Prowadzący

prof. dr hab. inż. Kazimierz

WÓJS

Wykład

9

ROZCIĄGANIE PROSTE

PRAWO HOOKE’A –

WYKRESY ROZCIĄGANIA

ROZCIĄGANIE

PROSTE

Rozciąganie proste wystąpi wtedy, gdy w

wyniku redukcji sił wewnętrznych względem
środka

przekroju

poprzecznego

ciała

otrzymamy

wyłącznie

wektor

główny,

normalny do tego przekroju.

N – siła osiowa,

A

–pole

przekroju pręta

 – naprężenie

normalne

A



N

x

y

Warunek równowagi – suma rzutów wszystkich sił na
kierunek osi pręta

(1)



N

(2)

Oznacza to, że wektor główny jest równy sile
obciążającej oraz brak innych niż  naprężeń na

powierzchni przekroju A.

Gdy naprężenie
jednakowe w całym
przekroju, to :



N

ROZCIĄGANIE

PROSTE

Równowaga pręta ściskanego

Równowaga pręta

ściskanego

N – siła osiowa,

A

–pole

przekroju pręta,

 – naprężenie

ściskające

σ

A

N

ROZCIĄGANIE

PROSTE





Warunki występowania rozciągania

prostego:

1. Zachowanie zasady de Sainta Venanta

2. Pręt musi być pryzmatyczny (wykonany z

materiału jednorodnego)

(3)

Wówcza
s

l

l

P

P

a

b

A

P





A

P





(5)

Wytężenie materiału

– stopień

zbliżenia obciążenia materiału do
stanu krytycznego.

Warunek
wytrzymałości:





(4)



dop



n – współczynnik bezpieczeństwa (n  1),


nieb

– naprężenie niebezpieczne

PRAWO HOOKE’A

Robert Hooke (1676) obserwując rozciąganie prętów
pryzmatycznych wykonanych z różnych materiałów
stwierdził: wydłużenie l pręta pryzmatycznego jest

wprost proporcjonalne do siły rozciągającej P i do
długości początkowej l pręta a odwrotnie
proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego
pręta A.

l



l

P

Wydłużenie pręta

rozciąganego

l – wydłużenie pręta,
P –

siła rozciągająca,

l – długość pręta przed

rozciąganiem,

A – pole przekroju pręta,

E – Moduł sprężystości (Younga), N/m

2

Dla stali w

temperaturze 20C E=2,1 10

5

MPa.

PRAWO
HOOKE’A

(6)

Wydłużenie względne

Wydłużenie względne

Prawo

Hooke’a

przybiera

postać:

Po podstawieniu

i









PRAWO HOOKE’A

W budowie maszyn prawo Hooke’a można stosować
zarówno w przypadku rozciągania jak i ściskania.

Naprężenia rozciągające oznaczamy znakiem plus
(+),

Naprężenia ściskające natomiast znakiem minus (-).

Oprócz odkształceń wzdłużnych (wydłużenie i
skrócenie) przy rozciąganiu (ściskaniu) występują

odkształcenia poprzeczne.

h

h

1



h

Przy rozciąganiu grubość pręta ulega zmniejszeniu z

wartości h do h

1

. Przy ściskaniu pręt „pęcznieje” i jego

grubość wzrasta z wartości h do h

1

Różnica grubości końcowej i początkowej

nazywa się

zwężeniem całkowitym

h =

h

1

– h.

Stosunek zwężenia całkowitego do grubości
początkowej

nazywamy

zwężeniem

jednostkowym 

1

(11)

ODKSZTAŁCENIE
POPRZECZNE

Przy rozciąganiu zwężenie ma wartość ujemną, gdyż

h > h

1

. Przy ściskaniu - wartość dodatnią (h < h

1

)

zwaną spęcznieniem.

Z tego wynika, że:

•

przy rozciąganiu

 > 0,



1

< 0,

• przy ściskaniu

 < 0,



1

> 0.

Bezwzględna wartość stosunku zwężenia (spęcznienia)

jednostkowego



1

do

jednostkowego

wydłużenia

(skrócenia)



nazywamy

współczynnikiem

odkształcenia poprzecznego lub liczbą Poissona 







1



(12)

Liczba Poissona



przyjmuje wartości w granicach 0 

0,5.

 

Rodzaj materiału

Moduł Younga

E

MPa

Liczba

Poissona



Wytrzyma

ł.

na

rozciągan

ie

R

m

MPa

Granica

plastycznoś

ci R

e

MPa

Stal (St3S)

2,1  10

5

0,3

380

220

Żeliwo (Zl300)

1,2  10

5

0,23-0,24

300

 

Miedź

1,0  10

5

0,32

210

70

Mosiądz

0,9  10

5

0,36

340

 

Brąz

1,1  10

5

0,33

300

 

Aluminium

0,72  10

5

0,34

100

 

Dural

0,72  10

5

0,33

130

50

Beton

1,4  10

5

0,17

 

 

Szkło

0,7  10

5

0,25

40

 

Drewno dębowe

0,1-0,2  10

5

 

110

 

Guma twarda

10

 

12

 

Polistyren

0,28  10

5

 

40

 

Polietylen

0,014  10

5

 

 

 

Tab.1. Wartości fizyczne i wytrzymałościowe dla
wybranych materiałów

WŁASNOŚCI MECHANICZNE CIAŁ

STAŁYCH

Własności mechaniczne ciał stałych

–

zachowanie się tych ciał pod wpływem działania
obciążenia mechanicznego (pola sił). W zależności od
rodzaju materiału , ciała odznaczają się różnymi
cechami, takimi jak:

plastyczność

– całkowite nieodwracalne

odkształcenie wywołane obciążeniem,

wytrzymałość

– zdolność do przenoszenia

obciążeń aż do momentu uzyskania obciążenia
granicznego przy, którym następuje utrata sił
spójności (rozerwanie materiału).

sprężystość

– zdolność ciała do powrotu do

pierwotnych wymiarów i kształtu po usunięciu
obciążeń zewnętrznych,

Materiały konstrukcyjne

W budowie maszyn i konstrukcjach największe
zastosowanie znajdują stale niskowęglowe (stopy
żelaza z węglem gdzie C < 0.3%). Stale takie są
trudno hartowalne i z tego powodu nazywane są
stalami miękkimi.

Wykres

rozciągania

uzyskuje

się

podczas

wykonywania

próby

wytrzymałościowej

(próba

rozciągania)

wykonywanej

na

specjalnie

przygotowanej próbce lub bezpośrednio na odcinku
pręta.

Wykres rozciągania

materiału

Wykres rozciągania stali

niskowęglowych

tg = E

A

B

C

D

 p

ro

p

 s

p

rę

ż

 p

la

st

(R

e

)

R

m

L

K

L'

K'



MPa

100

200

300

400

0





Poszczególne punkty na wykresie oznaczają:
A – granicę proporcjonalności (granica

stosowalności prawa Hooke’a),
B – granicę sprężystości – w praktyce

przyjmuje się, że leżące w pobliżu siebie punkty

A i B mają jednakową wartość:

(13
)

C,D – granicę plastyczności R

e,

- wyraźnie

widoczna na wykresie rozciągania i łatwa do

wyznaczenia

tylko

dla

niektórych

materiałów , np. stali niskowęglowych.

(14
)

K – granica wytrzymałości na rozciąganie

R

m

(doraźna wytrzymałość materiału).

Wytrzymałością na rozciąganie R

m

jest to

iloraz maksymalnej siły rozciągającej P

max

uzyskanej w

procesie rozciągania próbki przez pole A

0

przekroju

początkowego próbki:

(15)

Po osiągnięciu naprężeń R

m

na próbce powstaje

lokalne przewężenie (tzw. szyjka) pokazane na rys.6.
W miejscu tym próbka ulega rozerwaniu – odcinek KL
z wykresu rozciągania .

Na rzeczywistym wykresie rozciągania próbki linia

kreskowana powstaje przy naprężeniu wyznaczanym

z zależności:

(16)

Tworzenie się szyjki wskutek

rozciągania próbki

Rys.
6

d

0

P

P

gdzie:


rz

– rzeczywiste naprężenie w próbce,

A – rzeczywista powierzchnia przekroju poprzecznego

części pomiarowej próbki. Określa się ją przyjmując

stałą objętość materiału:

Wykresy rozciągania stali

niskowęglowych

(17)

Związek naprężenia rzeczywistego z umownym ma

postać:

(18)

Umowna granica plastyczności R

0,2

–

naprężenie

odpowiadające

działaniu

siły

rozciągającej, wywołującej w próbce wydłużenie
trwałe wynoszące 0,2% długości.

(19)

Siłę P

0,2

odpowiadającą wydłużeniu części

pomiarowej L

0

o 0,2% wyznacza się jak

pokazano na rys.7.

L

0,2

0

L

P

0,

2

P

Wykres rozciągania stali

niskowęglowej

Wyznaczenie siły P

0,2

odpowiadającej wydłużeniu

próbki 0,2%

n - współczynnik bezpieczeństwa (liczba większa
od jedności).

(21
)

(20
)

lub

Za naprężenia niszczące przyjmuje się
wytrzymałość na rozciąganie R

m

albo granicę

plastyczności R

e

,

Naprężenia dopuszczalne określamy więc w
postaci:

Wykresy rozciągania różnych

materiałów

L

P

L

P

P

L

Rys. 8. Wykres rozciągania próbki:

• z lokalnym maksimum siły (z wyraźną granicą

plastyczności) – niskowęglowe stale, stopy
aluminium

• bez wyraźnej granicy plastyczności (miedź)

• wykres rozciągania materiałów kruchych

(żeliwo)

miedź



MPa

400

800

1200

0



mosiądz

dural

stal nierdzewna

stal sprężynowa

guma twarda



MPa

10

20

30

0



polichlorek winylu (PCW)

rzemień

skóra twarda

sklejka

80

60

40

20

%

Wykresy rozciągania różnych

materiałów

Wykresy ściskania i rozciągania stali

niskowęglowej



l

0



pl

as

t



pr

op



pr

op

as

ym

pt

ot

a

D

C

0

R

m

R

e

(

pl

as

t

)



Wykresy ściskania metali

plastycznych

Po osiągnięciu granicy plastyczności wysokość

próbki

ściskanej

wyraźnie

się

zmniejsza

a

powiększają się jej wymiary poprzeczne (kształt
baryłki).

Próbki wykonane z materiałów mniej plastycznych w
tym stanie ulegają ukośnemu pęknięciu (rys.11a).

a

b

Rys.11. Deformacja walcowych próbek ściskanych: a) do

kształtu baryłki, b) do kształtu krążka

Wytrzymałość na ściskanie – iloraz siły
maksymalnej P

max

, przy której nastąpiło

pęknięcie próbki przez pole A

0

przekroju

początkowego:

(22
)

Próbki wykonane z materiałów o dużej plastyczności
(stal niskowęglowa, miedź) bez widocznych pęknięć
lub uszkodzeń dają się spłaszczać przyjmując kształt
krążka (rys.11b).

Wykres rozciąganie i

ściskanie żeliwa

 Żeliwo wyróżnia się tym, że w żadnym zakresie

obciążeń odkształcenia nie są proporcjonalne do
naprężeń. W czasie próby rozciągania nie daje się
zauważyć jakiejkolwiek granicy proporcjonalności lub
plastyczności. W pewnej chwili próbka pęka bez
wyraźnych odkształceń.



0

R

m



R

c

Rys.12. Wykres

rozciągania i ściskania

żeliwa

Wytrzymałość na rozciąganie i

ściskanie

Materiały

kruche

mają

znacznie

większą

wytrzymałość na ściskanie R

c

w porównaniu z

wytrzymałością na rozciąganie R

m

:

żeliwo R

c

= (4  5)R

m

,

beton R

c

= (5  20)R

m

,

granit R

c

= (40  70)R

m

.

Zadania statycznie

niewyznaczalne

 Przykład 1

Sztywna belka o ciężarze G przyłożonym w środku

(punkt 0) obciążona siłą P w punkcie D jest
zamocowana na sztywnej ścianie w przegubie R i
zawieszona na odkształcalnych cięgnach 1 i 2
(przeguby w punktach B,C,K,L). Wyznaczyć wartości
naprężeń w obu cięgnach, jeżeli moduły Younga i
przekroje poprzeczne cięgien są takie same (E=E

1

=E

2

,

A=A

1

=A

2

).

Początek

układu

współrzędnych

umieszczono w punkcie R.

Dane: G, P, b, l, E, A.

Wyznaczyć: 

1

i 

2

Niewiadome: R

x

, R

y

, S

1

,S

2

- układ jest statycznie

niewyznaczalny

G

K

L

R

R

x

R

y

S

1

S

2

1

2

l

D

C

B

0

B’

C’

P





l

2

 l

1

x

y

2

b

2

b

3

b

3

b

Dodatkowe równania ułożymy z warunków
geometrycznych i związków fizycznych (prawo
Hooke’a)

Warunki równowagi:

Związki fizyczne (prawo
Hooke’a):

Warunki geometryczne:

Na skutek działania obciążenia cięgna ulegną
wydłużeniu, a belka obróci się o kąt . Wydłużenia
muszą się mieścić w zakresie proporcjonalności
materiału – muszą być małe. Pozwala to na pominięcie
poziomych przemieszczeń punktów B,C.

gdzie i zależna jest od ilości
cięgien, i = 1,2.

Podstawiając związek fizyczny
do warunku geometrycznego
otrzymujemy:





i

l

zatem:



1

S

Po podstawieniu powyższej zależności do warunków
równowagi wyznaczymy reakcje:



x

R



2

S



1

S



y

R

Naprężenia wyznaczamy z zależności:



1





2

