są większe od średniej równej

1

.

k

P

k

Stopnie

swobody

Wartość

krytyczna testu

0

1556,12

65

47,45

1

715,87

54

38,12

2

572,89

44

29,79

3

421,06

35

22,47

4

241,37

27

16,15

5

154,53

20

10,85

6

94,5

14

6,57

7

62,81

9

3,33

8

29,06

5

1,15

9

20,07

2

0,1

Przykład

25

GK (MADE(03) - 2010)

Składowa

główna

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Zmienna

Wiek

0,368 0,011 0,095 0,042 0,014 0,081 0,260 0,146 0,164 0,152

0,841

Wysokość

0,292 0,409 0,386 0,116 0,005 0,001 0,015 0,305 0,313

0,625

0,053

Ciężar

0,242

0,506

0,455 0,253 0,026 0,075 0,057 0,291 0,250 0,498 0,099

Siła kończyn
górnych

0,339 0,038 0,157 0,237 0,060 0,326

0,691

0,394 0,080 0,202 0,115

Siła ogólna

0,353 0,011 0,084 0,190 0,129 0,028

0,588

0,356 0,319 0,028 0,489

Wysokość
dosiężna

0,300 0,299 0,093 0,052

0,745

0,308 0,068 0,353 0,142 0,097 0,037

Siła kończyn
dolnych

0,344 0,064 0,254 0,023 0,332 0,139 0,219 0,231

0,703

0,268 0,127

Siła mięśni
brzucha

0,325 0,052 0,205 0,115 0,191

0,866

0,207 0,029 0,082 0,000 0,006

Szybkość
ruchu ręką

0,182 0,496 0,085

0,769

0,181 0,062 0,046 0,267 0,004 0,081 0,077

Zwinność

0,344 0,036 0,221 0,046 0,397 0,088 0,089

0,513

0,427 0,455 0,060

Gibkość
dynamiczna

0,124 0,482

0,657

0,467 0,296 0,077 0,001 0,072 0,040 0,050 0,013

Wybrano

6

pierwszych składowych głównych:

Przykład

26

GK (MADE(03) - 2010)

Badani

Wiek

Wysokość

ciała [cm]

Ciężar

ciała [kg]

Siła

kończyn

górnych

Siła

ogólna

Wyskok

dosiężny

Siła

kończyn

dolnych

Siła

mięśni

brzucha

Szybkość

ruchu

ręką

Zwinność

Gibkość

dynamicz

na

A

20

177

76,2

16

557

34

36

18

27

8

9

B

21

176

76,3

15

519

29

35

16

25

8

8

C

23

182

81

18

553

30

30

16

20

7

9

D

23

181

79,1

17

570

25

32

16

20

7

6

E

25

181

78,7

17

527

25

29

15

20

5

9

F

25

177

76,7

16

562

25

30

15

20

7

7

G

30

175

76,4

12

500

25

36

17

25

8

7

H

30

174

75,9

10

472

25

35

16

25

8

7

I

31

180

79,5

10

468

24

34

16

30

8

6

Badani

Składowe główne

1

2

3

4

5

6

A

316,7

45

149,3

29

180,1

65

180,2

73

127,4

06

62,45

9

B

300,1

11

145,3

89

174,6

15

170,2

49

117,3

59

57,54

45

C

314,2

05

148,6

76

181,4

2

175,9

02

120,1

84

59,28

7

D

317,9

31

144,6

42

179,5

13

176,6

83

118,3

14

57,80

05

E

301,7

18

145,1

18

176,4

71

169,6

21

111,6

91

55,50

05

F

312,8

66

141,9

89

176,1

82

174,2

45

116,6

08

56,16

15

G

294,7

76

143,2

44

172,4

92

165,6

78

112,0

98

56,46

6

H

283,1

32

142,0

82

168,7

54

159,5

04

107,8

25

53,98

65

I

284,8

53

147,9

6

171,8

88

163,6

96

106,9

79

54,01

75

Przykład

27

GK (MADE(03) - 2010)

28

GK (MADE(03) - 2010)